Момент силы и вращательная динамика

Цель обучения 5.1.A: Описать вращение системы по отношению ко времени с использованием углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения.

• 5.1.A.1 Угловое перемещение — это величина угла (в радианах), на который поворачивается точка на жесткой системе вокруг заданной оси.
  • Уравнение: $\Delta\theta = \theta - \theta_0$
  • 5.1.A.1.i Жесткая система — это та, которая сохраняет свою форму, но при вращении различные точки которой движутся в разных направлениях. Жесткую систему нельзя моделировать как отдельный объект.
  • 5.1.A.1.ii Одно направление углового перемещения вокруг оси вращения — по часовой стрелке или против — обычно принимается математически положительным, а другое направление становится математически отрицательным.
  • 5.1.A.1.iii Если вращение системы вокруг оси можно хорошо описать с помощью движения центра масс системы, то систему можно рассматривать как единый объект. Например, вращение Земли вокруг своей оси можно считать пренебрежимо малым при рассмотрении обращения Земли вокруг центра масс системы Земля–Солнце.
• 5.1.A.2 Средняя угловая скорость — это средняя скорость изменения углового положения по времени.
  • Уравнение: $\omega_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$
• 5.1.A.3 Среднее угловое ускорение — это средняя скорость изменения угловой скорости по времени.
  • Уравнение: $\alpha_{\text{avg}} = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$
• 5.1.A.4 Угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение вокруг одной оси аналогичны линейному перемещению, скорости и ускорению в одном измерении и демонстрируют те же математические соотношения.
  • 5.1.A.4.i Для постоянного углового ускорения математические соотношения между угловым перемещением, угловой скоростью и угловым ускорением могут быть описаны следующими уравнениями:
    • Уравнение: $\omega = \omega_0 + \alpha t$
    • Уравнение: $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \dfrac{1}{2}\alpha t^2$
    • Уравнение: $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$
  • 5.1.A.4.ii Графики углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения как функций времени могут использоваться для нахождения взаимосвязей между этими величинами.

Граничное заявление: Описания направлений вращения для точки или объекта ограничиваются clockwise и counterclockwise относительно данной оси вращения.

Цель обучения 5.2.A: Описать линейное движение точки на вращающейся жесткой системе, соответствующее вращательному движению этой точки, и наоборот.

• 5.2.A.1 Для точки на расстоянии $r$ от неподвижной оси вращения линейное расстояние $s$, пройденное точкой при вращении системы на угол $\Delta\theta$, определяется уравнением $\Delta s = r\Delta\theta$.
• 5.2.A.2 Выведенные соотношения линейной скорости и тангенциальной составляющей ускорения к их соответствующим угловым величинам задаются следующими уравнениями:
  • Уравнение: $s = r\theta$
  • Уравнение: $v = r\omega$
  • Уравнение: $a_T = r\alpha$
• 5.2.A.3 Для жесткой системы все точки внутри нее имеют одинаковую угловую скорость и угловое ускорение.

Граничное заявление: Описания направлений вращения для точки или объекта ограничиваются clockwise и counterclockwise относительно данной оси вращения.

Цель обучения 5.3.A: Определить моменты сил, действующие на жесткую систему.

• 5.3.A.1 Момент силы возникает только вследствие компоненты силы, перпендикулярной вектору положения от оси вращения до точки приложения силы.
• 5.3.A.2 Плечо силы — это перпендикулярное расстояние от оси вращения до линии действия приложенной силы.

Цель обучения 5.3.B: Описать моменты сил, действующие на жесткую систему.

• 5.3.B.1 Моменты сил можно описывать с помощью диаграмм сил.
  • 5.3.B.1.i Диаграммы сил похожи на диаграммы свободного тела и используются для анализа моментов сил, действующих на жесткую систему.
  • 5.3.B.1.ii Как и диаграммы свободного тела, диаграммы сил отображают относительную величину и направление сил, действующих на жесткую систему. Диаграммы сил также показывают точки приложения этих сил относительно оси вращения.
• 5.3.B.2 Величина момента силы, действующего на жесткую систему, описывается следующим уравнением, где $\theta$ — угол между вектором силы и радиус-вектором, проведенным из оси вращения в точку приложения силы.
  • Уравнение: $\tau = rF_{\perp} = rF\sin\theta$

Граничное заявление: AP Physics 1 ожидает от студентов математических манипуляций с величиной момента силы с использованием векторных конвенций, однако определение направления момента силы выходит за рамки курса.

