การขยายเทย์เลอร์และจุดปลายของอนุกรมกำลัง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | remainder |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | รัศมีของการลู่เข้า |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- โพลิโนเมียลสามารถประมาณ transcendental functionNear a point, แต่ approximation โดยไม่มี error bound สามารถให้ inequality ที่ผิดได้
- เป้าหมายของคุณ: สร้าง Taylor polynomials และควบคุม approximation error
อ่านความสัมพันธ์
- The Taylor polynomial of degree m at a คือผลรวมของ f^(k)(a)(x−a)^k/k! สำหรับ k ตั้งแต่ 0 ถึง m. The factorial อยู่ในแต่ละสัมประสิทธิ์. ถ้า derivative ถัดไปมี magnitudebounded by M ระหว่าง a และ x, Lagrange remainder มี magnitude不大于 M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. Smoothness เพียงอย่างเดียวไม่รับประกันว่า infinite Taylor series จะเท่ากับฟังก์ชันทุกที่
- Determine radii of convergence และทดสอบ endpoints แยกต่างหาก
What is the coefficient of x³ in the Maclaurin series of e^(2x)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The coefficient is 2³/3!=8/6=4/3; the factorial cannot be omitted.
ใช้กฎที่กำหนด
- Power series sum c_n(x−a)^n ลู่เข้าอย่าง absolutely ภายในรัศมี R ของมันและ luer out之外. Ratio หรือ root tests มักกำหนด R, dengan可能的ค่าเป็นศูนย์และอนันต์. ที่ x=a−R และ x=a+R, การทดสอบมักกลายเป็น inconclusive; แทนค่าแต่ละ endpoint ลงในseries เดิม. Two endpoint behaviours อาจแตกต่างกัน
- แยกอนุพันธ์และหาปริพันธ์ของอนุกรมกำลังภายในช่วงลู่เข้า
Which is the interval of convergence of sum x^n/n² for n≥1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The radius is 1 and both endpoints converge absolutely by comparison with sum 1/n².
ตรวจสอบเงื่อนไข
- ภายในช่วงลู่เข้าแบบเปิด การแยกอนุพันธ์และหาปริพันธ์พจน์ต่อพจน์รักษารัศมีไว้ สามารถเปลี่ยนแปลงได้ว่าปลายช่วงถูก Functor หรือไม่ เริ่มจากอนุกรมเรขาคณิต 1/(1−x)=sum x^n สำหรับ |x|<1, แล้วหาปริพันธ์จากศูนย์ถึง x เพื่อได้ −ln(1−x)=sum x^n/n สำหรับ n≥1. ตรวจสอบค่าคงที่การหาปริพันธ์และโดเมนของลอการิทึมจริง
- แยกอนุพันธ์และหาปริพันธ์ของอนุกรมกำลังภายในช่วงลู่เข้า
สำหรับ sum x^n/n กับ n≥1, การทดสอบอัตราส่วนให้รัศมี 1. ที่ x=1 มันคืออนุกรมฮาร์โมนิกที่ลู่ไม่เข้า; ที่ x=−1 มันคืออนุกรมสลับสัญญาณที่ลู่เข้า ดังนั้นช่วงลู่เข้าของมันคือ [−1,1). การแยกอนุพันธ์ด้านในจะได้ sum x^(n−1)=1/(1−x), ซึ่งลู่เข้าไม่ได้ที่ปลายช่วงใดเลย รัศมียังคง 1 แต่การ Functor ปลายช่วงเปลี่ยนไป
The limit of (e^x−1−x)/x² as x tends to zero is ____ (decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
e^x=1+x+x²/2+O(x³), leaving a quotient tending to 1/2.
ใช้รูปแบบงาน
- อนุกรมยังแก้รูปแบบลิมิตที่เอาตัวร่วมออกได้ ในการหาค่า (e^x−1−x)/x² ใกล้ศูนย์, เก็บพจน์แรกที่ยังเหลืออยู่ x²/2 แทนที่จะใช้เพียง e^x≈1+x. การตัดประมาณเชิงอสมปทานกำหนดลิมิต; อสมการบนช่วงจำกัดต้องการข้อโต้แย้งเรื่องเครื่องหมายหรือขนาดของเศษเหลือแยกต่างหาก อย่าแทนค่าลงในอนุกรมนอกช่วงลู่เข้า
- แยกอนุพันธ์และหาปริพันธ์ของอนุกรมกำลังภายในช่วงลู่เข้า
รัศมีไม่ใช่ช่วงลู่เข้าที่สมบูรณ์ ต้องทดสอบปลายช่วงและสัมประสิทธิ์แฟกทอเรียลอย่างชัดเจน
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
สร้างพหุนามเทย์เลอร์และควบคุมความคลาดเคลื่อนในการประมาณค่า
Differentiating a power series always preserves endpoint convergence.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sum x^n/n converges at −1, but its differentiated geometric series does not.
รักษาระยะห่าง
- รัศมีลู่เข้า — ระยะห่างจากศูนย์กลางของอนุกรมภายในซึ่งอนุกรมกำลังลู่เข้าโดยสัมบูรณ์
- เศษเหลือ — ความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันกับค่าประมาณเชิง有限的
- สร้างพหุนามเทย์เลอร์และควบคุมความผิดพลาดในการประมาณ
- Determine radii of convergence และทดสอบ endpoints แยกต่างหาก
- แยกอนุพันธ์และหาปริพันธ์ของอนุกรมกำลังภายในช่วงลู่เข้า
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.