Differentiation: Definition and Fundamental Properties · ⁨Дифференцирование: Определение и фундаментальные свойства⁩

AP Calculus AB · Topic 2 · ⁨Тема 2⁩

View Slides · ⁨Просмотр слайдов⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

Video lesson for this topic · ⁨Видеоурок по этой теме⁩ Open the video page · ⁨Открыть страницу видео⁩

2.1

Average and Instantaneous Rates of Change · ⁨Средняя и мгновенная скорости изменения⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.A: Determine average rates of change using difference quotients.

CHA-2.A.1 The difference quotients $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ and $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ express the average rate of change of a function over an interval.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.1 The instantaneous rate of change of a function at $x=a$ can be expressed by $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ or $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, provided the limit exists. These are equivalent forms of the definition of the derivative and are denoted $f'(a)$.

Русский

Принцип (CHA-2): Производные позволяют определять скорости изменения в конкретный момент времени, применяя пределы к знаниям о скоростях изменения на интервалах.

Цель обучения CHA-2.A: Определять средние скорости изменения с использованием разностных отношений.

CHA-2.A.1 Разностные отношения $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ и $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ выражают среднюю скорость изменения функции на интервале.

Цель обучения CHA-2.B: Представить производную функции как предел разностного отношения.

CHA-2.B.1 Мгновенная скорость изменения функции в точке $x=a$ может быть выражена через $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ или $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, при условии существования предела. Это эквивалентные формы определения производной и обозначаются как $f'(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The derivative from first principles

Unit 1 built the limit. Unit 2 uses it to define the derivative 导数 – the exact rate of change at a point.

Over an interval, the average rate of change is a difference quotient 差商. Two equivalent forms appear:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

The first uses a step of size $h$ from $a$; the second uses two points $x$ and $a$. Both compute $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ over the interval.

The instantaneous 瞬时 rate of change at $x=a$ is what the difference quotient approaches as the interval shrinks to zero. This limit is the derivative at $a$, written $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

provided the limit exists.

Русский

Американские горки на подъёмнике: производная измеряет мгновенную скорость изменения положения

Производная по определению

Единица 1 построила понятие предела. Единица 2 использует его для определения производной — точной скорости изменения в точке.

Мгновенная скорость изменения — это угловой коэффициент касательной в точке

На интервале средняя скорость изменения представляет собой разностное отношение. Приводятся две эквивалентные формы:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

Первое использует шаг размера $h$ от $a$; второе использует две точки $x$ и $a$. Оба вычисляют $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ на интервале.

Мгновенная скорость изменения в точке $x=a$ — это то, к чему стремится разностное отношение при уменьшении интервала до нуля. Этот предел и есть производная в точке $a$, которая записывается как $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

при условии существования этого предела.

Explore · ⁨Исследовать⁩

From average rate to instantaneous rate · ⁨От средней скорости к мгновенной⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Slide the point: the secant through two nearby points tips toward the tangent as they merge. The tangent's slope is the derivative — the instantaneous rate of change. · ⁨Перетащите точку: секущая, проходящая через две близкие точки, приближается к касательной при их слиянии. Наклон касательной равен производной — мгновенной скорости изменения.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	производной
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	разностное отношение
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	мгновенная
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	первоначальные принципы
notations/nəʊˈteɪʃnz/	обозначения
slope/sləʊp/	наклоне графика
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	касательная прямая

2.2

Defining the Derivative and Its Notation · ⁨Определение производной и её обозначения⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
CHA-2 Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.	CHA-2.B Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.	CHA-2.B.2 The derivative of $f$ is the function whose value at $x$ is $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, provided this limit exists. CHA-2.B.3 For $y=f(x)$, notations for the derivative include $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, and $y'$. CHA-2.B.4 The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
	CHA-2.C Determine the equation of a line tangent to a curve at a given point.	CHA-2.C.1 The derivative of a function at a point is the slope of the line tangent to a graph of the function at that point.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Let the point $a$ vary and the derivative becomes a new function:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

This is the definition of the derivative (sometimes called differentiating "by first principles" 用定义求导). Its value at each $x$ is the instantaneous rate of change there.

