Torque and Rotational Dynamics · ⁨โมเมนต์และพลวัตการหมุน⁩

AP Physics 1 · Topic 5 · ⁨หัวข้อ 5⁩

View Slides · ⁨ดูสไลด์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

Video lesson for this topic · ⁨บทเรียนวิดีโอสำหรับหัวข้อนี้⁩ Open the video page · ⁨เปิดหน้าวิดีโอ⁩

5.1

Rotational Kinematics · ⁨จลนศาสตร์การหมุน⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.1.A: Describe the rotation of a system with respect to time using angular displacement, angular velocity, and angular acceleration.

5.1.A.1 Angular displacement is the measurement of the angle, in radians, through which a point on a rigid system rotates about a specified axis.
- Equation: $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
- 5.1.A.1.i A rigid system is one that holds its shape but in which different points on the system move in different directions during rotation. A rigid system cannot be modeled as an object.
- 5.1.A.1.ii One direction of angular displacement about an axis of rotation—clockwise or counterclockwise—is typically indicated as mathematically positive, with the other direction becoming mathematically negative.
- 5.1.A.1.iii If the rotation of a system about an axis may be well described using the motion of the system's center of mass, the system may be treated as a single object. For example, the rotation of Earth about its axis may be considered negligible when considering the revolution of Earth about the center of mass of the Earth–Sun system.
5.1.A.2 Average angular velocity is the average rate at which angular position changes with respect to time.
- Equation: $\omega_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$
5.1.A.3 Average angular acceleration is the average rate at which the angular velocity changes with respect to time.
- Equation: $\alpha_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$
5.1.A.4 Angular displacement, angular velocity, and angular acceleration around one axis are analogous to linear displacement, velocity, and acceleration in one dimension and demonstrate the same mathematical relationships.
- 5.1.A.4.i For constant angular acceleration, the mathematical relationships between angular displacement, angular velocity, and angular acceleration can be described with the following equations:
  - Equation: $\omega = \omega_0 + \alpha t$
  - Equation: $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
  - Equation: $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
- 5.1.A.4.ii Graphs of angular displacement, angular velocity, and angular acceleration as functions of time can be used to find the relationships between those quantities.

Boundary statement: Descriptions of the directions of rotation for a point or object are limited to clockwise and counterclockwise with respect to a given axis of rotation.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.1.A: อธิบายการหมุนของระบบเทียบกับเวลาโดยใช้การกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุม

5.1.A.1 การกระจัดเชิงมุมคือขนาดของมุมในหน่วยเรเดียน ที่จุดหนึ่งบนระบบแข็งหมุนรอบแกนที่กำหนด
- สมการ: $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
- 5.1.A.1.i ระบบแข็งคือระบบที่รักษารูปทรงไว้ได้แต่จุดต่างๆ บนระบบเคลื่อนที่ไปในทิศทางที่แตกต่างกันระหว่างการหมุน ระบบแข็งไม่สามารถจำลองเป็นวัตถุเดี่ยวได้
- 5.1.A.1.ii ทิศทางหนึ่งของการกระจัดเชิงมุมรอบแกนหมุน—ตามทเข็มนาฬิกาหรือทวนทเข็มนาฬิกา—มักถูกกำหนดให้เป็นค่าบวกทางคณิตศาสตร์ โดยทิศทางอีกด้านจะเป็นค่าลบทางคณิตศาสตร์
- 5.1.A.1.iii หากการหมุนของระบบรอบแกนสามารถอธิบายได้ดีด้วยการเคลื่อนที่ของศูนย์กลางมวลของระบบ ระบบสามารถพิจารณาเป็นวัตถุเดียวได้ ตัวอย่างเช่น การหมุนของโลก حولตัวเองอาจถูกละเลยเมื่อพิจารณาถึงการโคจรของโลกรอบศูนย์กลางมวลของระบบโลก-ดวงอาทิตย์
5.1.A.2 ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยคืออัตราเฉลี่ยที่ตำแหน่งเชิงมุมเปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลา
- สมการ: $\omega_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$
5.1.A.3 ความเร่งเชิงมุมเฉลี่ยคืออัตราเฉลี่ยที่ความเร็วเชิงมุมเปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลา
- สมการ: $\alpha_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$
5.1.A.4 การกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุมรอบแกนหนึ่งมีความคล้ายคลึงกับการกระจัดเชิงเส้น ความเร็ว และ ความเร่ง ในหนึ่งมิติ และแสดงความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์เดียวกัน
- 5.1.A.4.i สำหรับความเร่งเชิงมุมคงที่ ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างการกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุมสามารถอธิบายได้ด้วยสมการต่อไปนี้:
  - สมการ: $\omega = \omega_0 + \alpha t$
  - สมการ: $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
  - สมการ: $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
- 5.1.A.4.ii กราฟของการกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุมในฐานะฟังก์ชันของเวลาสามารถใช้เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านั้นได้

