T.5 · Открытые множества, компактность и связность

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные требования: множества, относительно открытые множества, непрерывные функции и последовательности.

• Вычислять замыкание, внутренность и границу в заданном пространстве
• Применять компактность и связность к непрерывным отображениям
• Различать относительную топологию и окружающую евклидову топологию

относительная топология: открытые подмножества, унаследованные пересечением подпространства с открытыми множествами окружающей среды.

связность: отсутствие разделения на непересекающиеся непустые относительно открытые подмножества.

В метрическом пространстве открытое множество содержит малый шар вокруг каждой своей точки. Внутренность состоит из таких точек; замыкание включает все предельные точки; граница — это замыкание минус внутренность. Понятия «открытое» и «замкнутое» не являются взаимоисключающими; пустое множество и всё пространство являются обоими. В R множество [0,1) имеет внутренность (0,1), замыкание [0,1] и границу {0,1}.

В подпространстве X открытое множество имеет вид X, пересеченного с открытым множеством окружающей среды. Таким образом, [0,1) открыто относительно [0,2], используя пересечение с (-1,1), хотя оно не открыто в R. Множество также может быть относительно замкнутым, не будучи замкнутым в окружающей среде. Всегда указывайте, какое пространство определяет окрестности и какая метрика используется.

Компактность означает, что каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие. В евклидовом пространстве R^n теорема Гейне–Бореля делает это эквивалентным замкнутости и ограниченности. В метрическом пространстве компактность эквивалентна последовательной компактности; одной полноты и ограниченности недостаточно в произвольных метрических пространствах. Непрерывный образ компактного множества компактен, что обеспечивает достижение максимума и минимума для вещественных непрерывных функций на непустом компактном множестве.

Связные множества нельзя разделить на два непересекающихся непустых относительно открытых подмножества; связными подмножествами R являются именно интервалы. Непрерывный образ связного множества связен, что порождает теорему о промежуточных значениях. Путь-связность влечёт связность, но не наоборот в каждом пространстве. Компактное множество не обязательно связно, и связное множество не обязательно компактно; конечное двухточечное множество и открытый интервал служат контрпримерами.

Пусть X=[0,1] со своей обычной относительной топологией. Множество U=[0,0.5) равно X, пересечённому с (-1,0.5), поэтому U открыто в X. Его замыкание в X равно [0,0.5], а граница в X равна {0.5}; ноль является внутренней точкой относительно X. Для непрерывной f на X, при f(0)<0<f(1)), связность гарантирует наличие нуля, а компактность отдельно обеспечивает достижение экстремумов.

Признак Гейне–Бореля (замкнутость и ограниченность) — теорема о евклидовом пространстве. Связность и компактность отвечают на разные вопросы.

В $X=[0,2]$ с относительной топологией найдите внутренность, замыкание и границу множества $A=[0,1)$. Является ли A открытым или замкнутым в X?

Разобранное решение

$A=X\cap(-1,1)$ открыто в X, поэтому его относительная внутренность — A. Его замыкание равно $[0,1]$, а граница — $\{1\}$. Ноль является внутренней точкой относительно X, так как достаточно малый шар в X не содержит отрицательной части. A не замкнуто в X: последовательность $1-1/n$ при $n\ge2$ стремится к отсутствующей точке 1. Во внешнем действительном числе внутренность и граница были бы соответственно $(0,1)$ и $\{0,1\}$.

Приведите компактное несвязное вещественное множество и связное некомпактное вещественное множество. Должна ли непрерывная вещественная функция на втором множестве достигать экстремального значения? Объясните, какое свойство обеспечивает теорему о промежуточных значениях.

Проверка после выполнения

Конечное множество $\{0,2\}$ компактно, но несвязно. Интервал $(0,1)$ связен, но не компактен. Непрерывная тождественная функция на $(0,1)$ не достигает ни максимума, ни минимума. Связность делает непрерывный вещественный образ интервалом и, следовательно, обеспечивает промежуточные значения. Компактность же делает непустой непрерывный вещественный образ достигающим своих экстремальных значений. Ни одно из свойств не заменяет другое.