Common notations 记号 for the derivative of $y=f(x)$ are:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally – be ready to move between them.

Geometric meaning. The derivative at a point is the slope 斜率 of the tangent line 切线 to the graph there. So the tangent line at $x=a$ passes through $\big(a, f(a)\big)$ with slope $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Writing this line is a routine exam task, so keep the point-slope form ready.

Русский

Пусть точка $a$ изменяется, тогда производная становится новой функцией:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Это определение производной (иногда называют дифференцированием «по определению»). Её значение в каждой точке $x$ является мгновенной скоростью изменения в этой точке.

Распространённые обозначения для производной функции $y=f(x)$:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

Производную можно представлять графически, численно, аналитически и вербально — будьте готовы переходить между этими формами.

Геометрический смысл. Производная в точке — это угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Таким образом, касательная в точке $x=a$ проходит через точку $\big(a, f(a)\big)$ с угловым коэффициентом $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Запись уравнения этой прямой — стандартная задача на экзамене, поэтому держите формулу прямой с заданным угловым коэффициентом под рукой.

Угловые коэффициенты хорд стремятся к угловому коэффициенту касательной: производная — это предел средних скоростей — При приближении точки $Q$ к точке $P$ угловой коэффициент каждой хорды (средней скорости) стремится к угловому коэффициенту касательной — производной $f'(a)$.

2.3

Estimating a Derivative at a Point · ⁨Оценка производной в точке⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.D: Estimate derivatives.

CHA-2.D.1 The derivative at a point can be estimated from information given in tables or graphs.
CHA-2.D.2 Technology can be used to calculate or estimate the value of a derivative of a function at a point.

Русский

Принцип (CHA-2): Производные позволяют определять скорости изменения в конкретный момент времени, применяя пределы к знаниям о скоростях изменения на интервалах.

Цель обучения CHA-2.D: Оценивать производные.

CHA-2.D.1 Производную в точке можно оценить на основе информации, представленной в таблицах или графиках.
CHA-2.D.2 Технологии могут использоваться для вычисления или оценки значения производной функции в точке.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

You do not always have a formula. When a function is given by a table 表格 or a graph, estimate the derivative $f'(a)$ with a difference quotient over a small interval around $a$. A table with values on both sides of $a$ gives the best estimate:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Technology (a calculator) can also estimate a derivative at a point.

Exam skill (appears almost every year). Questions such as "Approximate $M'(7.5)$ using the average rate of change of $M$ over the interval $5 \le t \le 10$" ask for exactly this difference quotient. Show the setup:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Full credit needs the numbers plugged in and the correct units 单位 (output units per input unit), since these come from real-world models.

Русский

Не всегда доступна формула функции. Когда функция задана таблицей или графиком, оцените производную $f'(a)$ с помощью разностного отношения на малом интервале вокруг точки $a$. Таблица со значениями по обе стороны от $a$ даёт наилучшую оценку:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Технологии (калькулятор) также могут оценить производную в точке.

Навык для экзамена (встречается почти каждый год). Вопросы типа «Оцените $M'(7.5)$, используя среднюю скорость изменения функции $M$ на интервале $5 \le t \le 10$» требуют именно этого разностного отношения. Покажите настройку:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Полный балл требуется подставить числа и указать правильные единицы измерения (выходная единица на входную единицу), так как они берутся из реальных моделей.

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
table/ˈteɪbl/	таблица
units/ˈjuːnɪts/	единиц
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	дифференцируема
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	непрерывными
corner/ˈkɔːnə/	угол
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	вертикальная касательная
power rule/ˈpaʊə ruːl/	правило степени
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	постоянный множитель
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	полиномом

2.4

When Does a Derivative Exist? · ⁨Когда существует производная?⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-2): Recognizing that a function's derivative may also be a function allows us to develop knowledge about the related behaviors of both.

Learning Objective FUN-2.A: Explain the relationship between differentiability and continuity.