คำชี้แจงขอบเขต: คำอธิบายทิศทางการหมุนสำหรับจุดหรือวัตถุจำกัดอยู่เฉพาะตามทเข็มนาฬิกาและทวนทเข็มนาฬิกาเทียบกับแกนหมุนที่กำหนดเท่านั้น

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Rotation is described by angular quantities that mirror the linear ones:

angular displacement 角位移 $\theta$ (in radians 弧度),
angular velocity 角速度 $\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$,
angular acceleration 角加速度 $\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$.

For constant $\alpha$, the rotational kinematic equations have the same form as the linear ones, with $\theta,\omega,\alpha$ replacing $x,v,a$: $\omega=\omega_0+\alpha t$, $\theta=\omega_0 t+\tfrac12\alpha t^2$, and $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\theta$.

Worked example. A wheel starts from rest and speeds up uniformly to $30\ \text{rad/s}$ in $6.0\ \text{s}$. Find its angular acceleration and the total angle turned:

$$\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{30}{6.0}=5.0\ \text{rad/s}^2,\qquad \theta=\tfrac12\alpha t^2=\tfrac12\times5.0\times6.0^2=90\ \text{rad}.$$

ไทย

การชนทดสอบความรุนแรง: แรงและแรงบิดขนาดใหญ่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วในการเคลื่อนที่เชิงเส้นและเชิงมุม — การทดสอบการชน: แรงและแรงบิดขนาดใหญ่ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วในการเคลื่อนที่เชิงเส้นและเชิงมุม

สปริงภายใต้แรงกด: กฎของฮุคเชื่อมโยงระหว่างแรงและการยืดออก – เป็นบริบทที่มีประโยชน์สำหรับพลังงานในระบบหมุน — สปริงภายใต้ภาระ: กฎของฮุคเชื่อมโยงแรงและการยืดออก – เป็นข้อมูล زمینهที่มีประโยชน์สำหรับพลังงานในระบบหมุน

การหมุนถูกอธิบายด้วยปริมาณเชิงมุมซึ่งมีรูปแบบคล้ายคลึงกับปริมาณเชิงเส้น:

หนึ่งเรเดียนคือมุมที่มีความยาวส่วนโค้งเท่ากับรัศมี — หนึ่งเรเดียนคือมุมที่มีความยาวส่วน弧เท่ากับรัศมี

การกระจัดเชิงมุม $\theta$ (ในหน่วย เรเดียน),
ความเร็วเชิงมุม $\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$,
ความเร่งเชิงมุม $\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$.

สำหรับ $\alpha$ ที่คงที่ สมการจลนศาสตร์การหมุนจะมีรูปแบบเดียวกับสมการเชิงเส้น โดยที่ $\theta,\omega,\alpha$ แทนที่ $x,v,a$: $\omega=\omega_0+\alpha t$, $\theta=\omega_0 t+\tfrac12\alpha t^2$ และ $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\theta$.

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. ล้อเริ่มจากสถานะหยุดนิ่งและมีความเร็วเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอถึง $30\ \text{rad/s}$ ในช่วงเวลา $6.0\ \text{s}$. หาความเร่งเชิงมุมและมุมรวมที่หมุนได้:

$$\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{30}{6.0}=5.0\ \text{rad/s}^2,\qquad \theta=\tfrac12\alpha t^2=\tfrac12\times5.0\times6.0^2=90\ \text{rad}.$$

Vocabulary · ⁨คำศัพท์⁩ Train · ⁨ฝึกฝน⁩

English	ไทย
angular displacement/ˈæŋɡjʊlə dɪˈspleɪsmənt/	การกระจัดเชิงมุม
radians/ˈreɪdɪənz/	เรเดียน
angular velocity/ˈæŋɡjʊlə vəˈlɒsɪti/	ความเร็วเชิงมุม
angular acceleration/ˈæŋɡjʊlə əkˌseləˈreɪʃn/	ความเร่งมุม
Torque/tɔːk/	โมเมนต์แรงบิด
moment arm/ˈməʊmənt ɑːm/	แขนงแรงบิด
Rotational inertia/rəʊˈteɪʃənl ɪˈnɜːʃə/	ความเฉื่อยในการหมุน
rotational equilibrium/rəʊˈteɪʃənl ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	สมดุลการหมุน

5.2

Connecting Linear and Rotational Motion · ⁨การเชื่อมโยงการเคลื่อนที่เชิงเส้นและการเคลื่อนที่เชิงมุม⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.2.A: Describe the linear motion of a point on a rotating rigid system that corresponds to the rotational motion of that point, and vice versa.

