Функции, обратные ветви и композиция
Введено| English | Значение |
|---|---|
| bijection/baɪˈdʒekʃn/ | биекция |
| involution/ɪnvəˈluːʃn/ | инволюция |
Решение перед ответом
- Обратимое кодирование должно восстанавливать ровно один исходный вход. Одной формулы недостаточно, чтобы определить возможность восстановления: важны допустимые входы и выходы.
- Ваша цель: Различить инъективность и сюръективность, используя указанные область определения и кодомен.
Прочитайте соотношение
- Функция ставит в соответствие каждому допустимому входу ровно один выход. Инъективность означает, что равные выходы требуют равных входов; сюръективность означает, что каждый элемент указанного кодомена достигается. Отображение x↦x² из R в [0,∞) является сюръективным, но не инъективным. Из [0,∞) в [0,∞) оно является биективным. Из [0,∞) в R оно остается инъективным, но теряет сюръективность. При проверке каждого утверждения разделяйте область определения, образ и кодомен.
- Выберите и проверьте обратную ветвь, выполняя композицию в обоих направлениях.
For f:[2,∞)→[−5,∞), f(x)=(x−2)²−5, what is f⁻¹(y)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The input restriction x≥2 forces x−2≥0, so select the positive square-root branch.
Используйте определяющее правило
- Обратная функция обращает биекцию. Решите y=f(x) относительно x, затем используйте исходную область определения для выбора ветви. Для f(x)=(x−2)²−5 на x≥2 обратной функцией является 2+√(y+5) при y≥−5. Ветка со знаком минус вернула бы входы вне выбранной области определения. Проверьте f⁻¹(f(x))=x для допустимых x и f(f⁻¹(y))=y для допустимых y; одна непроверенная композиция может скрыть ошибку в области определения.
- Отслеживайте повторное применение композиции функции, сохраняя область определения.
For g(x)=1/(1−x) on R excluding 0 and 1, what is g⁸(3)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The orbit is 3, −1/2, 2/3, then 3 again. Eight is congruent to two modulo three.
Проверьте условия
- График обратной функции отражает исходный график относительно прямой y=x; он не вычисляет обратные значения выходных величин. Самообратная функция (инволюция) удовлетворяет условию f(f(x))=x там, где определена композиция. Как −x на R, так и 1/x на R без нуля являются инволюциями. Строго возрастающая инволюция на интервале должна быть тождественным отображением: если f(x)>x, то из монотонности следует f(f(x))>f(x)>x, а аналогичное рассуждение исключает случай f(x)<x.
- Отслеживайте повторное применение композиции функции, сохраняя область определения.
Для f(x)=(x−2)²−5 при x≥2 имеем f(5)=4 и f⁻¹(4)=2+√9=5. Неограниченная квадратичная функция имела бы два входа, −1 и 5, дающих выход 4. Для g(x)=1/(1−x) орбита ⟨3→−1/2→2/3→3⟩ имеет период три, поэтому g⁸(3)=2/3; здесь речь идет о количестве композиций, а не о восьмой степени.
For h(x)=−x on R, the value of h(h(7)) is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Negation twice returns the original input; this map is an involution.
Применяйте формат задания
- Итерация fⁿ означает повторное композицию, а не степень (f(x))ⁿ. Вычислите первые несколько композиций и проверьте их области определения перед поиском периода. Для f(x)=1/(1−x) на R за исключением 0 и 1, f²(x)=(x−1)/x и f³(x)=x. Образ остается в той же допустимой области. Следовательно, количество итераций следует сводить по модулю трех. Дискретная формула, равная x после сокращения, не восстанавливает запрещенные входные значения.
- Отслеживайте повторное применение композиции функции, сохраняя область определения.
Изменение кодомена влияет на сюръективность. Отражение относительно y=x дает график обратной функции; взятие обратных значений y — это другая операция. Не исключайте запрещенные входы.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Различать инъективность и сюръективность, используя указанные область определения и множество значений
The function x↦x² from [0,∞) to R is surjective.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
No negative element of the codomain is reached. The image is only [0,∞).
Сохраняйте различия
- биекция — Функция, которая одновременно является инъективной и сюръективной между своими заданными множествами.
- инволюция — Функция, композиция которой с самой собой является тождественным отображением на её области определения.
- Различайте инъективность и сюръективность, используя указанные область определения и кодомен.
- Выберите и проверьте обратную ветвь, выполняя композицию в обоих направлениях.
- Отслеживайте повторное применение композиции функции, сохраняя область определения.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.