Эта звезда находится в сотне триллионов километров от нас. Вы никогда не дотронетесь до неё. Вы никогда не посетите её. И всё же, только по её слабому свету — лишь тому свету, что…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
25.1
Luminosity and radiant flux intensity · Светимость и интенсивность лучистого потока
Syllabus · Программа
English
understand the term luminosity as the total power of radiation emitted by a star
recall and use the inverse square law for radiant flux intensity$F$ in terms of the luminosity $L$ of the source $F = L / (4\pi d^2)$
understand that an object of known luminosity is called a standard candle
understand the use of standard candles to determine distances to galaxies
Русский
понимать термин светимость как полную мощность излучения, испускаемого звездой
знать наизусть и использовать закон обратных квадратов для плотности потока излучения$F$ относительно светимости $L$ источника $F = L / (4\pi d^2)$
понимать, что объект с известной светимостью называется стандартной свечой
понимать использование стандартных свечей для определения расстояний до галактик
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
The luminosity 光度$L$ of a star is the total power 功率 of radiation it gives out — the energy 能量 radiated per second in all directions. Unit: watt (W).
The one-mark definition.The luminosity of a star is the total power of radiation emitted by the star (or the total energy emitted per unit time). It is a property of the star alone; how bright it looks from the Earth depends also on how far away it is. Asked for two reasons why some stars appear brighter than others, give exactly those two: a greater luminosity, and a smaller distance (the flux falls as $1/d^{2}$).
At distance $d$, this power has spread over a sphere of area $4\pi d^{2}$. The radiant flux intensity 辐射通量密度$F$ (power per unit area) at distance $d$ is
$$F = \frac{L}{4\pi d^{2}}.$$
Worked example. The Sun's luminosity is $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$. Find the radiant flux intensity at the Earth, a distance $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$ away.
Unit: $\text{W m}^{-2}$. This is the inverse-square law 平方反比定律 for flux: doubling the distance cuts the flux to a quarter. A telescope measures $F$; if $L$ is known, the distance follows:
$$d = \sqrt{\frac{L}{4\pi F}}.$$
Reading the graph. A graph of $F$ against $1/d^{2}$ for one star is a straight line through the origin with gradient $L/4\pi$, so $L = 4\pi \times \text{gradient}$; a more luminous star gives a steeper line. A star whose galaxy is receding still obeys the inverse-square law, but the light we receive is redshifted, so the flux at each wavelength is shifted along the spectrum, and a detector sensitive to one band may see a different fraction of it.
Worked example. The Sun has radius $6.96 \times 10^{8}\ \text{m}$ and surface temperature $5780\ \text{K}$. A space probe carrying a $2.0\ \text{m}^{2}$ solar panel is $4.5 \times 10^{10}\ \text{m}$ from the Sun's centre. Find the power falling on the panel when it faces the Sun.
Luminosity: $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4} = 4\pi(5.67 \times 10^{-8})(6.96 \times 10^{8})^{2}(5780)^{4} = 3.85 \times 10^{26}\ \text{W}$. Flux at the probe: $F = L/(4\pi d^{2}) = 3.85 \times 10^{26}/[4\pi(4.5 \times 10^{10})^{2}] = 1.5 \times 10^{4}\ \text{W m}^{-2}$, eleven times the flux at the Earth. Power on the panel: $P = FA = 1.5 \times 10^{4} \times 2.0 = 3.0 \times 10^{4}\ \text{W}$. The flux is power per unit area perpendicular to the radiation; a tilted panel receives $FA\cos\theta$.
Русский
Светимость$L$ звезды — это полная мощность излучаемого ею излучения — энергия, излучаемая в секунду во всех направлениях. Единица измерения: ватт (Вт).
Определение на один балл.Светимость звезды — это полная мощность излучения, испускаемого звездой (или полная энергия, излучаемая в единицу времени). Это свойство самой звезды; то, насколько она кажется яркой с Земли, зависит также от того, насколько она удалена. В ответе на вопрос «по двум причинам, почему некоторые звезды кажутся ярче других», укажите именно эти две причины: большую светимость и меньшее расстояние (поток убывает как $1/d^{2}$).