5.2.A.1 For a point at a distance $r$ from a fixed axis of rotation, the linear distance $s$ traveled by the point as the system rotates through an angle $\Delta\theta$ is given by the equation $\Delta s = r\Delta\theta$.
5.2.A.2 Derived relationships of linear velocity and of the tangential component of acceleration to their respective angular quantities are given by the following equations:
- Equation: $s = r\theta$
- Equation: $v = r\omega$
- Equation: $a_T = r\alpha$
5.2.A.3 For a rigid system, all points within that system have the same angular velocity and angular acceleration.

Boundary statement: Descriptions of the directions of rotation for a point or object are limited to clockwise and counterclockwise with respect to a given axis of rotation.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.2.A: อธิบายการเคลื่อนที่เชิงเส้นของจุดบนระบบแข็งที่กำลังหมุนซึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดนั้น และในทางกลับกัน

5.2.A.1 สำหรับจุดที่อยู่ที่ระยะ $r$ จากแกนหมุนคงที่ ระยะทางเชิงเส้น $s$ ที่จุดนั้นเคลื่อนที่ขณะระบบหมุนผ่านมุม $\Delta\theta$ ให้โดยสมการ $\Delta s = r\Delta\theta$
5.2.A.2 ความสัมพันธ์ที่ได้มาของความเร็วจงเส้นและองค์ประกอบแนวสัมผัสของความเร่งเทียบกับปริมาณเชิงมุมที่เกี่ยวข้องให้โดยสมการต่อไปนี้:
- สมการ: $s = r\theta$
- สมการ: $v = r\omega$
- สมการ: $a_T = r\alpha$
5.2.A.3 สำหรับระบบแข็ง จุดทั้งหมดภายในระบบมีความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมเท่ากัน

คำชี้แจงขอบเขต: คำอธิบายทิศทางการหมุนสำหรับจุดหรือวัตถุจำกัดอยู่เฉพาะตามทเข็มนาฬิกาและทวนทเข็มนาฬิกาเทียบกับแกนหมุนที่กำหนดเท่านั้น

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

A point at radius $r$ from the axis has linear quantities tied to the angular ones:

$$s=r\theta,\qquad v=r\omega,\qquad a_t=r\alpha.$$

Points farther from the axis move faster. This link lets you switch between "how fast the wheel spins" and "how fast a point on its rim moves."

Worked example. A bicycle wheel of radius $0.35\ \text{m}$ spins at $12\ \text{rad/s}$. A point on the rim (and so the bike) moves at $v=r\omega=0.35\times12=4.2\ \text{m/s}$. A point halfway to the axis moves at half that speed.

ไทย

จุดที่ระยะ $r$ จากแกนหมุน จะมีปริมาณเชิงเส้นสัมพันธ์กับปริมาณเชิงมุมดังนี้:

$$s=r\theta,\qquad v=r\omega,\qquad a_t=r\alpha.$$

จุดที่อยู่ห่างจากแกนยิ่งมากยิ่งเคลื่อนที่เร็วขึ้น ความสัมพันธ์นี้ช่วยให้สลับระหว่าง "ความเร็วในการหมุนของล้อ" กับ "ความเร็วของจุดบนขอบล้อ移动的" ได้

เมื่อรัศมีหมุนผ่านมุมหนึ่ง จุดจะเคลื่อนที่ตามส่วนโค้งด้วยความเร็ว v

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. ล้อจักรยานที่มีรัศมี $0.35\ \text{m}$ หมุนด้วยความเร็ว $12\ \text{rad/s}$. จุดบนขอบล้อ (ดังนั้นรถจักรยาน) เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $v=r\omega=0.35\times12=4.2\ \text{m/s}$. จุดที่อยู่กึ่งกลางระหว่างขอบล้อกับแกนหมุนจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วครึ่งหนึ่งของค่าดังกล่าว.

5.3

Torque · ⁨แรงบิด⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.3.A: Identify the torques exerted on a rigid system.

