C.4 · Ряды Тейлора и поведение степенных рядов на границах

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: производные, геометрические ряды и признаки сходимости.

• Строить полиномы Тейлора и оценивать погрешность приближения
• Определять радиусы сходимости и проверять концы отдельно
• Дифференцировать и интегрировать степенные ряды внутри интервала сходимости

радиус сходимости: Расстояние от центра ряда, внутри которого степенной ряд сходится абсолютно.

остаток: Разность между функцией и её конечным приближением.

Полином Тейлора степени m в точке a — это сумма f^(k)(a)(x−a)^k/k! для k от нуля до m. Факториал входит в каждый коэффициент. Если следующий производный ограничен по модулю величиной M на отрезке между a и x, остаток Лагранжа по модулю не превышает M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. Гладкость сама по себе не гарантирует, что бесконечный ряд Тейлора совпадает с функцией повсюду.

Степенной ряд sum c_n(x−a)^n сходится абсолютно внутри своего радиуса R и расходится вне его. Признаки Даламбера или Коши обычно определяют R, возможные значения — ноль и бесконечность. В точках x=a−R и x=a+R признак часто становится неразрешимым; подставьте каждый конец в исходный ряд. Поведение в двух концах может отличаться.

Внутри открытого интервала сходимости почленное дифференцирование и интегрирование сохраняют радиус. Они могут изменить включение концов. Начните с геометрического ряда 1/(1−x)=sum x^n для |x|<1, затем проинтегрируйте от нуля до x, чтобы получить −ln(1−x)=sum x^n/n для n≥1. Проверьте константу интегрирования и область определения логарифма.

Ряды также помогают найти устранимые формы неопределённости. Для вычисления (e^x−1−x)/x² вблизи нуля сохраните первое ненулевое слагаемое x²/2, вместо того чтобы использовать только e^x≈1+x. Асимптотическое усечение устанавливает предел; неравенство на конечном интервале требует отдельного доказательства знака или оценки остатка. Не подставляйте значения в ряд за пределами интервала сходимости.

Для sum x^n/n при n≥1 признак Даламбера дает радиус 1. При x=1 это расходящийся гармонический ряд; при x=−1 это знакочередующийся сходящийся ряд. Таким образом, интервал действительной сходимости равен [−1,1). Дифференцирование внутри дает sum x^(n−1)=1/(1−x), который не сходится ни на одном из концов. Радиус остался 1, но вопрос об included endpoints изменился.

Радиус не является полным интервалом сходимости. Необходимо явно проверить концы интервала и факториальные коэффициенты.

Найдите интервал сходимости $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ и его почленной производной. Приблизьте значение $e^{0.1}$ квадратичным полиномом Тейлора с обоснованной оценкой ошибки.

Разобранное решение

Признак Даламбера даёт радиус, равный единице. В точке 1 исходный гармонический ряд расходится; в точке -1 знакочередующийся ряд сходится. Таким образом, исходный интервал равен $[-1,1)$. Производная равна $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ только для $|x|<1$; её члены не стремятся к нулю ни на одном из концов. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. На $[0,0.1]$ третья производная равна $e^x<2$. Оценка Лагранжа даёт $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$. Эта оценка намеренно завышена и не претендует на точность ошибки.

Вычислить $\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$. Объяснить, почему замена косинуса только на $1-x^2/2$ не позволяет определить этот предел.

Проверка после выполнения

Теорема Тейлора в окрестности нуля дает $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$. Вычитание сокращает постоянный и квадратичный члены, оставляя $x^4/24+O(x^6)$. После деления предел равен $1/24$. Отсечение с остатком лишь $o(x^2)$ не дает контроля после деления на $x^4$; необходимо сохранить и оценить первый выживший член.