Подобие, масштабирование и конические траектории
Введено| English | Значение |
|---|---|
| focus/ˈfəʊkəs/ | фокус |
| similarity/ˌsɪmɪˈlærɪti/ | подобие |
Решение перед ответом
- Карта увеличивает каждое расстояние на 30%. Заштрихованная площадь увеличивается на 69%, в то время как знак разности расстояний до двух ориентиров может выбрать только одну ветвь кривой.
- Ваша цель: Сопоставить вершины треугольников по равным углам перед составлением отношения сторон.
Прочитайте соотношение
- Треугольники подобны, если их соответственные углы равны; тогда равны и их соответственные отношения сторон. Запишите соответствие вершин явно. Если в треугольнике APQ угол A равен углу A у ABC, а угол P равен углу C, то упорядоченное соответствие: A↔A, P↔C, Q↔B. Следовательно, AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. Сторона AP лежит на AB, но соответствует AC; сопоставление по расположению стороны или по букве P может дать неверное отношение.
- Применяйте коэффициенты масштабирования длин, площадей и объемов к геометрическим изменениям.
Correspondence is A↔A, P↔C, Q↔B. If AP=6, AC=15 and CB=20, what is PQ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
AP corresponds to AC, not AB. The common scale is 6/15=2/5; multiply CB=20 by it.
Используйте определяющее правило
- При общем коэффициенте масштабирования длин k>0 длины умножаются на k, площади на k², объемы на k³. Увеличение длины на 30% означает k=1.30, следовательно, увеличение площади составляет 1.30²−1=0.69, или 69%; это не 60%. Для подобных тел с отношением объемов 27, отношение длин равно 3, а отношение площадей поверхности — 9. Процентные изменения и абсолютные разности — разные величины; записывайте отношение нового к старому, прежде чем преобразовать его в проценты.
- Определяйте условия расстояния для конических сечений и сохраняйте знак для ветви гиперболы.
A circle radius grows by 30%. What is the area increase?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The new area is 1.3²=1.69 times the old area, so the increase is 69%, not the full new ratio 169%.
Проверьте условия
- Окружность фиксирует расстояние до одной точки. Эллипс фиксирует сумму расстояний до двух фокусов. Гипербола фиксирует модуль разности этих расстояний; парабола фиксирует равенство расстояния до фокуса и директрисы. Это определения множеств точек, а не наброски для заучивания. Для фокусов (−c,0) и (c,0), эллипс использует сумму 2a, где a>c. Невырожденная гипербола использует модуль разности 2a, где 0<a<c; знак разности различает ее две ветви.
- Определяйте условия расстояния для конических сечений и сохраняйте знак для ветви гиперболы.
Пусть AB=10, AC=15 и BC=20. Точка P на AB имеет AP=6, а Q на AC образует угол APQ, равный углу ACB. Тогда AP/AC=6/15=2/5, откуда PQ=8 и AQ=4. Отдельно, фокусы в (−5,0),(5,0) и разность «расстояние до левого минус расстояние до правого», равная 6, дают a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 при x≥3. Точка (−3,0) удовлетворяет квадрату уравнения, но не условию со знаком.
For foci (−5,0),(5,0) and a hyperbola difference magnitude 6, the value of b² is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
c=5 and a=3; b²=c²−a²=25−9=16.
Применяйте формат задания
- Для гиперболы с горизонтальной действительной осью c²=a²+b², а уравнение имеет вид x²/a²−y²/b²=1. Пусть r_A — расстояние до (−c,0), а r_B — расстояние до (c,0). Условие r_A−r_B=2a>0 выбирает правую ветвь x≥a; отрицательное условие выбирает левую. Возведение в квадрат может потерять этот знак, поэтому после получения уравнения проверьте исходное условие расстояния. Нулевая разность дает серединный перпендикуляр, а не гиперболу; разность, превышающая расстояние между фокусами, невозможна по неравенству треугольника.
- Определяйте условия расстояния для конических сечений и сохраняйте знак для ветви гиперболы.
Сопоставляйте углы перед сторонами. Проценты площадей используют квадрат коэффициента длин. Квадратное уравнение расстояния может описывать обе ветви, даже если в исходной задаче требуется только одна.
Какой ответ подходит к данному случаю?
Сопоставить вершины треугольников по равным углам перед составлением отношения сторон
The signed condition distance to (−5,0) minus distance to (5,0) equals 6 includes both hyperbola branches.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The positive signed difference selects the right branch. At the left vertex the difference is −6.
Сохраняйте различия
- подобие — Равенство соответственных углов и общий коэффициент соответственных длин.
- фокус — Фиксированная точка, используемая в определении расстояния для конического сечения.
- Сопоставляйте вершины треугольников по равным углам перед составлением отношения сторон.
- Применяйте коэффициенты масштабирования длин, площадей и объемов к геометрическим изменениям.
- Определяйте условия расстояния для конических сечений и сохраняйте знак для ветви гиперболы.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.