5.3.A.1 Torque results only from the force component perpendicular to the position vector from the axis of rotation to the point of application of the force.
5.3.A.2 The lever arm is the perpendicular distance from the axis of rotation to the line of action of the exerted force.

Learning Objective 5.3.B: Describe the torques exerted on a rigid system.

5.3.B.1 Torques can be described using force diagrams.
- 5.3.B.1.i Force diagrams are similar to free-body diagrams and are used to analyze the torques exerted on a rigid system.
- 5.3.B.1.ii Similar to free-body diagrams, force diagrams represent the relative magnitude and direction of the forces exerted on a rigid system. Force diagrams also depict the location at which those forces are exerted relative to the axis of rotation.
5.3.B.2 The magnitude of the torque exerted on a rigid system by a force is described by the following equation, where $\theta$ is the angle between the force vector and the position vector from the axis of rotation to the point of application of the force.
- Equation: $\tau = rF_{\perp} = rF\sin\theta$

Boundary statement: While AP Physics 1 expects students to mathematically manipulate the magnitude of torque using vector conventions, the direction of torque is beyond the scope of the course.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.3.A: ระบุแรงบิดที่กระทำต่อระบบแข็ง

5.3.A.1 แรงบิดเกิดจากองค์ประกอบของแรงที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตำแหน่งจากแกนหมุนไปยังจุดที่แรงกระทำเท่านั้น
5.3.A.2 ค้างคาว (lever arm) คือระยะทางตั้งฉากจากแกนหมุนไปยังเส้นกระทำของแรงที่ exerted

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.3.B: อธิบายโมเมนต์แรงที่กระทำต่อระบบแข็ง

5.3.B.1 โมเมนต์แรงสามารถอธิบายได้โดยใช้แผนภาพแรง
- 5.3.B.1.i แผนภาพแรงคล้ายกับแผนภาพวัตถุอิสระ (free-body diagrams) และใช้เพื่อวิเคราะห์โมเมนต์แรงที่กระทำต่อระบบแข็ง
- 5.3.B.1.ii คล้ายกับแผนภาพวัตถุอิสระ แผนภาพแรงแสดงขนาดสัมพัทธ์และทิศทางของแรงที่กระทำต่อระบบแข็ง นอกจากนี้แผนภาพแรงยังแสดงตำแหน่งที่แรงเหล่านั้นถูกกระทำเมื่อเทียบกับแกนหมุน
5.3.B.2 ขนาดของโมเมนต์แรงที่กระทำต่อระบบแข็งโดยแรงหนึ่งๆ สามารถอธิบายได้ด้วยสมการต่อไปนี้ โดยที่ $\theta$ คือมุมระหว่างเวกเตอร์แรงกับเวกเตอร์ตำแหน่งจากแกนหมุนไปยังจุดที่แรงถูกกระทำ
- สมการ: $\tau = rF_{\perp} = rF\sin\theta$

ขอบเขตเนื้อหา: ในขณะที่ AP Physics 1要求学生ทางคณิตศาสตร์ในการจัดการขนาดของโมเมนต์แรงตามกฎของเวกเตอร์ ทิศทางของโมเมนต์แรงอยู่นอกขอบเขตของหลักสูตรนี้

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

The principle of moments (torque)

Torque 力矩 is the rotational effect of a force – how effectively it turns an object about an axis:

$$\tau=r F\sin\theta = F\cdot r_\perp,$$

where $r_\perp$ is the moment arm 力臂 (the perpendicular distance from the axis to the force's line of action). A force applied farther out, or more perpendicular, produces more torque. Torque has a sign (clockwise vs counterclockwise).

Worked example. You push with $20\ \text{N}$ at the end of a $0.30\ \text{m}$ wrench. Perpendicular to the wrench the torque is $\tau=rF=0.30\times20=6.0\ \text{N m}$. If you push at $60^{\circ}$ to the wrench instead, only the perpendicular part counts: $\tau=rF\sin 60^{\circ}=0.30\times20\times0.87=5.2\ \text{N m}$ – which is why you push at a right angle for the most turning effect.

ไทย

หลักการของโมเมนต์ (แรงบิด)

แรงบิด คือผลกระทบจากการหมุนของแรง – ประสิทธิภาพในการทำให้วัตถุหมุนรอบแกน:

$$\tau=r F\sin\theta = F\cdot r_\perp,$$

โดยที่ $r_\perp$ คือ แขนของโมเมนต์ (ระยะตั้งฉากจากแกนไปยังแนวกระทำของแรง) หากแรงกระทำอยู่ห่างออกไปมากขึ้น หรือตั้งฉากมากขึ้น จะเกิดแรงบิดมากขึ้น แรงบิดมีเครื่องหมาย (ตามเข็มนาฬิกา vs ทวนเข็มนาฬิกา).

