T.4 · ลำดับอนุกรม และการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้ก่อนหน้า: ขอบเขตของลำดับ, supremum, ความต่อเนื่อง และอนุกรมจำนวนจริง

• ใช้เกณฑ์ของ Cauchy, การลู่เข้าแบบ monotonous และ subsequence
• แยกแยะการลู่เข้าแบบ pointwise จาก uniform convergence ของฟังก์ชัน
• ตรวจสอบสมมติฐานก่อนสลับลำดับ limit และการอินทิเกรต

Cauchy sequence: ลำดับwhose พจน์ในภายหลังมากพอจะใกล้กันได้อย่างอิสระตามต้องการ

uniform convergence: การลู่เข้าที่มีเกณฑ์ความคลาดเคลื่อน N เดียวที่ใช้งานได้ทุกจุดของโดเมน

ลำดับจำนวนจริงที่ลู่เข้าจะเป็น Cauchy และทุก Cauchy sequence ของจำนวนจริงจะลู่เข้าเนื่องจาก R เป็น complete ใน Q Cauchy sequence สามารถเข้าใกล้จำนวน irrational และล้มเหลวที่จะลู่เข้าภายใน Q ลำดับ monotonous ที่มีขอบเขตของจำนวนจริงจะลู่เข้า ลำดับที่มีขอบเขตอาจไม่ลู่เข้า แต่ Bolzano–Weierstrass รับรองว่ามี subsequence ที่ลู่เข้า; (-1)^n มี subsequential limits ที่แตกต่างกันสองค่า

สำหรับอนุกรมจำนวนจริง绝对 convergence ชี้ให้เห็นถึง convergence; conditional convergence ไม่อนุญาตให้จัดเรียงใหม่อย่างอิสระโดยไม่ส่งผลต่อผลรวม อนุกรม Harmonic สลับสัญญาณลู่เข้าแต่ series ค่าสัมบูรณ์ของมันลู่เข้าไม่ได้นี้ ใน ratio test, limit ต่ำกว่า 1 ยืนยัน absolute convergence และสูงกว่า 1 ยืนยันการลู่เข้า; limit เท่ากับ 1 ไม่สามารถตัดสินได้正如 sum 1/n และ sum 1/n² แสดงให้เห็น

การลู่เข้าแบบ pointwise เลือกดัชนี N แยกต่างหากสำหรับแต่ละ x และความคลาดเคลื่อน การลู่เข้าแบบ uniform เลือก N เดียวที่ใช้ได้สำหรับทุก x ในโดเมน สำหรับฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนจริง ตรวจสอบ supremum ของ |f_n−f| ทั้งโดเมน Limit แบบ pointwise ที่ต่อเนื่องไม่ได้ยืนยัน uniform convergence โดยตัวเอง จุดปลายโดเมนและยอดแหลมที่หดตัวมักแยกแยะแนวคิดทั้งสอง

Limit แบบ uniform ของฟังก์ชันต่อเนื่องจะเป็นต่อเนื่อง บนช่วงปิดจำกัด uniform convergence ของ Riemann-integrable functions อนุญาตให้สลับ limit และการอินทิเกรต การสับ derivative ต้องการสมมติฐานเพิ่มเติม; uniform convergence ของฟังก์ชันเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ Weierstrass M-test สร้าง uniform absolute convergence ของอนุกรมฟังก์ชันหากแต่ละพจน์ถูกจำกัดโดย M_n ทั้งโดเมนและ sum M_n ลู่เข้า

บน [0,1], f_n(x)=x^n ลิมิตไป 0 สำหรับ x<1 และไป 1 ที่ x=1. ลิมิตไม่ต่อเนื่อง, ดังนั้นการลิมิตจึงไม่สามารถเป็น uniform; โดยตรง, supremum error คือ 1, เข้าใกล้จากด้านล่าง 1. บน [0,a] với 0≤a<1, ลิมิตเป็นศูนย์และ supremum คือ a^n, ซึ่งลิมิตไปเป็นศูนย์, ดังนั้นการลิมิตจึงเป็น uniform. เปลี่ยนโดเมนเปลี่ยนข้อสรุป

การตรวจสอบหลายค่า x ที่คงที่พิสูจน์ไม่ได้ supremum bound หรือ uniform convergence. จุดที่สร้าง error มากที่สุดอาจเคลื่อนที่ตาม n

กำหนดการลู่เข้าแบบ pointwise และ uniform ของ $f_n(x)=x^n$ บน $[0,1]$ และบน $[0,a]$ สำหรับ $0<a<1$ ที่คงที่ เปรียบเทียบ $\sum1/n^2$ กับอนุกรม Harmonic สลับสัญญาณสำหรับการ absolute convergence

วิธีทำตัวอย่าง

ที่ $[0,1]$ ลิมิตมีค่าเป็นศูนย์สำหรับ $x<1$ และมีค่าหนึ่งเมื่อ 1 ลิมิตนี้ไม่ต่อเนื่อง ดังนั้น $f_n$ ที่ต่อเนื่องจึงไม่สามารถลู่เข้าแบบสม่ำเสมอได้ โดยตรงกว่านั้น ค่าความผิดพลาดสูงสุดบน $[0,1)$ คือหนึ่ง ที่ $[0,a]$ ค่าสูงสุดคือ $a^n\to0$ ดังนั้นการลู่เข้าจึงเป็นแบบสม่ำเสมอสู่ศูนย์อนุกรม p ที่มี p=2 ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์อนุกรมฮาร์โมนิกสลับสัญญาณลู่เข้าตามเงื่อนไขพจน์ที่ลดลงซึ่งมีลิมิตเป็นศูนย์ แต่อนุกรมสัมบูรณ์ลู่เข้าไม่อยู่ การลู่เข้าของอนุกรมนี้จึงเป็นการลู่เข้าแบบ有条件

ให้ $g_n(x)=\sin(nx)/n$ บน $\mathbb R$ การลู่เข้านี้เป็นแบบสม่ำเสมอหรือไม่? อนุพันธ์ของมันอาจลู่เข้าสู่อนุพันธ์ของลิมิตได้หรือไม่ ใช้จุดเฉพาะเพื่อตัดสินใจ

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$ ดังนั้นฟังก์ชันเหล่านี้ลู่เข้าแบบสม่ำเสมอสู่ศูนย์ แต่ $g_n'(x)=\cos(nx)$ และที่ $x=0$ อนุพันธ์เหล่านี้มีค่าทั้งหมดเป็น 1 อนุพันธ์ของลิมิตศูนย์คือ 0 ดังนั้นการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอของฟังก์ชันเพียงอย่างเดียวจึงไม่เพียงพอต่อการหาอนุพันธ์ของลิมิต ต้องมีสมมติฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุพันธ์