ลำดับ,อนุกรม และการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Cauchy sequence/ˈkɔːtʃi ˈsiːkwəns/ | Cauchy sequence |
| uniform convergence/ˈjuːnɪfɔːm kənˈvɜːdʒəns/ | uniform convergence |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- แต่ละโค้ง x^n เป็นต่อเนื่องบน [0,1] แต่จุดลิมิตแบบจุดเดียวมีค่ากระโดด สมมติฐานใดจะป้องกันค่ากระโดดนั้นได้?
- เป้าหมายของคุณ: ใช้เกณฑ์ของ Cauchy, การลิมิตแบบ monotonically และ subsequence
อ่านความสัมพันธ์
- ลำดับจำนวนจริงที่ลิมิตเป็น Cauchy, และทุกลำดับ Cauchy ใน R ลิมิตเพราะ R เป็น complete. ใน Q ลำดับ Cauchy สามารถเข้าใกล้จำนวนอตรรกยะและล้มเหลวที่จะลิมิตภายใน Q. ลำดับ monotonically ที่มีขอบเขตใน R ลิมิต. ลำดับที่มีขอบเขตไม่จำเป็นต้องลิมิต, แต่ Bolzano–Weierstrass รับประกัน subsequence ที่ลิมิต; (-1)^n มีสองลิมิตของ subsequence ที่แตกต่างกัน
- แยกแยะระหว่าง pointwise และ uniform convergence ของฟังก์ชัน
Which statement must hold for a bounded real sequence?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bolzano–Weierstrass gives a convergent subsequence. The sequence (-1)^n rules out the other necessary claims.
ใช้กฎที่กำหนด
- สำหรับอนุกรมตัวเลข,Absolute convergence บ่งบอกถึง convergence; Conditional convergence ไม่อนุญาตให้จัดเรียงใหม่ตามใจโดยไม่ส่งผลต่อผลรวม.อนุกรม harmonic สลับ знакลิมิตแต่ series ค่าสัมบูรณ์ของมัน diverges. ในการทดสอบ ratio, ลิมิตต่ำกว่า 1พิสูจน์ absolute convergence และหนึ่งเหนือ 1พิสูจน์ divergence; ลิมิตเท่ากับ 1ไม่ชัดเจน, ทั้งสองผลรวม 1/n และผลรวม 1/n² แสดงให้เห็น
- ตรวจสอบสมมติฐานก่อนสลับลิมิตและอินทิกรัล
For f_n(x)=sin(nx)/n on R, convergence to zero is what type?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The supremum of the absolute value is 1/n, independent of x, which tends to zero.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- Pointwise convergence เลือกดัชนี N แยกต่างหากสำหรับแต่ละ x และความทนทาน. Uniform convergence เลือก N เดียวที่ใช้งานได้กับทุก x ในโดเมน. สำหรับฟังก์ชันที่มีค่าจริง, ตรวจสอบ supremum ของ |f_n−f| ทั่วทั้งโดเมน. ลิมิตแบบจุดเดียวที่เป็น continuous ไม่ได้พิสูจน์ uniform convergence โดยตัวเอง. จุดปลายโดเมนและยอดแหลมที่หดตัวมักแยกแยะแนวคิดทั้งสอง
- ตรวจสอบสมมติฐานก่อนสลับลิมิตและอินทิกรัล
บน [0,1], f_n(x)=x^n ลิมิตไป 0 สำหรับ x<1 และไป 1 ที่ x=1. ลิมิตไม่ต่อเนื่อง, ดังนั้นการลิมิตจึงไม่สามารถเป็น uniform; โดยตรง, supremum error คือ 1, เข้าใกล้จากด้านล่าง 1. บน [0,a] với 0≤a<1, ลิมิตเป็นศูนย์และ supremum คือ a^n, ซึ่งลิมิตไปเป็นศูนย์, ดังนั้นการลิมิตจึงเป็น uniform. เปลี่ยนโดเมนเปลี่ยนข้อสรุป
The supremum of |x^n| on [0,0.5] is (0.5)^____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
For positive integer n the function is increasing there, so the maximum is its endpoint value.
ใช้รูปแบบงาน
- ลิมิตแบบ uniform ของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องจะเป็นต่อเนื่อง. บนช่วงปิดมีขอบเขต, การลิมิตแบบ uniform ของฟังก์ชันที่ Riemann-integrable อนุญาตให้สลับลิมิตและอินทิกรัล. การสลับอนุพันธ์ต้องใช้สมมติฐานเพิ่มเติม; การลิมิตแบบ uniform ของฟังก์ชันเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ. ทฤษฎีบท Weierstrass M-test สร้างการลิมิตแบบ absolute uniform ของอนุกรมฟังก์ชันหากแต่ละพจน์ถูกจำกัดโดย M_n ทั่วทั้งโดเมนและผลรวม M_n ลิมิต
- ตรวจสอบสมมติฐานก่อนสลับลิมิตและอินทิกรัล
การตรวจสอบหลายค่า x ที่คงที่พิสูจน์ไม่ได้ supremum bound หรือ uniform convergence. จุดที่สร้าง error มากที่สุดอาจเคลื่อนที่ตาม n
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
ใช้ทฤษฎีบทของ Cauchy, การลู่เข้าแบบ单调 และเกณฑ์ลำดับย่อย
Uniform convergence of differentiable functions guarantees convergence of their derivatives to the derivative of the limit.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sin(nx)/n tends uniformly to zero, but its derivative cos(nx) equals 1 at x=0 for every n, whereas the limit function has derivative zero.
รักษาระยะห่าง
- Cauchy sequence — ลำดับwhose พจน์ในภายหลังอย่างเพียงพออยู่ใกล้เคียงกันมาก
- uniform convergence — การลิมิตที่มีขีดจำกัด error หนึ่งที่ใช้ได้ ณ ทุกจุดของโดเมน
- ใช้เกณฑ์ของคาuchy, การลู่เข้าแบบ-monotone และอนุกรมย่อย
- แยกแยะระหว่าง pointwise และ uniform convergence ของฟังก์ชัน
- ตรวจสอบสมมติฐานก่อนสลับลิมิตและอินทิกรัล
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.