โมเมนต์ของแรงขึ้นอยู่กับระยะตั้งฉากจากจุดหมุน

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. คุณดันด้วยแรง $20\ \text{N}$ ที่ปลายประแจยาว $0.30\ \text{m}$. ตั้งฉากกับประแจ แรงบิดคือ $\tau=rF=0.30\times20=6.0\ \text{N m}$. หากคุณดันที่มุม $60^{\circ}$ กับประแจแทน那เพียงองค์ประกอบที่ตั้งฉากเท่านั้นที่มีผล: $\tau=rF\sin 60^{\circ}=0.30\times20\times0.87=5.2\ \text{N m}$ – นั่นคือเหตุผลที่คุณควรดันในมุมฉากเพื่อให้เกิดผลหมุนมากที่สุด.

Explore · ⁨สำรวจ⁩

Balance torques on a beam · ⁨ปรับสมดุลแรงบิดบนคาน⁩

Torque is force times perpendicular distance, $\tau=Fd$. The beam is in rotational equilibrium when the torques on each side are equal. · ⁨แรงบิด คือ แรงคูณด้วยระยะตั้งฉาก $\tau=Fd$ คานจะอยู่ใน สภาวะสมดุลหมุน เมื่อแรงบิดทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน⁩

5.4

Rotational Inertia · ⁨ความเฉื่อยต่อการหมุน⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.4.A: Describe the rotational inertia of a rigid system relative to a given axis of rotation.

5.4.A.1 Rotational inertia measures a rigid system's resistance to changes in rotation and is related to the mass of the system and the distribution of that mass relative to the axis of rotation.
5.4.A.2 The rotational inertia of an object rotating a perpendicular distance $r$ from an axis is described by the equation
- Equation: $I = mr^2$
5.4.A.3 The total rotational inertia of a collection of objects about an axis is the sum of the rotational inertias of each object about that axis:
- Equation: $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$

Learning Objective 5.4.B: Describe the rotational inertia of a rigid system rotating about an axis that does not pass through the system's center of mass.

5.4.B.1 A rigid system's rotational inertia in a given plane is at a minimum when the rotational axis passes through the system's center of mass.
5.4.B.2 The parallel axis theorem uses the following equation to relate the rotational inertia of a rigid system about any axis that is parallel to an axis through its center of mass:
- Equation: $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

Boundary statement: AP Physics 1 only expects students to calculate the rotational inertia for systems of five or fewer objects arranged in a two-dimensional configuration.

Boundary statement: Students do not need to know the rotational inertia of extended rigid systems, as these will be provided within the exam. Students should have a qualitative understanding of the factors that affect rotational inertia; for example, how rotational inertia is greater when mass is farther from the axis of rotation, which is why a hoop has more rotational inertia than a solid disk of the same mass and radius.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.4.A: อธิบายความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็งเมื่อเทียบกับแกนหมุนที่กำหนด

5.4.A.1 ความเฉื่อยรอบแกนหมุนวัดความต้านทานของการเปลี่ยนแปลงการหมุนของระบบแข็ง และมีความสัมพันธ์กับมวลของระบบและการกระจายตัวของมวลนั้นเมื่อเทียบกับแกนหมุน
5.4.A.2 ความเฉื่อยรอบแกนหมุนของวัตถุที่หมุนในระยะตั้งฉาก $r$ จากแกนใดแกนหนึ่ง สามารถอธิบายได้ด้วยสมการ
- สมการ: $I = mr^2$
5.4.A.3 ความเฉื่อยรอบแกนหมุนรวมของกลุ่มวัตถุรอบแกนหนึ่งๆ เป็นผลรวมของความเฉื่อยรอบแกนหมุนของแต่ละวัตถุรอบแกนนั้น:
- สมการ: $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.4.B: อธิบายความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็งที่หมุนรอบแกนที่ไม่ผ่านศูนย์กลางมวลของระบบ

5.4.B.1 ความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็งในระนาบหนึ่งๆ จะมีค่าต่ำสุดเมื่อแกนหมุนผ่านศูนย์กลางมวลของระบบ
5.4.B.2 theorem แกขนอนขนานใช้สมการต่อไปนี้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ของความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็งรอบแกนใดๆ ที่ขนานกับแกนที่ผ่านศูนย์กลางมวล:
- สมการ: $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

