Смена координат и теоремы о векторных интегралах
Введено| English | Значение |
|---|---|
| divergence/daɪˈvɜːdʒəns/ | дивергенция |
| conservative field/kənˈsɜːvətɪv fiːld/ | потенциальное поле |
Решение перед ответом
- Векторное поле может иметь нулевой ротор вне начала координат, но его циркуляция вокруг начала координат отлична от нуля. «Дыра» в области имеет значение.
- Ваша цель: преобразовать двойные и тройные интегралы вместе с их якобианами.
Прочитайте соотношение
- Замена переменных масштабирует площадь или объем на абсолютную величину якобиана. Полярные координаты используют r dr dtheta; цилиндрические координаты используют r dr dtheta dz; сферические координаты с углом phi, отсчитываемым от положительной оси z, используют rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. Указывайте конвенции углов и преобразуйте как подынтегральное выражение, так и область. Пропущенный якобиан превращает интеграл от равномерной плотности в неверную физическую величину.
- Применяйте теоремы Грина, Стокса и о дивергенции с правильной ориентацией.
What is the polar-coordinate area element?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The absolute Jacobian of (r cos(theta),r sin(theta)) is r.
Используйте определяющее правило
- Теорема Грина приравнивает интеграл по контуру положительно ориентированной плоской границы ∮ P dx+Q dy к двойному интегралу от Q_x−P_y по области. Обычные гипотезы требуют непрерывности первых производных на открытом множестве, содержащем область. Дыра требует собственной отрицательно ориентированной внутренней границы или другого корректного подхода к отсутствующей области. Теорема не может интегрировать через сингулярность поля.
- Проверяйте сингулярности области перед утверждением о независимости пути.
For F=(x,y,z), what is the outward flux through the unit sphere?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Divergence is 3 and unit-ball volume is 4π/3, so outward flux is 4π.
Проверьте условия
- Теорема Стокса приравнивает циркуляцию на границе поверхности к поверхностному интегралу от curl F, умноженному на ориентированную нормаль. Правило правой руки связывает направление границы с нормалью. Теорема о дивергенции приравнивает поток, направленный наружу через замкнутую поверхность, к объемному интегралу от div F. Циркуляция, поток, ротор и дивергенция — это разные понятия; для обычной теоремы о дивергенции требуется замкнутая поверхность.
- Проверяйте сингулярности области перед утверждением о независимости пути.
Для F=(x,y,z) дивергенция равна 3. Следовательно, внешний поток через сферу радиуса 2 равен 3, умноженному на её объем, то есть 3·(4π·2³/3)=32π. Это избегает параметризации поверхности. Для плоского поля (−y,x) теорема Грина дает циркуляцию единичной окружности против часовой стрелки как интеграл от 1−(−1)=2 по диску, следовательно, 2π. Изменение ориентации меняет знак циркуляции.
For F=(2x,3y,4z), the divergence is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Differentiate matching coordinates and add 2+3+4.
Применяйте формат задания
- Градиентное поле имеет криволинейные интегралы, не зависящие от пути, определяемые разностью потенциалов на концах. Непрерывно дифференцируемое безроторное поле на просто связанном открытом множестве является консервативным. Отсутствие ротора одного на области с дырой недостаточно. Для F=(−y/(x²+y²), x/(x²+y²)) начало координат исключено; циркуляция по единичной окружности равна 2π, хотя ротор равен нулю везде, где определено поле.
- Проверяйте сингулярности области перед утверждением о независимости пути.
Нулевой ротор недостаточен, когда область имеет дыру. Внешний поток и циркуляция против часовой стрелки используют разные теоремы и правила ориентации.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Трансформировать двойные и тройные интегралы с использованием якобиана
A curl-free field on the punctured plane is always conservative.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The angular field in the lesson has zero curl away from zero but unit-circle circulation 2π, so it cannot be a global potential gradient there.
Сохраняйте различия
- Дивергенция — Сумма частных производных векторного поля по координатам, измеряющая локальный向外ный поток.
- Консервативное поле — Векторное поле, являющееся градиентом скалярного потенциала, с криволинейными интегралами, не зависящими от пути.
- Преобразуйте двойные и тройные интегралы вместе с их якобианами.
- Применяйте теоремы Грина, Стокса и о дивергенции с правильной ориентацией.
- Проверяйте сингулярности области перед утверждением о независимости пути.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.