Образы множеств, эквивалентные отношения и логическое отрицание
Введено| English | Значение |
|---|---|
| preimage/ˌpriːˈɪmɪdʒ/ | прообраз |
| equivalence relation/ɪˈkwɪvələns rɪˈleɪʃn/ | отношение эквивалентности |
Решение перед ответом
- Разным записям может быть присвоен одинаковый ярлык. Это простое столкновение объясняет, почему образ пересечения может отличаться от пересечения двух образов.
- Ваша цель: Доказать тождества образов и различать включение и равенство.
Прочитайте соотношение
- Для f:X→Y и A⊆X образ f(A) состоит из всех выходов f(a), где a принадлежит A. Точка принадлежит f(A∪B) тогда и только тогда, когда она получается из A или B, поэтому f(A∪B)=f(A)∪f(B). Если A⊆B, то f(A)⊆f(B). Для пересечения автоматически выполняется лишь f(A∩B)⊆f(A)∩f(B): одинаковый выход может получаться из разных входов. Используйте f(x)=x², A={−1}, B={1}; левый образ пуст, в то время как правое пересечение равно {1}.
- Проверяйте рефлексивность, симметричность и транзитивность на конкретных примерах.
Which identity holds for every function f and subsets A,B of its domain?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
An output of an input in the union comes from at least one subset. Intersection equality can fail when distinct inputs share an output.
Используйте определяющее правило
- Прообразы ведут себя иначе. Для C⊆Y запись f⁻¹(C) здесь обозначает множество всех входов, переходящих в C, даже если у f нет обратной функции. Принадлежность двум прообразам означает, что именно тот же самый вход переходит в оба целевых множества. Следовательно, прообразы сохраняют объединения, пересечения и дополнения относительно указанной области определения/кодомена. Не переносите теорему о прообразах на образы. Если f инъективна, пересечения образов становятся равными, поскольку равные выходы тогда требуют общего входа.
- Отрицайте импликации и кванторные высказывания, не меняя их scopes.
What is the negation of P⇒(Q∧R)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Failure of the implication requires a true premise and a false conjunction. De Morgan changes the latter into a disjunction.
Проверьте условия
- Отношение R на X рефлексивно, когда xRx для каждого x, симметрично, когда xRy влечет yRx, и транзитивно, когда xRy и yRz влекут xRz. Все три свойства вместе образуют отношение эквивалентности; его классы образуют разбиение X. На целых числах отношение xRy, определяемое тем, что x и y имеют одинаковый остаток при делении на четыре, дает четыре класса. Отношение |x−y|≤1 рефлексивно и симметрично, но не транзитивно: 0R1 и 1R2, в то время как 0 не связано с 2. Проверки одной диаграммы или лишь двух свойств недостаточно.
- Отрицайте импликации и кванторные высказывания, не меняя их scopes.
Пусть f отображает как a, так и b в метку L. При A={a}, B={b} имеем f(A∩B)=∅, но f(A)∩f(B)={L}. Для отношения xRy, заданного условием x=y или x=−y на множестве R, рефлексивность и симметрия следуют непосредственно из определения, а два изменения знака все равно дают z=±x, что доказывает транзитивность. Классы включают {x,−x}, где {0} — одноэлементное множество (синглетон). Ложное утверждение «каждый сохраненный файл имеет хеш» означает, что существует хотя бы один сохраненный файл без хеша; это не означает, что у всех файлов нет хешей.
How many equivalence classes are there on Z for equality of remainders modulo four?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Each integer belongs to exactly one of the remainder classes 0, 1, 2 or 3.
Применяйте формат задания
- Импликация P⇒Q ложна тогда и только тогда, когда P истинно, а Q ложно. Следовательно, отрицанием P⇒(Q∧R) является P∧(¬Q∨¬R), а не ¬P⇒(¬Q∧¬R). Отрицание «для каждого x выполняется свойство A» дает «существует x, для которого A не выполняется»; отрицание «существует x» дает «для каждого x выполняется противоположное». Контрпример может опровергнуть универсальное утверждение, в то время как примеры не могут его доказать. При индивидуальном отрицании кванторы сохраняют свой порядок: ¬(∀x∃y S(x,y)) эквивалентно ∃x∀y ¬S(x,y).
- Отрицайте импликации и кванторные высказывания, не меняя их scopes.
f⁻¹(C) может означать прообраз множества без наличия обратной функции. Рефлексивное и симметричное отношение все еще может не быть транзитивным. Отрицайте все высказывание целиком перед упрощением его частей.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Доказать равенства образов и различать включение и равенство множеств
The relation |x−y|≤1 on R is transitive.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Use x=0,y=1,z=2: the first two pairs satisfy the relation, but the pair (0,2) does not.
Сохраняйте различия
- прообраз — Множество входных значений, результаты которых принадлежат указанному целевому множеству.
- отношение эквивалентности — Отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
- Докажите тождества образов и различайте включение и равенство.
- Проверяйте рефлексивность, симметричность и транзитивность на конкретных примерах.
- Отрицайте импликации и кванторные высказывания, не меняя их scopes.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.