ขอบเขตเนื้อหา: AP Physics 1要求学生คำนวณเฉพาะความเฉื่อยรอบแกนหมุนสำหรับระบบที่มีวัตถุห้าชิ้นหรือน้อยกว่าที่จัดอยู่ในรูปทรงสองมิติเท่านั้น

ขอบเขตเนื้อหา: นักเรียนไม่จำเป็นต้องทราบความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็งที่มีขนาดต่อเนื่อง เนื่องจากจะได้รับการให้มาภายในข้อสอบ นักเรียนควรมีความเข้าใจเชิงคุณภาพเกี่ยวกับปัจจัยที่ส่งผลต่อความเฉื่อยรอบแกนหมุน เช่น ความเฉื่อยรอบแกนหมุนจะมีค่ามากขึ้นเมื่อมวลอยู่ห่างจากแกนหมุน ซึ่งอธิบายได้ว่าทำไมห่วงกลมจึงมีความเฉื่อยรอบแกนหมุนมากกว่าดิสก์ทึบที่มีมวลและรัศมีเท่ากัน

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Rotational inertia 转动惯量 (moment of inertia) $I$ measures how hard it is to change an object's rotation – the rotational version of mass. It depends on both the mass and how far that mass sits from the axis: mass spread farther out gives a larger $I$. For a point mass, $I=mr^2$; for extended bodies, standard formulas are provided (a hoop is $mR^2$, a solid disk $\tfrac12 mR^2$). This is why a figure skater spins faster when she pulls her arms in – she reduces $I$.

ไทย

ความเฉื่อยต่อการหมุน (โมเมนต์ของความเฉื่อย) $I$ วัดความยากในการเปลี่ยนการหมุนของวัตถุ – เป็น versi ของมวลสำหรับการหมุน. มันขึ้นอยู่กับทั้งมวล และระยะทางที่มวลนั้นห่างจากแกน: มวลที่กระจายอยู่ไกลออกไป越多 จะให้ค่า $I$ ที่更大. สำหรับมวลจุดเดียว, $I=mr^2$; สำหรับวัตถุที่มีขนาด, มีสูตรมาตรฐานให้ (วงแหวนคือ $mR^2$, จานทึบคือ $\tfrac12 mR^2$). นี่คือเหตุผลที่นักเล่นสเก็ตหน้าแข็งหมุนเร็วขึ้นเมื่อกอดแขนเข้าหาตัว – เพราะเธอลดค่า $I$ ลง.

5.5

Rotational Equilibrium · ⁨สมดุลเชิงมุม⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.5.A: Describe the conditions under which a system's angular velocity remains constant.

5.5.A.1 A system may exhibit rotational equilibrium (constant angular velocity) without being in translational equilibrium, and vice versa.
- 5.5.A.1.i Free-body and force diagrams describe the nature of the forces and torques exerted on an object or rigid system.
- 5.5.A.1.ii Rotational equilibrium is a configuration of torques such that the net torque exerted on the system is zero.
  - Equation: $\sum \tau_i = 0$
- 5.5.A.1.iii The rotational analog of Newton's first law is that a system will have a constant angular velocity only if the net torque exerted on the system is zero.
5.5.A.2 A rotational corollary to Newton's second law states that if the torques exerted on a rigid system are not balanced, the system's angular velocity must be changing.

Boundary statement: AP Physics 1 does not expect students to simultaneously analyze rotation in multiple planes.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.5.A: อธิบายเงื่อนไขที่ทำให้ความเร็วเชิงมุมของระบบคงที่

5.5.A.1 ระบบอาจอยู่ในสภาวะสมดุลการหมุน (ความเร็วเชิงมุมคงที่) โดยไม่ได้อยู่ในสภาวะสมดุลการเคลื่อนที่ และการเคลื่อนที่ก็反之亦然
- 5.5.A.1.i แผนภาพวัตถุอิสระและแผนภาพแรงอธิบายลักษณะของแรงและโมเมนต์แรงที่กระทำต่อวัตถุหรือระบบแข็ง
- 5.5.A.1.ii สมดุลการหมุนคือสภาวะของโมเมนต์แรง使得ผลรวมของโมเมนต์แรงที่กระทำต่อระบบเป็นศูนย์
  - สมการ: $\sum \tau_i = 0$
- 5.5.A.1.iii รูปแบบการหมุนของกฎข้อแรกของนิวตันระบุว่าระบบจะมีความเร็วเชิงมุมคงที่ก็ต่อเมื่อผลรวมของโมเมนต์แรงที่กระทำต่อ系统是ศูนย์
5.5.A.2 บทสรุปของการหมุนของกฎข้อที่สองของนิวตันระบุว่าหากโมเมนต์แรงที่กระทำต่อระบบแข็งไม่สมดุล ความเร็วเชิงมุมของระบบจะต้องมีการเปลี่ยนแปลง