На расстоянии $d$ эта мощность распределилась по сфере площадью $4\pi d^{2}$. Интенсивность лучистого потока $F$ (мощность на единицу площади) на расстоянии $d$ равна
$$F = \frac{L}{4\pi d^{2}}.$$
Разобранная задача. Светимость Солнца равна $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$. Найдите интенсивность лучистого потока на Земле, находящейся на расстоянии $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$.
Единица измерения: $\text{W m}^{-2}$. Это закон обратных квадратов для потока: при удвоении расстояния поток уменьшается до четверти. Телескоп измеряет $F$; если известно $L$, расстояние вычисляется по формуле:
$$d = \sqrt{\frac{L}{4\pi F}}.$$
Четыре модуля очень большого телескопа ESO в Чили, используемые для измерения потока от далеких звездТа же самая мощность распространяется по большей площади по мере увеличения расстояния, поэтому поток убывает как $1/d^{2}$Постройте график зависимости $F$ от $1/d^{2}$, и закон обратных квадратов превратится в прямую линию, проходящую через начало координат; ее наклон равен $L/4\pi$
Считывание графика. График зависимости $F$ от $1/d^{2}$ для одной звезды представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, с наклоном $L/4\pi$, следовательно, $L = 4\pi \times \text{gradient}$; более светимая звезда дает более крутую прямую. Звезда, чья галактика удаляется, все еще подчиняется закону обратных квадратов, но получаемый нами свет имеет красное смещение, поэтому поток на каждой длине волны смещается вдоль спектра, и детектор, чувствительный к одному диапазону, может зарегистрировать другую его долю.
Разобранное решение. Радиус Солнца равен $6.96 \times 10^{8}\ \text{m}$, а температура поверхности — $5780\ \text{K}$. Космический аппарат с солнечной панелью площадью $2.0\ \text{m}^{2}$ находится на расстоянии $4.5 \times 10^{10}\ \text{m}$ от центра Солнца. Найдите мощность, падающую на панель, когда она обращена к Солнцу.
Светимость: $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4} = 4\pi(5.67 \times 10^{-8})(6.96 \times 10^{8})^{2}(5780)^{4} = 3.85 \times 10^{26}\ \text{W}$. Поток на аппарате: $F = L/(4\pi d^{2}) = 3.85 \times 10^{26}/[4\pi(4.5 \times 10^{10})^{2}] = 1.5 \times 10^{4}\ \text{W m}^{-2}$, что в одиннадцать раз превышает поток на Земле. Мощность на панели: $P = FA = 1.5 \times 10^{4} \times 2.0 = 3.0 \times 10^{4}\ \text{W}$. Поток — это мощность на единицу площади, перпендикулярной излучению; наклонная панель принимает $FA\cos\theta$.
A standard candle 标准烛光 is an object whose luminosity is known from its type. Once you find one in a distant galaxy and measure the flux $F$ from it, you get its distance from $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$.
Examples:
Cepheid variables 造父变星 (pulsating stars) — the pulsation period is tightly linked to the luminosity, so the period gives $L$.
Type Ia supernovae 超新星 — a white dwarf reaching a critical mass and exploding always has about the same peak luminosity.
A standard candle gives $L$ without first knowing the distance, so it reaches galaxies far beyond parallax 视差.
The definition.A standard candle is an object (a star or a supernova) of known luminosity. The luminosity is known because it is fixed by a property that can be measured from any distance: the pulsation period of a Cepheid variable, or the type of a supernova.
"Explain how a standard candle is used to determine the distance of a galaxy" (three marks). (1) A standard candle in the galaxy is identified (a Cepheid variable, whose period gives its luminosity, or a Type Ia supernova) so that its luminosity$L$ is known. (2) The radiant flux intensity$F$ of its light arriving at the Earth is measured. (3) The distance follows from the inverse-square law, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$. The order matters: the luminosity comes from the candle's type, not from the distance, which is the thing being found.
Worked example. A Type Ia supernova, luminosity $1.0 \times 10^{36}\ \text{W}$ at its peak, is observed with a peak flux of $2.0 \times 10^{-14}\ \text{W m}^{-2}$. How far away is its galaxy?
$d = \sqrt{L/(4\pi F)} = \sqrt{1.0 \times 10^{36}/(4\pi \times 2.0 \times 10^{-14})} = 6.3 \times 10^{24}\ \text{m}$, about $670$ million light years 光年 ($1\ \text{ly} = 9.5 \times 10^{15}\ \text{m}$). A Cepheid, with a luminosity of order $10^{30}\ \text{W}$, could not be seen at that distance; supernovae are the candles for the far Universe.