FUN-2.A.1 If a function is differentiable at a point, then it is continuous at that point. In particular, if a point is not in the domain of $f$, then it is not in the domain of $f'$.
FUN-2.A.2 A continuous function may fail to be differentiable at a point in its domain.
- Illustrative examples for FUN-2.A.2:
  - The left hand and right hand limits of the difference quotient are not equal, as in $f(x)=|x|$ at $x=0$.
  - The tangent line is vertical and has no slope, as in $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Русский

Принцип (FUN-2): Осознание того, что производная функции также является функцией, позволяет нам развивать знания о связанных свойствах обеих величин.

Цель обучения FUN-2.A: Объяснить связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

FUN-2.A.1 Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. В частности, если точка не принадлежит области определения $f$, то она не принадлежит и области определения $f'$.
FUN-2.A.2 Непрерывная функция может не быть дифференцируемой в некоторой точке своей области определения.
- Иллюстративные примеры для FUN-2.A.2:
  - Левосторонний и правосторонний пределы разностного отношения не равны, как в случае $f(x)=|x|$ в точке $x=0$.
  - Касательная вертикальна и не имеет наклона, как в случае $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в точке $x=0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Differentiability is stronger than continuity. The key relationship:

If $f$ is differentiable 可导 at a point, then $f$ is continuous 连续 there.

So differentiability implies continuity. The reverse is false: a continuous function can fail to be differentiable. Two ways this happens:

A corner 尖点: the left and right difference-quotient limits disagree, as with $f(x)=|x|$ at $x=0$.
A vertical tangent 垂直切线: the slope is infinite (no real number), as with $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Also, a point outside the domain of $f$ cannot be in the domain of $f'$. Use the contrapositive on the exam: if $f$ is not continuous at $a$, then $f$ is not differentiable at $a$.

Русский

Дифференцируемость сильнее, чем непрерывность. Ключевая связь:

Если $f$ дифференцируема в точке, то $f$ непрерывна в этой точке.

Таким образом, дифференцируемость влечет непрерывность. Обратное неверно: непрерывная функция может не быть дифференцируемой. Два способа, когда это происходит:

Угол: пределы левосторонней и правосторонней разностных отношений расходятся, как у $f(x)=|x|$ в $x=0$.
Вертикальная касательная: наклон бесконечен (нет действительного числа), как у $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в $x=0$.

Два способа, по которым непрерывная функция не является дифференцируемой: угол и вертикальная касательная

Кроме того, точка вне области определения $f$ не может находиться в области определения $f'$. Используйте contrapositive на экзамене: если $f$ не непрерывна в $a$, то $f$ не дифференцируема в $a$.

2.5

The Power Rule · ⁨Правило степени⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.1 Direct application of the definition of the derivative and specific rules can be used to calculate the derivative for functions of the form $f(x)=x^{r}$.

Русский

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.A: Вычислять производные известных функций.

FUN-3.A.1 Прямое применение определения производной и конкретных правил может быть использовано для вычисления производной функций вида $f(x)=x^{r}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

From here we use rules instead of the limit definition each time. The power rule 幂法则 handles any power of $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

It works for whole-number powers, negative powers ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), and roots ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – rewrite as a power first, then apply the rule.

Русский

Отныне мы используем правила вместо определения через предел каждый раз. Правило степени обрабатывает любую степень $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Оно работает для целочисленных степеней, отрицательных степеней ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) и корней ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) — сначала перепишите как степень, затем примените правило.

Explore · ⁨Исследовать⁩

A power function and its steepening slope · ⁨Степенная функция и нарастающий наклон⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The power rule $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ drops the exponent as a factor. For $x^3$ the slope grows quickly as $x$ moves from 0 — the curve steepens. · ⁨Правило дифференцирования степени $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ выносит показатель степени как множитель. Для $x^3$ наклон быстро растет при движении $x$ от 0 — кривая становится круче.⁩

2.6

Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple Rules · ⁨Правила константы, суммы, разности и константного множителя⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.2 Sums, differences, and constant multiples of functions can be differentiated using derivative rules.
FUN-3.A.3 The power rule combined with sum, difference, and constant multiple properties can be used to find the derivatives for polynomial functions.

Русский

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.A: Вычислять производные известных функций.

