T.4 · Последовательности, ряды и равномерная сходимость

Подготовка к GRE для бакалавров. Локальные цели в рамках пересмотренного диапазона ETS; это оригинальное обучение, а не официальный тест или предиктор баллов.

Предварительные знания: пределы последовательностей, супремум, непрерывность и числовые ряды.

• Использовать критерии Коши, монотонной сходимости и подпоследовательностей
• Различать поточечную и равномерную сходимость функций
• Проверять гипотезы перед изменением местами пределов и интегралов

последовательность Коши: последовательность, чьи sufficiently поздние члены произвольно близки друг к другу.

равномерная сходимость: сходимость с одним пороговым индексом погрешности, действующим в каждой точке области определения.

Сходящаяся вещественная последовательность является последовательностью Коши, и каждая вещественная последовательность Коши сходится, поскольку R полна. В Q последовательность Коши может стремиться к иррациональному числу и не сходиться внутри Q. Ограниченная монотонная вещественная последовательность сходится. Ограниченная последовательность не обязательно сходится, но теорема Больцано–Вейерштрасса гарантирует наличие сходящейся подпоследовательности; (-1)^n имеет два различных предельных значения подпоследовательностей.

Для числового ряда абсолютная сходимость влечет сходимость; условная сходимость не допускает произвольной перестановки членов без изменения суммы. Чередующийся гармонический ряд сходится, но его ряд из модулей расходится. В признаке Даламбера предел ниже 1 доказывает абсолютную сходимость, а выше 1 — расходимость; предел, равный 1, не дает ответа, как демонстрируют оба ряда 1/n и sum 1/n².

Точечная сходимость выбирает индекс N отдельно для каждого x и допустимой погрешности. Равномерная сходимость выбирает один N, работающий для всех x в области определения. Для вещественнозначных функций проверьте супремум |f_n−f| на всей области определения. Непрерывный точечный предел сам по себе не доказывает равномерную сходимость. Граничные точки области определения и сужающиеся пики часто различают эти понятия.

Равномерный предел непрерывных функций непрерывен. На замкнутом ограниченном интервале равномерная сходимость Римана-интегрируемых функций позволяет менять местами предел и интеграл. Обмен производными требует дополнительных условий; одной лишь равномерной сходимости функций недостаточно. Тест Вейерштрасса устанавливает равномерную абсолютную сходимость ряда функций, если каждый член ограничен M_n на всей области определения, а ряд sum M_n сходится.

На [0,1], f_n(x)=x^n стремится к 0 при x<1 и к 1 при x=1. Предел разрывен, поэтому сходимость не может быть равномерной; непосредственно, супремум ошибки равен 1, достигается снизу 1. На [0,a] при 0≤a<1, предел равен нулю, а супремум равен a^n, который стремится к нулю, следовательно, сходимость равномерная. Изменение области определения меняет вывод.

Проверка нескольких фиксированных значений x не доказывает ни существование верхней границы, ни равномерную сходимость. Точка, дающая наибольшую ошибку, может смещаться вместе с n.

Определить точечную и равномерную сходимость $f_n(x)=x^n$ на $[0,1]$ и на $[0,a]$ для фиксированного $0<a<1$. Сравнить $\sum1/n^2$ с чередующимся гармоническим рядом на предмет абсолютной сходимости.

Разобранное решение

На $[0,1]$ предел равен нулю для $x<1$ и единице при 1. Этот предел разрывен, поэтому непрерывные $f_n$ не могут сходиться равномерно. Более того, супремум ошибки на $[0,1)$ равен единице. На $[0,a]$ супремум равен $a^n\to0$, поэтому сходимость равномерна к нулю. p-ряд с p=2 сходится абсолютно. Чередующийся гармонический ряд сходится по убывающим членам, стремящимся к нулю, но ряд из модулей расходится; его сходимость условна.

Пусть $g_n(x)=\sin(nx)/n$ на $\mathbb R$. Является ли сходимость равномерной? Могут ли их производные сходиться к производной от предела? Используйте конкретную точку для решения.

Проверка после выполнения

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$, поэтому функции сходятся равномерно к нулю. Но $g_n'(x)=\cos(nx)$, и при $x=0$ эти производные все равны 1. Производная от нуля (предела) равна 0. Таким образом, равномерная сходимость самих функций не оправдывает дифференцирование предела; необходимы дополнительные условия о сходимости производных.