Русский
Стандартная свеча — это объект, светимость которого известна исходя из его типа. Как только вы находите такую звезду в далекой галактике и измеряете её поток $F$, вы можете найти расстояние по формуле $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$.
Примеры:
Цефеиды-переменные (пульсирующие звезды) — период пульсации тесно связан со светимостью, поэтому период определяет $L$.
Сверхновые типа Ia — белый карлик, достигший критической массы и взорвавшийся, всегда имеет примерно одинаковую пиковую светимость.
Стандартная свеча позволяет определить $L$ без предварительного знания расстояния, поэтому они позволяют исследовать галактики далеко за пределами метода параллакса.
Определение.Стандартная свеча — это объект (звезда или сверхновая) с известной светимостью. Светимость известна, потому что она фиксирована свойством, которое можно измерить с любого расстояния: периодом пульсации цефиды-переменной или типом сверхновой.
Два алгоритма этой темы: определение расстояния по стандартной свече и определение радиуса по спектру и потоку. Каждая задача на экзамене — это один из них или шаг одного из них
"Объясните, как стандартная свеча используется для определения расстояния до галактики" (три балла). (1) В галактике идентифицируется стандартная свеча (цефида-переменная, чей период дает её светимость, или сверхновая типа Ia), так что её светимость$L$ становится известной. (2) Измеряется интенсивность лучистого потока$F$ света, достигающего Земли. (3) Расстояние следует из закона обратных квадратов, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$. Порядок важен: светимость определяется типом свечи, а не расстоянием, которое как раз и является искомым.
Разобранное решение. Сверхновая типа Ia со светимостью $1.0 \times 10^{36}\ \text{W}$ в пике наблюдается с пиковым потоком $2.0 \times 10^{-14}\ \text{W m}^{-2}$. На каком расстоянии находится её галактика?
$d = \sqrt{L/(4\pi F)} = \sqrt{1.0 \times 10^{36}/(4\pi \times 2.0 \times 10^{-14})} = 6.3 \times 10^{24}\ \text{m}$, примерно $670$ миллион световых лет ($1\ \text{ly} = 9.5 \times 10^{15}\ \text{m}$). Цефида со светимостью порядка $10^{30}\ \text{W}$ не была бы видна на таком расстоянии; сверхновые служат свечами для далекого Вселенной.
Галактика Андромеды, наша ближайшая крупная галактика, расположенная примерно в 2,5 миллионах световых лет от нас — цефиды в ней являются стандартными свечамиДля цефид-переменных период пульсации определяет светимость, что делает их стандартными свечами
Explore · Исследовать
Standard candle distance lab · Лаборатория по определению расстояния до стандартной свечи
Stellar surface temperature · Температура поверхности звезды
Syllabus · Программа
English
recall and use Wien’s displacement law$\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$ to estimate the peak surface temperature of a star
use the Stefan–Boltzmann law$L = 4\pi\sigma r^2 T^4$
use Wien’s displacement law and the Stefan–Boltzmann law to estimate the radius of a star
Русский
знать наизусть и использовать закон смещения Вина$\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$ для оценки пиковой температуры поверхности звезды
использовать закон Стефана–Больцмана$L = 4\pi\sigma r^2 T^4$
использовать закон смещения Вина и закон Стефана–Больцмана для оценки радиуса звезды
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Wien's displacement law
A hot body gives out a continuous (blackbody 黑体) spectrum with a peak at a wavelength 波长$\lambda_{\text{max}}$ set by its temperature 温度. Wien's displacement law 维恩位移定律:
$$\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}, \qquad b \approx 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}.$$
Worked example. A star's blackbody spectrum peaks at $\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$. Find its surface temperature. ($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$.)
Hotter stars peak at shorter wavelengths: a cool red star ($\sim 3000\ \text{K}$) peaks in the infrared; the Sun ($\sim 5800\ \text{K}$) peaks near $500\ \text{nm}$; a hot blue-white star ($\sim 20{,}000\ \text{K}$) peaks in the ultraviolet. Measuring $\lambda_{\text{max}}$ gives the surface temperature.