FUN-3.A.2 Суммы, разности и константные множители функций могут быть продифференцированы с использованием правил дифференцирования.
FUN-3.A.3 Правило степени в сочетании со свойствами суммы, разности и константного множителя может быть использовано для нахождения производных полиномиальных функций.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

These rules let you differentiate term by term:

Constant: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (a constant does not change).
Constant multiple 常数倍: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Sum / difference: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combined with the power rule, they differentiate any polynomial 多项式 term by term. Example:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

Русский

Эти правила позволяют дифференцировать почленно:

Константа: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (константа не меняется).
Константный множитель: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Сумма / разность: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

В сочетании с правилом степени они дифференцируют любой полином почленно. Пример:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Derivatives of sin x, cos x, e^x, and ln x · ⁨Производные sin x, cos x, e^x и ln x⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.4 Specific rules can be used to find the derivatives for sine, cosine, exponential, and logarithmic functions.

Enduring Understanding (LIM-3): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to determine a limit.

Learning Objective LIM-3.A: Interpret a limit as a definition of a derivative.

LIM-3.A.1 In some cases, recognizing an expression for the definition of the derivative of a function whose derivative is known offers a strategy for determining a limit.

Русский

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.A: Вычислять производные известных функций.

FUN-3.A.4 Конкретные правила могут быть использованы для нахождения производных синуса, косинуса, показательных и логарифмических функций.

Долгосрочное понимание (LIM-3): Логическое рассуждение с использованием определений, теорем и свойств позволяет определить предел.

Цель обучения LIM-3.A: Интерпретировать предел как определение производной.

LIM-3.A.1 В некоторых случаях распознавание выражения, соответствующего определению производной функции, производная которой известна, предлагает стратегию для определения предела.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Learn these four building-block derivatives by heart:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Note the minus sign on the derivative of cosine, and that $e^{x}$ is its own derivative.

A limit that is really a derivative (LIM-3.A.1). Sometimes a limit is secretly the definition of a known derivative. If you recognize

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

for a function $f$ whose derivative you know, just evaluate $f'(a)$. For example, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Русский

Выучите эти четыре базовых производных наизусть:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Обратите внимание на знак минус при производной косинуса и на то, что $e^{x}$ является своей собственной производной.

Предел, который на самом деле является производной (LIM-3.A.1). Иногда предел тайно является определением известной производной. Если вы распознаете

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

для функции $f$, производную которой вы знаете, просто вычислите $f'(a)$. Например, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Explore · ⁨Исследовать⁩

The shape of sin x (whose slope is cos x) · ⁨Форма sin x (производная которой равна cos x)⁩

y = asin(bx + c) + d

The derivative of $\sin x$ is $\cos x$: the slope of the sine curve is largest where sine crosses zero and zero at its peaks. Watch the curve to feel where its slope is steep or flat. · ⁨Производная $\sin x$ равна $\cos x$: наклон кривой синуса максимален в точках пересечения с нулем и равен нулю в вершинах. Наблюдайте за кривой, чтобы ощутить, где её наклон крутой или пологий.⁩

2.8

The Product Rule · ⁨Правило произведения⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.1 Derivatives of products of differentiable functions can be found using the product rule.

Русский

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.B: Вычислять производные произведений и отношений дифференцируемых функций.

FUN-3.B.1 Производные произведений дифференцируемых функций можно найти с использованием правила произведения.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The product rule as a growing rectangle

A product of two functions is not differentiated by multiplying the derivatives. Use the product rule 乘积法则:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Derivative of the first times the second, plus the first times the derivative of the second." Example:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Exam questions often build a new function from given pieces, e.g. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, and ask you to combine rules while reading values from a table.

Русский

Правило произведения как растущий прямоугольник

Произведение двух функций не дифференцируется путем умножения их производных. Используйте правило произведения:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Производная первого умножается на второе плюс первое умножается на производную второго." Пример:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Экзаменационные вопросы часто создают новую функцию из заданных частей, например $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, и просят объединить правила, считывая значения из таблицы.

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	правило произведения

2.9

The Quotient Rule · ⁨Правило частного⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.2 Derivatives of quotients of differentiable functions can be found using the quotient rule.

Русский

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.B: Вычислять производные произведений и отношений дифференцируемых функций.

