Для дифференцируемой функции на открытом множестве внутренний локальный экстремум имеет нулевой градиент. Это необходимое, но не достаточное условие. Для двух переменных в критической точке пусть D=f_xx f_yy−(f_xy)². Если D>0, то f_xx>0 даёт строгий локальный минимум, а f_xx<0 — строгий локальный максимум; D<0 указывает на седловую точку. Эти тесты требуют соответствующей регулярности вторых производных в окрестности точки.
При D=0 тест по вторым производным не дает вывода, что не является доказательством наличия седловой точки. Функции x⁴+y⁴ и x⁴−y⁴ имеют одинаковый нулевой гессиан в начале координат, однако одна из них имеет строгий минимум, а другая меняет знак. Оценивайте вдоль контрастных направлений или используйте прямое неравенство. Для квадратичной формы положительная определенность дает более общее толкование гессиана.
На гладком равенстве g(x,y)=c с ненулевым градиентом g решите систему ∇f=λ∇g вместе с g=c. Эти уравнения порождают кандидатов; они не классифицируют и не гарантируют глобальный экстремум. Если градиент ограничения обращается в ноль, условие регулярности нарушается, и уравнения множителей могут пропустить ограниченный экстремум. Рассматривайте такие точки отдельно. Для x²+y²=a и xy=b>0, (x−y)²=a−2b показывает необходимость a≥2b. Это также достаточно: возьмите s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 и y=(s−d)/2. Эти действительные значения удовлетворяют xy=b и x²+y²=a. Условие минимума само по себе требует проверки достижимости для установления разрешимости.
Непрерывная функция на компактном допустимом множестве достигает глобальных экстремумов. Чтобы найти их, сравните всех внутренних кандидатов и все граничные части, включая углы и концы отрезков. Для прямоугольника оптимизируйте ограничения на каждом ребре. Для круга круговая граница может использовать параметризацию или множители. Решение только незафиксированного градиента игнорирует возможных победителей на границе.