"State Wien's displacement law" (two marks).The wavelength at which the intensity of the radiation from a black body is a maximum is inversely proportional to its thermodynamic temperature: $\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$, or $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$ ($2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$). Say "wavelength of maximum intensity", not just "the wavelength", and the temperature must be in kelvin. The law describes the peak of the continuous black-body curve, not the spectral lines.
Stefan–Boltzmann law
A star, treated as a blackbody sphere of radius $r$ and surface temperature $T$, has luminosity
$$L = 4\pi \sigma r^{2} T^{4},$$
where $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$ is the Stefan–Boltzmann constant 斯特藩-玻尔兹曼常量 (the Stefan–Boltzmann law 斯特藩-玻尔兹曼定律). Two strong dependences:
$L \propto r^{2}$ — twice the radius, four times the luminosity (same $T$).
$L \propto T^{4}$ — twice the temperature, sixteen times the luminosity (same $r$).
Worked example. A star has radius $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$ and surface temperature $T = 5800\ \text{K}$. Find its luminosity. ($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$.)
measure $\lambda_{\text{max}}$ → get $T$ from Wien's law.
find $L$ (e.g. from flux $F$ and distance $d$: $L = 4\pi d^{2} F$).
solve the Stefan–Boltzmann law for $r$: $r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$.
This is how astronomers estimate radii of stars they cannot see as a disc.
Worked example (the radius of the Sun). The radiant flux intensity of sunlight at the Earth is $1370\ \text{W m}^{-2}$ at a distance of $1.50 \times 10^{11}\ \text{m}$, and the Sun's spectrum peaks at $500\ \text{nm}$. Estimate the radius of the Sun.
Luminosity: $L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(1.50 \times 10^{11})^{2}(1370) = 3.87 \times 10^{26}\ \text{W}$. Temperature: $T = b/\lambda_{\text{max}} = 2.90 \times 10^{-3}/(500 \times 10^{-9}) = 5800\ \text{K}$. Radius: $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^{4})} = \sqrt{3.87 \times 10^{26}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(5800)^{4}]} = 6.9 \times 10^{8}\ \text{m}$. Three steps, each a one-line formula; keep the full precision of $L$ and $T$ until the end, because $T$ is raised to the fourth power.
Worked example. A star in a distant galaxy has a radiant flux intensity of $2.52 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}$ at the Earth, a distance of $4.16 \times 10^{17}\ \text{m}$ away, and a surface temperature of $9500\ \text{K}$. Find its radius.
$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(4.16 \times 10^{17})^{2}(2.52 \times 10^{-8}) = 5.48 \times 10^{28}\ \text{W}$. Then $r = \sqrt{5.48 \times 10^{28}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(9500)^{4}]} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{m}$, about four times the Sun's radius. Check the sense: a star $140$ times as luminous as the Sun but only $1.6$ times as hot must be considerably bigger, since $L \propto r^{2}T^{4}$.
Why $T^{4}$ matters so much. Two stars of the same radius at $3000\ \text{K}$ and $6000\ \text{K}$ differ in luminosity by $2^{4} = 16$ times; a small error in the temperature is a large error in the luminosity, which is why the peak wavelength must be read carefully and, for a receding galaxy, corrected for redshift (below).
Русский
Закон смещения Вина
Горячее тело излучает непрерывный (чернотельный) спектр с максимумом на длине волны$\lambda_{\text{max}}$, определяемой его температурой. Закон смещения Вина:
$$\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}, \qquad b \approx 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}.$$
Разобранное решение. Спектр чернотела звезды имеет максимум при $\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$. Найдите её поверхностную температуру. ($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$.)
Более горячие звезды имеют максимум излучения на более коротких длинах волн: холодная красная звезда ($\sim 3000\ \text{K}$) имеет максимум в инфракрасной области; Солнце ($\sim 5800\ \text{K}$) имеет максимум около $500\ \text{nm}$; горячая сине-белая звезда ($\sim 20{,}000\ \text{K}$) имеет максимум в ультрафиолетовой области. Измерение $\lambda_{\text{max}}$ дает температуру поверхности.
«Сформулируйте закон смещения Вина» (два балла). Длина волны, на которой интенсивность излучения черного тела максимальна, обратно пропорциональна его термодинамической температуре: $\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$, или $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$ ($2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$). Говорите «длина волны максимальной интенсивности», а не просто «длина волны», и температура должна быть в кельвинах. Закон описывает пик непрерывного чернотельного спектра, а не спектральные линии.