FUN-3.B.2 Производные частных дифференцируемых функций можно найти с использованием правила частного.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

For a quotient, use the quotient rule 商法则:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bottom times derivative of top, minus top times derivative of bottom, all over bottom squared." The order matters because of the minus sign, so write the numerator carefully. Example:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

Русский

Для частного используйте правило частного:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Нижнее умножить на производную верхнего, минус верхнее умножить на производную нижнего, все делить на квадрат нижнего." Порядок важен из-за знака минус, поэтому пишите числитель внимательно. Пример:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Derivatives of tan x, cot x, sec x, and csc x · ⁨Производные tan x, cot x, sec x и csc x⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.3 Rearranging tangent, cotangent, secant, and cosecant functions using identities allows differentiation using derivative rules.

Русский

Принцип (FUN-3): Осознание возможностей применения правил дифференцирования может упростить процесс нахождения производных.

Цель обучения FUN-3.B: Вычислять производные произведений и отношений дифференцируемых функций.

FUN-3.B.3 Преобразование тангенса, котангенса, секанса и косеканса с использованием тождеств позволяет дифференцировать их, применяя правила производных.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

The quotient rule: differentiating a fraction

The remaining trigonometric derivatives are not memorized separately – you rewrite them with identities 恒等式 and apply the quotient (or product) rule. For instance, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, so the quotient rule gives

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

The same method (writing $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) gives $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, and $-\csc x\cot x$.

Higher-order derivatives. Differentiating $f'$ again gives the second derivative 二阶导数 $f''(x)$ (or $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – the rate of change of the rate of change. An exam part like "Find $k''(3)$" just means differentiate twice, then substitute. You can also estimate a second derivative from a table by applying the average-rate-of-change method to the $f'$ values.

Worked example. Differentiate $f(x)=x^2\sin x$ with the product rule $(uv)'=u'v+uv'$: take $u=x^2$ ($u'=2x$) and $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), giving $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Always read the structure first — a product needs the product rule, not the power rule applied to each factor separately.

Русский

Правило частного: дифференцирование дроби

Остальные тригонометрические производные не нужно запоминать отдельно — вы переписываете их с помощью тождеств и применяете правило частного (или произведения). Например, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, поэтому правило частного дает

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

Тот же метод (переписывание $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) дает $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ и $-\csc x\cot x$.

Производные высших порядков. Повторное дифференцирование $f'$ дает вторую производную $f''(x)$ (или $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) — скорость изменения скорости изменения. Часть экзамена вроде «Найдите $k''(3)$» означает просто продифференцировать дважды, а затем подставить. Вы также можете оценить вторую производную по таблице, применив метод средней скорости изменения к значениям $f'$.

Разобранный пример. Продифференцируйте $f(x)=x^2\sin x$ с помощью правила произведения $(uv)'=u'v+uv'$: возьмите $u=x^2$ ($u'=2x$) и $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), получив $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Всегда сначала читайте структуру — произведение требует правила произведения, а не правила степени, примененного к каждому множителю отдельно.

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	правило частного
identities/aɪˈdentɪtiz/	тождества
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	вторую производную

2.10

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩

English

The derivative is the slope of the tangent — the limit of the secant slope $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ as $h\to0$.
Memorise the rules: power, product, quotient, and the derivatives of $\sin$, $\cos$, $e^x$, and $\ln x$.
Differentiability implies continuity, but not the reverse (a corner or cusp is continuous yet not differentiable).
Distinguish average rate of change (secant slope over an interval) from instantaneous rate (the derivative at a point).
Give a tangent-line equation as $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Русский

Производная — это наклон касательной — предел наклона секущей $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ при $h\to0$.
Запомните правила: степени, произведения, частного, а также производные от $\sin$, $\cos$, $e^x$ и $\ln x$.
Дифференцируемость влечет непрерывность, но не наоборот (угол или острая вершина непрерывны, но не дифференцируемы).
Различайте среднюю скорость изменения (наклон секучей на интервале) и мгновенную скорость (производную в точке).
Уравнение касательной записывайте в виде $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

Past Papers · ⁨Архив экзаменационных работ⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨Больше тем в AP Calculus AB⁩