C.5 · Несобственные интегралы и геометрические приложения

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: первообразные, пределы, сравнение и геометрическая интеграция.

• Определить несобственные интегралы через пределы на каждой сингулярной границе
• Выбрать формулы площади, объема и длины дуги из геометрии
• Разделить сходимость интегралов от знакового сокращения

несобственный интеграл: Интеграл, определенный через пределы на бесконечных или сингулярных границах.

главное значение: Предел, использующий предписанное симметричное сокращение, которое может существовать, когда обычный несобственный интеграл расходится.

Бесконечный предел интегрирования заменяется конечной границей и пределом. В точке сингулярности внутри интервала разбивают интеграл и требуют отдельной сходимости обоих односторонних интегралов. Симметричное сокращение может определить главное значение Коши, но не доказывает сходимость обычного несобственного интеграла. Для 1/x через ноль обе стороны расходятся, хотя симметричные отсечения сокращаются.

Интеграл от x^(−p) от 1 до бесконечности сходится тогда и только тогда, когда p>1. От нуля до 1 он сходится тогда и только тогда, когда p<1. Один и тот же показатель ведет себя по-разному на двух границах. Для неотрицательных подынтегральных функций сравнение переносит сходимость от большей интегрируемой функции или расходимость от меньшей неинтегрируемой; сохраняйте верное направление неравенства. Для интеграла от максимума или минимума решите пересечения ветвей и проверьте, какое выражение доминирует на каждом интервале. Для max(√(1−x²),x+1) на [−1,1], внутреннее пересечение равно нулю; используйте полуокружность на [−1,0] и прямую на [0,1]. Площадь равна π/4+3/2, а не интегралу ни одной ветви на всем интервале.

Для вращения вокруг оси x диски или кольца интегрируют π(R²−r²) dx. Цилиндрические оболочки используют 2π умножить радиус на высоту и интегрировать по соответствующей переменной. Выберите метод по геометрии и проверьте неотрицательность радиусов. Площадь между кривыми интегрирует верхнюю минус нижнюю, разбивая там, где меняется их порядок. Знаковый интеграл не является автоматически геометрической площадью.

Для дифференцируемой плоской кривой y=f(x) длина дуги — это интеграл от sqrt(1+(f′(x))²) dx. Поверхность, образованная вращением неотрицательного f вокруг оси x, имеет площадь интеграла 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. Это разные величины по сравнению с объемом. Если интервал неограничен, геометрическая формула все равно требует теста сходимости.

Вращайте y=1/x при x≥1 вокруг оси x. Объем диска равен π, умноженному на интеграл от 1/x², поэтому V=π. Подынтегральное выражение боковой поверхности равно 2π(1/x)·sqrt(1+1/x⁴), что не менее чем 2π/x; его несобственный интеграл расходится. Следовательно, конечный объем не означает конечную площадь поверхности. Это сравнение позволяет избежать попытки найти лишнюю первообразную.

Никогда не считайте главное значение сходящимся несобственным интегралом или выводите конечность одной геометрической величины из другой.

Для каких действительных p сходится $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$? Сравните обычный несобственный интеграл от $1/x$ на $[-1,1]$ с его симметричным главным значением.

Разобранное решение

Разбить при 1. Вблизи нуля сходимость требует $p<1$; вблизи бесконечности она требует $p>1$. Нет такого действительного p, чтобы удовлетворить обоим условиям, и p=1 расходится логарифмически на обоих концах. Обе односторонние части должны сходиться независимо. Для $1/x$ через ноль отрицательная и положительная части расходятся отдельно, поэтому обычный несобственный интеграл расходится. Симметричные отсечения сокращаются до нуля, давая только главное значение. Ноль не является значением обычного интеграла.

Вращать область под $y=1/x$, $x\ge1$ вокруг оси x. Доказать, что ее объем конечен, а боковая поверхность бесконечна.

Проверка после выполнения

Диски дают $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$. Для площади поверхности $y'=-1/x^2$ и

Её неотрицательная подынтегральная функция как минимум равна $2\pi/x$, интеграл которой расходится. Сравнение доказывает бесконечную боковую поверхность. Это не включает ни крышку, ни утверждение о том, что конечный объем означает конечную площадь.