Столпы Творения в Орле — облака газа и пыли, освещенные горячими newly formed звездамиБолее горячее черное тело излучает больше, а его пиковая длина волны смещается в синюю область (закон Вина)
Закон Стефана–Больцмана
Звезду рассматривают как чернотельную сферу радиусом $r$ и поверхностной температурой $T$, тогда её светимость равна
$$L = 4\pi \sigma r^{2} T^{4},$$
где $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$ — постоянная Стефана–Больцмана (-закон Стефана–Больцмана-). Два сильных зависимости:
$L \propto r^{2}$ — удвоение радиуса приводит к увеличению светимости в четыре раза (та же $T$).
$L \propto T^{4}$ — удвоение температуры приводит к увеличению светимости в шестнадцать раз (та же $r$).
Разобранное решение. У звезды радиус $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$ и поверхностная температура $T = 5800\ \text{K}$. Найдите её светимость. ($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$.)
измерьте $\lambda_{\text{max}}$ → получите $T$ из закона Вина.
найдите $L$ (например, по потоку $F$ и расстоянию $d$: $L = 4\pi d^{2} F$).
выразите из закона Стефана–Больцмана для $r$: $r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$.
Так астрономы оценивают радиусы звезд, которые они не видят как диск.
Разобранная задача (радиус Солнца). Интенсивность лучистого потока солнечного света на Земле составляет $1370\ \text{W m}^{-2}$ на расстоянии $1.50 \times 10^{11}\ \text{m}$, а спектр Солнца имеет максимум при $500\ \text{nm}$. Оцените радиус Солнца.
Светимость: $L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(1.50 \times 10^{11})^{2}(1370) = 3.87 \times 10^{26}\ \text{W}$. Температура: $T = b/\lambda_{\text{max}} = 2.90 \times 10^{-3}/(500 \times 10^{-9}) = 5800\ \text{K}$. Радиус: $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^{4})} = \sqrt{3.87 \times 10^{26}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(5800)^{4}]} = 6.9 \times 10^{8}\ \text{m}$. Три шага, каждый — формула в одну строку; сохраняйте полную точность $L$ и $T$ до конца, потому что $T$ возводится в четвертую степень.
Разобранное решение. Звезда в далекой галактике имеет интенсивность лучистого потока $2.52 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}$ на Земле, расстояние до неё $4.16 \times 10^{17}\ \text{m}$, а поверхностная температура составляет $9500\ \text{K}$. Найдите её радиус.
$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(4.16 \times 10^{17})^{2}(2.52 \times 10^{-8}) = 5.48 \times 10^{28}\ \text{W}$. Затем $r = \sqrt{5.48 \times 10^{28}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(9500)^{4}]} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{m}$, примерно в четыре раза больше радиуса Солнца. Проверьте смысл: звезда, светящаяся в $140$ раз сильнее Солнца, но имеющая температуру лишь в $1.6$ раза выше, должна быть значительно больше, поскольку $L \propto r^{2}T^{4}$.
Почему так важна $T^{4}$. Две звезды одинакового радиуса при температурах $3000\ \text{K}$ и $6000\ \text{K}$ различаются по светимости в $2^{4} = 16$ раз; небольшая ошибка в температуре дает большую ошибку в светимости, поэтому пиковую длину волны нужно считывать внимательно, а для удаляющейся галактики — корректировать на красное смещение (ниже).
Explore · Исследовать
A star's luminosity and radius · Светимость и радиус звезды
L ∝ r²
For a given surface temperature, a star's luminosity grows with the SQUARE of its radius (Stefan's law). · При заданной температуре поверхности светимость звезды растет пропорционально КВАДРАТУ ее радиуса (закон Стефана-Больцмана).