ขอบเขตเนื้อหา: AP Physics 1要求学生ไม่ต้องการให้วิเคราะห์การหมุนในหลายระนาบพร้อมกัน

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

An object is in rotational equilibrium 转动平衡 when the net torque is zero, so its angular velocity stays constant. For a balanced (static) object, both the net force and the net torque are zero. Choosing the axis at an unknown force's location removes it from the torque equation – a useful trick for beam and ladder problems.

Worked example. A $30\ \text{kg}$ child sits $2.0\ \text{m}$ from the pivot of a seesaw. Where must a $40\ \text{kg}$ child sit on the other side to balance it? Set the clockwise torque equal to the anticlockwise torque (the $g$'s cancel):

$$30\times2.0=40\times d\;\Rightarrow\;d=\frac{60}{40}=1.5\ \text{m}.$$

The heavier child sits closer to the pivot – less distance, same torque.

ไทย

วัตถุอยู่ใน สมดุลเชิงมุม เมื่อ แรงบิดสุทธิ เป็นศูนย์ ทำให้ความเร็วเชิงมุมคงที่ สำหรับวัตถุที่สมดุล (สถิต) ทั้งแรงสุทธิ และ แรงบิดสุทธิจะเป็นศูนย์ การเลือกแกนที่ตำแหน่งของแรงที่ไม่ทราบค่า จะทำให้แรงนั้นหายไปจากสมการแรงบิด – ซึ่งเป็นเทคนิคที่มีประโยชน์สำหรับโจทย์คานและบันได.

ที่จุดสมดุล โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาวิกาโดยรอบจุดหมุนมีค่าเท่ากัน

ตัวอย่างวิธีทำ. เด็ก $30\ \text{kg}$ นั่งอยู่ห่างจากจุดหมุนของสาด $2.0\ \text{m}$. เด็ก $40\ \text{kg}$ ต้องนั่งด้านตรงข้ามที่ใดเพื่อให้สาดสมดุล? ตั้งให้แรงบิดตามเข็มนาฬิกาเท่ากับแรงบิดทวนเข็มนาฬิกา ($g$ ตัดกัน):

$$30\times2.0=40\times d\;\Rightarrow\;d=\frac{60}{40}=1.5\ \text{m}.$$

เด็กที่หนักกว่านั่งใกล้จุดหมุน – ระยะทางสั้นลง แต่ได้แรงบิดเท่าเดิม.

Explore · ⁨สำรวจ⁩

Find the balance point · ⁨หาค่าสมดุล⁩

For rotational equilibrium the total clockwise torque equals the total anticlockwise torque. Move the forces and distances until the beam balances. · ⁨สำหรับ สภาวะสมดุลหมุน แรงบิดตามนัยรวมต้องเท่ากับแรงบิดทวนนัยรวม เคลื่อนย้ายแรงและระยะทางจนกว่าคานจะสมดุล⁩

5.6

Newton's Second Law in Rotational Form · ⁨กฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบการหมุน⁩

Syllabus · ⁨หลักสูตร⁩

English

Learning Objective 5.6.A: Describe the conditions under which a system's angular velocity changes.

5.6.A.1 Angular velocity changes when the net torque exerted on the object or system is not equal to zero.
5.6.A.2 The rate at which the angular velocity of a rigid system changes is directly proportional to the net torque exerted on the rigid system and is in the same direction. The angular acceleration of the rigid system is inversely proportional to the rotational inertia of the rigid system.
- Equation: $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\sum \tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
5.6.A.3 To fully describe a rotating rigid system, linear and rotational analyses may need to be performed independently.

