Условие задачи, байесовский вывод и ошибка выборки
Введено| English | Значение |
|---|---|
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | стандартная ошибка |
| posterior probability/pɒˈstɪərɪə ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | апостериорная вероятность |
Решение перед ответом
- Положительный результат скрининга — это не то же самое событие, что и наличие заболевания. Когда заболевание встречается редко, количество ложноположительных результатов может превысить число истинно положительных даже при достаточно специфичном тесте.
- Ваша цель: Различите условные, совместные и независимые вероятности событий.
Прочитайте соотношение
- При P(B)>0 условная вероятность вычисляется по формуле P(A|B)=P(A∩B)/P(B): ограничьте генеральную совокупность множеством B перед вычислением доли элементов, принадлежащих A. Независимость означает P(A∩B)=P(A)P(B), что эквивалентно P(A|B)=P(A) при ненулевом знаменателе. Взаимоисключающие события с положительными вероятностями не могут быть независимыми, поскольку их совместная вероятность равна нулю. Выборка без возвращения обычно изменяет последующие вероятности; фиксированный знаменатель для последовательных выборок описывал бы другой эксперимент.
- Вычислите апостериорные вероятности с помощью полной таблицы базовых частот (prior rates).
P(A)=0.4, P(B)=0.5 and P(A∩B)=0.3. What is P(A|B)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Restrict to B: divide the joint probability 0.3 by P(B)=0.5, obtaining 0.6.
Используйте определяющее правило
- Постройте совместные вероятности, умножая долю предшествующей категории на соответствующую условную вероятность. Если D — это заболевание, а + — положительный результат, то P(D∩+)=P(D)P(+|D). Общая вероятность положительного результата равна P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D), поскольку эти случаи несовместны и охватывают все возможные положительные результаты. Формула Байеса делит первое совместное вероятность на эту сумму. Чувствительность определяется как P(+|D), специфичность как P(−|not D), а ложноположительная скорость равна единице минус специфичность.
- Используйте дисперсию и размер выборки для определения стандартной ошибки среднего выборочного.
An iid sample of size 25 has mean standard error 6. What is the mean standard error for size 100 from the same population?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Population standard deviation is 6√25=30. Dividing by √100=10 gives standard error 3.
Проверьте условия
- Для гипотетического теста с распространенностью 2%, чувствительностью 90% и специфичностью 95% для наглядности возьмите популяцию size 10,000. Из 200 человек с заболеванием 180 дадут положительный результат. Из 9,800 без него 490 также дадут положительный результат. Следовательно, 180 из 670 положительных результатов соответствуют заболеванию: апостериорная вероятность составляет 18/67, примерно 26.9%. Обратное направление условной вероятности дало бы 90%, ответив на другой вопрос. Это математическая модель, а не рекомендация по принятию клинических решений.
- Используйте дисперсию и размер выборки для определения стандартной ошибки среднего выборочного.
Пусть P(A)=0.4, P(B)=0.5 и P(A∩B)=0.3. Тогда P(A|B)=0.6, следовательно, A и B не являются независимыми, так как 0.3≠0.4·0.5. Если переменная имеет стандартное отклонение 12, то независимая выборка размера 36 имеет стандартную ошибку среднего 2. Увеличение размера выборки до 144 дает значение 1; при этом стандартное отклонение отдельных наблюдений остается равным 12.
For independent observations with population standard deviation 15 and n=25, the sample mean standard error is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Divide 15 by √25=5. Independence and finite population variance are the stated conditions.
Применяйте формат задания
- Для независимых одинаково распределенных наблюдений с конечной дисперсией σ² среднее выборочное имеет математическое ожидание μ и дисперсию σ²/n; его стандартная ошибка равна σ/√n. Это мера разброса повторных средних выборочных, а не разброса отдельных наблюдений. Увеличение n в четыре раза уменьшает стандартную ошибку вдвое, а не вчетверо. Данные нормального распределения дают точно нормальное среднее; в противном случае приближение центральной предельной теоремы требует выполнения достаточных условий и размера выборки. Корреляция делает неверным простой расчет дисперсии для независимых величин.
- Используйте дисперсию и размер выборки для определения стандартной ошибки среднего выборочного.
Не путайте P(+|D) с P(D|+). Включайте ложноположительные результаты в знаменатель апостериорной вероятности. Стандартное отклонение отдельных наблюдений и стандартная ошибка их среднего имеют разную зависимость от размера выборки.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Различать условную, совместную и независимую вероятность событий
Two mutually exclusive events with positive probabilities are independent.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Their joint probability is zero, but the product of their positive probabilities is positive.
Сохраняйте различия
- апостериорная вероятность — Вероятность, условная на наблюдаемые данные после учета априорных долей.
- стандартная ошибка — Стандартное отклонение статистики при повторных выборках.
- Различайте условные, совместные и независимые вероятности.
- Вычислите апостериорные вероятности с помощью полной таблицы базовых частот (prior rates).
- Используйте дисперсию и размер выборки для определения стандартной ошибки среднего выборочного.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.