Redshift, Hubble's law and the Big Bang · Красное смещение, закон Хаббла и Большое взрывание
Syllabus · Программа
English
understand that the lines in the emission and absorption spectra from distant objects show an increase in wavelength from their known values
use $\Delta\lambda / \lambda \approx \Delta f / f \approx v / c$ for the redshift of electromagnetic radiation from a source moving relative to an observer
explain why redshift leads to the idea that the Universe is expanding
recall and use Hubble's law$v \approx H_0 d$ and explain how this leads to the Big Bang theory (candidates will only be required to use SI units)
Русский
понимать, что линии в спектрах испускания и поглощения от удалённых объектов демонстрируют увеличение длины волны по сравнению с их известными значениями
использовать $\Delta\lambda / \lambda \approx \Delta f / f \approx v / c$ для красного смещения электромагнитного излучения от источника, движущегося относительно наблюдателя
объяснить, почему красное смещение приводит к идее расширения Вселенной
знать и использовать закон Хаббла$v \approx H_0 d$ и объяснять, как он ведёт к теории Большого взрыва (кандидатам потребуется использовать только единицы СИ)
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Cosmological redshift
The spectral lines 谱线 of light from distant galaxies are seen at longer wavelengths than their known laboratory values — the whole spectrum is stretched towards the red. This is redshift 红移.
Reading it as a Doppler shift, the galaxy is moving away. For $v \ll c$:
where $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$ and $v$ is the speed of recession 退行. Example: light emitted at $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ but seen at $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$ gives $\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$ and
$$v \approx \frac{\Delta\lambda}{\lambda_{\text{em}}} c \approx 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}.$$
Why redshift means an expanding Universe
Almost every distant galaxy is redshifted (a few near ones are blueshifted 蓝移 by local motion). So galaxies are, on average, moving apart — not just from us but from each other. The Universe is expanding, with the space between galaxies stretching. More distant galaxies are redshifted more.
"State what is meant by redshift."The observed wavelength of the radiation (its spectral lines) from a source is longer than the wavelength emitted, because the source is moving away from the observer. It is the Doppler effect 多普勒效应 for light: the fractional change in wavelength equals the fractional change in frequency and, for $v \ll c$, the ratio $v/c$.
Worked example. A hydrogen line measured in the laboratory at $656.3\ \text{nm}$ is observed in the light from a galaxy at $660.9\ \text{nm}$. Find the galaxy's speed of recession and, using $H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$, its distance.
$\Delta\lambda = 660.9 - 656.3 = 4.6\ \text{nm}$, so $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(4.6/656.3) = 2.1 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. Distance: $d = v/H_{0} = 2.1 \times 10^{6}/2.3 \times 10^{-18} = 9.1 \times 10^{23}\ \text{m}$ (about $100$ million light years). Divide by the emitted (laboratory) wavelength, and keep the nanometres consistent in the ratio.
Worked example (the other way round). A galaxy in Corona Borealis recedes at $21\,400\ \text{km s}^{-1}$. At what wavelength is its $656.3\ \text{nm}$ hydrogen line observed?
$\Delta\lambda = \lambda v/c = 656.3 \times (2.14 \times 10^{7}/3.00 \times 10^{8}) = 46.8\ \text{nm}$, so the line appears at $703\ \text{nm}$, moved from the red almost into the infrared. Every line and the whole continuous spectrum are stretched by the same factor $(1 + v/c) = 1.071$.
A trap the exam sets. If the peak wavelength of a receding galaxy's spectrum is fed straight into Wien's law, the temperature comes out too low, because the observed $\lambda_{\text{max}}$ is longer than the emitted one. Correct the peak first: $\lambda_{\text{emitted}} = \lambda_{\text{observed}}/(1 + v/c)$. Asked to sketch the observed spectrum on the same axes as the emitted one, draw the same shape shifted to longer wavelengths, peak included.
"Explain how redshift leads to the idea that the Universe is expanding" (three marks). (1) The spectral lines from (almost) all distant galaxies are shifted to longer wavelengths, so (2) by the Doppler effect the galaxies are moving away from us, and (3) the further away a galaxy is, the greater its redshift and so its speed: this is what would be seen from any galaxy if the space between all galaxies were expanding, so the Universe as a whole is expanding, not just moving away from the Earth.
Hubble's law
The link between recession speed $v$ and distance $d$ is Hubble's law 哈勃定律:
$$v \approx H_{0} \cdot d,$$
where $H_{0}$ is the Hubble constant 哈勃常数 ($\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$). Always use SI units. Example: a galaxy receding at $1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ is at $d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$.