ไทย

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 5.6.A: อธิบายเงื่อนไขที่ทำให้ความเร็วเชิงมุมของระบบเปลี่ยนแปลง

5.6.A.1 ความเร็วเชิงมุมจะเปลี่ยนเมื่อผลรวมของโมเมนต์แรงที่กระทำต่อวัตถุหรือระบบไม่เท่ากับศูนย์
5.6.A.2 อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมของระบบแข็งแปรผันตรงกับโมเมนต์แรงสุทธิที่กระทำต่อระบบแข็งและมีทิศทางเดียวกัน ความเร่งเชิงมุมของระบบแข็งแปรผกผันกับความเฉื่อยรอบแกนหมุนของระบบแข็ง
- สมการ: $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\sum \tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
5.6.A.3 เพื่ออธิบายระบบแข็งที่กำลังหมุนอย่างสมบูรณ์ อาจจำเป็นต้องทำการวิเคราะห์แบบเส้นตรงและการวิเคราะห์แบบการหมุนแยกต่างหาก

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP⁩

English

Net torque produces angular acceleration, in direct analogy with $F=ma$:

$$\sum\tau = I\alpha.$$

So a larger net torque, or a smaller rotational inertia, gives a larger angular acceleration. Solve rotation problems just like translation problems, with $\tau\leftrightarrow F$, $I\leftrightarrow m$, and $\alpha\leftrightarrow a$.

Worked example. A net torque of $12\ \text{N m}$ acts on a wheel with rotational inertia $I=3.0\ \text{kg m}^2$. Its angular acceleration is $\alpha=\tau/I=12/3.0=4.0\ \text{rad/s}^2$ – the exact rotational twin of $a=F/m$.

ไทย

แรงบิดสุทธิทำให้เกิดความเร่งเชิงมุม ซึ่งมีความสัมพันธ์โดยตรงกับ $F=ma$:

$$\sum\tau = I\alpha.$$

ดังนั้น แรงบิดสุทธิที่ใหญ่ขึ้น หรือความเฉื่อยต่อการหมุนที่น้อยลง จะส่งผลให้ความเร่งเชิงมุมมากขึ้น แก้โจทย์การหมุนได้เหมือนโจทย์การเคลื่อนที่ โดยใช้ $\tau\leftrightarrow F$, $I\leftrightarrow m$ และ $\alpha\leftrightarrow a$.

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. แรงบิดสุทธิ $12\ \text{N m}$作用于ล้อที่มีความเฉื่อยต่อการหมุน $I=3.0\ \text{kg m}^2$. ความเร่งเชิงมุมของมันคือ $\alpha=\tau/I=12/3.0=4.0\ \text{rad/s}^2$ – ซึ่งเป็นคู่ขนานเชิงมุมที่แท้จริงของ $a=F/m$.

5.6

Exam tips · ⁨ข้อแนะนำสำหรับการสอบ⁩

English

Torque $\tau=Fr_\perp$ uses the perpendicular distance from the pivot; a force through the pivot gives zero torque.
For balance, set clockwise torque = anticlockwise torque; choosing the pivot at an unknown force removes it from the equation.
Use the rotational analogues: $\tau\leftrightarrow F$, $I\leftrightarrow m$, $\alpha\leftrightarrow a$, so $\sum\tau=I\alpha$ mirrors $\sum F=ma$.
Rotational inertia depends on how far the mass sits from the axis, not just its amount — a hoop resists spinning more than a disc of equal mass.
Convert angles to radians and link linear to angular with $v=r\omega$, $a_t=r\alpha$.

ไทย

แรงบิด $\tau=Fr_\perp$ ใช้ระยะตั้งฉากจากจุดหมุน; แรงที่ผ่านจุดหมุนจะให้แรงบิดเป็นศูนย์.
เพื่อความสมดุล ให้ตั้งโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา = โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา; การเลือกจุดหมุนที่แรงที่ไม่ทราบค่าจะช่วยให้แรงนั้นหายไปจากสมการ
ใช้ตัวเทียบในทางหมุน: $\tau\leftrightarrow F$, $I\leftrightarrow m$, $\alpha\leftrightarrow a$, ดังนั้น $\sum\tau=I\alpha$ จึงเป็นภาพสะท้อนของ $\sum F=ma$
โมเมนต์ความเฉื่อย ขึ้นอยู่กับ ระยะห่าง ของมวลจากแกนหมุน ไม่ใช่แค่ปริมาณมวล — ห่วงวงกลมจะต้านทานการหมุนมากกว่าดิสก์ที่มีมวลเท่ากัน
แปลงมุมเป็น เรเดียน และเชื่อมโยงการเคลื่อนที่เชิงเส้นกับการหมุนด้วย $v=r\omega$, $a_t=r\alpha$

Interactive lessons on this topic · ⁨บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที⁩

Past Papers · ⁨ข้อสอบย้อนหลัง⁩

More topics in AP Physics 1 · ⁨หัวข้อเพิ่มเติมใน AP Physics 1⁩