C.7 · Замена переменных и теоремы о векторных интегралах

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: Кратные интегралы, частные производные и ориентированные границы.

• Преобразовывать двойные и тройные интегралы с их якобианами
• Применять теоремы Грина, Стокса и о дивергенции с правильной ориентацией
• Проверять особые точки области перед утверждением независимости пути

дивергенция: Сумма координатных частных производных векторного поля, характеризующая локальный поток наружу.

консервативное поле: Векторное поле, являющееся градиентом скалярного потенциала, с криволинейными интегралами, не зависящими от пути интегрирования.

Смена переменных масштабирует площадь или объём по модулю якобиана. Полярные координаты используют r dr dθ; цилиндрические — r dr dθ dz; сферические координаты (угол φ отсчитывается от положительной оси z) используют ρ² sin(φ) dρ dφ dθ. Укажите конвенции углов и преобразуйте как подынтегральную функцию, так и область. Отсутствующий якобиан превращает интеграл от постоянной плотности в неверную физическую величину.

Теорема Грина связывает интеграл по положительно ориентированному контуру границы плоской области P dx+Q dy с двойным интегралом от Q_x−P_y по этой области. Обычные гипотезы требуют непрерывности первых производных на открытом множестве, содержащем область. «Отверстие» требует собственной внутренней границы с отрицательной ориентацией либо другого корректного подхода для отсутствующей части области. Теорема не может применяться при интегрировании через особую точку поля.

Теорема Стокса связывает циркуляцию на границе поверхности с поверхностным интегралом от ротора F по нормализованному вектору нормали. Правило правой руки связывает направление границы с направлением нормали. Теорема о дивергенции связывает поток наружу через замкнутую поверхность с объёмным интегралом от дивергенции F. Циркуляция, поток, ротор и дивергенция — это различные понятия; для обычной теоремы о дивергенции требуется замкнутая поверхность.

Градиентное поле имеет криволинейные интегралы, не зависящие от пути, определяемые разностью потенциалов на концах. Непрерывно дифференцируемое безвихревое поле на односвязном открытом множестве является консервативным. Отсутствие вихря только на множестве с «отверстием» недостаточно. Для F=(−y/(x²+y²), x/(x²+y²)) начало координат исключено; циркуляция по единичной окружности равна 2π, хотя ротор равен нулю везде, где определено поле.

Для F=(x,y,z) дивергенция равна 3. Следовательно, внешний поток через сферу радиуса 2 равен 3, умноженному на её объем, то есть 3·(4π·2³/3)=32π. Это избегает параметризации поверхности. Для плоского поля (−y,x) теорема Грина дает циркуляцию единичной окружности против часовой стрелки как интеграл от 1−(−1)=2 по диску, следовательно, 2π. Изменение ориентации меняет знак циркуляции.

Нулевой ротор недостаточен, когда область имеет дыру. Внешний поток и циркуляция против часовой стрелки используют разные теоремы и правила ориентации.

Вычислите $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ на $1\le x^2+y^2\le4$. Найдите поток наружу поля $F=(x,y,z)$ через единичную сферу.

Разобранное решение

Для кольца полярные пределы интегрирования — $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$. С учётом якобиана,

Поле F непрерывно дифференцируемо во всём шаре и его дивергенция равна трём. Теорема о дивергенции даёт поток наружу, равный $3(4\pi/3)=4\pi$. Обратная (внутренняя) ориентация изменила бы знак.

Рассмотрим поле $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ на выколотой плоскости. Его скалярный ротор там равен нулю. Вычислите его циркуляцию по единичной окружности против часовой стрелки. Объясните, почему теорема Грина не делает её равной нулю.

Проверка после выполнения

Параметризуйте $r(t)=(\cos t,\sin t)$ для параметра $0\le t\le2\pi$. Тогда $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$, следовательно $G\cdot r'=1$, и интеграл равен $2\pi$. Поле не определено в начале координат внутри диска. Теорема Грина требует необходимой гладкости в окрестности области, а не только на её границе. Нулевой ротор на выколотой области не устанавливает существование глобального потенциала; замкнутое, но не точное поле может иметь циркуляцию вокруг своего «отверстия».