Цель обучения 5.4.A: Описать вращательную инерцию жесткой системы относительно заданной оси вращения.

• 5.4.A.1 Вращательная инерция характеризует сопротивление жесткой системы изменению состояния вращения и связана с массой системы и распределением этой массы относительно оси вращения.
• 5.4.A.2 Вращательная инерция объекта, вращающегося на перпендикулярном расстоянии $r$ от оси, описывается уравнением
  • Уравнение: $I = mr^2$
• 5.4.A.3 Суммарная вращательная инерция совокупности объектов относительно оси равна сумме вращательных инерций каждого объекта относительно этой оси:
  • Уравнение: $I_{\text{tot}} = \sum I_i = \sum m_i r_i^2$

Цель обучения 5.4.B: Описать вращательную инерцию жесткой системы, вращающейся вокруг оси, не проходящей через центр масс системы.

• 5.4.B.1 Вращательная инерция жесткой системы в данной плоскости минимальна, когда ось вращения проходит через центр масс системы.
• 5.4.B.2 Теорема о параллельных осях использует следующее уравнение для связи вращательной инерции жесткой системы относительно любой оси, параллельной оси, проходящей через центр масс:
  • Уравнение: $I' = I_{\text{cm}} + Md^2$

Граничное заявление: AP Physics 1 требует от студентов только вычисления вращательной инерции систем, состоящих из пяти или менее объектов, расположенных в двухмерной конфигурации.

Граничное заявление: Студентам не нужно знать вращательную инерцию протяженных жестких систем, так как они будут предоставлены в рамках экзамена. Студенты должны иметь качественное понимание факторов, влияющих на вращательную инерцию; например, вращательная инерция больше, когда масса находится дальше от оси вращения, поэтому кольцо имеет большую вращательную инерцию, чем сплошной диск той же массы и радиуса.

Цель обучения 5.5.A: Описать условия, при которых угловая скорость системы остается постоянной.

• 5.5.A.1 Система может находиться во вращательном равновесии (постоянная угловая скорость) без нахождения в поступательном равновесии, и наоборот.
  • 5.5.A.1.i Диаграммы свободного тела и диаграммы сил описывают характер сил и моментов, действующих на объект или жесткую систему.
  • 5.5.A.1.ii Вращательное равновесие представляет собой состояние моментов, при котором результирующий момент, действующий на систему, равен нулю.
    • Уравнение: $\sum \tau_i = 0$
  • 5.5.A.1.iii Вращательный аналог первого закона Ньютона гласит, что система будет иметь постоянную угловую скорость только тогда, когда результирующий момент, действующий на нее, равен нулю.
• 5.5.A.2 Вращательный следствие второго закона Ньютона гласит, что если моменты сил, действующие на жесткую систему, не скомпенсированы, угловая скорость системы должна изменяться.

Граничное заявление: AP Physics 1 не требует от студентов одновременного анализа вращения в нескольких плоскостях.

Цель обучения 5.6.A: Описать условия, при которых угловая скорость системы изменяется.

• 5.6.A.1 Угловая скорость изменяется, когда результирующий момент, действующий на объект или систему, не равен нулю.
• 5.6.A.2 Скорость изменения угловой скорости жесткой системы прямо пропорциональна результирующему моменту, действующему на жесткую систему, и направлена в ту же сторону. Угловое ускорение жесткой системы обратно пропорционально ее вращательной инерции.
  • Уравнение: $\alpha_{\text{sys}} = \dfrac{\sum \tau}{I_{\text{sys}}} = \dfrac{\tau_{\text{net}}}{I_{\text{sys}}}$
• 5.6.A.3 Для полного описания вращающейся жесткой системы могут потребоваться независимые линейный и вращательный анализы.