"State Hubble's law" (two marks).The speed of recession of a galaxy is (directly) proportional to its distance from the Earth (the observer): $v = H_{0}d$, where $v$ is the recession speed, $d$ the distance and $H_{0}$ the Hubble constant. Identify every symbol when asked. The value of $H_{0}$ is quoted in the exam in SI units ($\text{s}^{-1}$), so $v$ must be in $\text{m s}^{-1}$ and $d$ in metres, never kilometres per second per megaparsec.
Worked example. A star in a distant galaxy emits radiation whose intensity peaks at $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$; the peak in the light received at the Earth is at $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$. Find the star's surface temperature, the galaxy's recession speed, and its distance ($H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$).
Temperature from the emitted peak: $T = 2.90 \times 10^{-3}/4.62 \times 10^{-7} = 6300\ \text{K}$. Speed: $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(0.29/4.62) = 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, about $6\%$ of $c$. Distance: $d = v/H_{0} = 1.9 \times 10^{7}/2.3 \times 10^{-18} = 8.2 \times 10^{24}\ \text{m}$ (about $870$ million light years). Using the observed peak for the temperature would have given $5900\ \text{K}$, $400\ \text{K}$ too low.
From Hubble's law to the Big Bang
Hubble's law means the galaxies were once together. Running the expansion backwards, all distances shrink to zero at $t = -1/H_{0}$ — the Universe was once a tiny, hugely dense, hot point. This is the Big Bang 大爆炸. The age of the Universe (for steady expansion) is about
The expansion, the redshift of galaxies, the cosmic microwave background 宇宙微波背景, and the hydrogen/helium abundances are the main evidence for the Big Bang.
"Explain how Hubble's law leads to the Big Bang theory" (three marks). (1) Galaxies are receding with speeds proportional to their distances, so (2) if time is run backwards, every galaxy, at whatever distance, arrives at the same point at the same time, $t = d/v = 1/H_{0}$ ago; (3) so the Universe must have begun as a single point of enormous density and temperature that has been expanding ever since. The age estimate: $1/H_{0} = 1/(2.3 \times 10^{-18}) = 4.3 \times 10^{17}\ \text{s}$, and dividing by $3.16 \times 10^{7}\ \text{s}$ per year gives $1.4 \times 10^{10}$ years. This assumes the expansion rate has not changed; it is an estimate, not a measurement.
Distance ladder
Astronomers combine methods, each calibrated by the one below:
parallax — for nearby stars.
standard candles (Cepheids, Type Ia supernovae) — for galaxies.
Hubble's law ($d = v/H_{0}$, with $v$ from redshift) — for very distant galaxies.
Русский
Космологическое красное смещение
Спектральные линии света от далеких галактик наблюдаются на более длинных длинах волн, чем их известные лабораторные значения — весь спектр растягивается в сторону красного. Это красное смещение.
Линии поглощения водорода далекой звезды смещены в сторону более длинных волн — это красное смещение
Читая это как эффект Доплера, галактика движется от нас. Для $v \ll c$:
где $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$ и $v$ — скорость удаления. Пример: свет, испущенный при $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$, но наблюдаемый при $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$, дает $\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$ и
$$v \approx \frac{\Delta\lambda}{\lambda_{\text{em}}} c \approx 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}.$$
Почему красное смещение означает расширяющуюся Вселенную
Почти каждая далекая галактика имеет красное смещение (несколько близких испытывают синее смещение из-за локального движения). Таким образом, галактики, в среднем, удаляются друг от друга — не только от нас, но и друг от друга. Вселенная расширяется, пространство между галактиками растягивается. Более удаленные галактики имеют большее красное смещение.
«Объясните, что понимается под красным смещением».Наблюдаемая длина волны излучения (его спектральных линий) от источника длиннее, чем длина волны, испущенная им, потому что источник удаляется от наблюдателя. Это эффект Доплера для света: относительное изменение длины волны равно относительному изменению частоты, и для $v \ll c$ — отношению $v/c$.
Разобранная задача. Линия водорода, измеренная в лаборатории при $656.3\ \text{nm}$, наблюдается в свете от галактики при $660.9\ \text{nm}$. Найдите скорость удаления галактики и, используя $H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$, ее расстояние.
$\Delta\lambda = 660.9 - 656.3 = 4.6\ \text{nm}$, следовательно $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(4.6/656.3) = 2.1 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. Расстояние: $d = v/H_{0} = 2.1 \times 10^{6}/2.3 \times 10^{-18} = 9.1 \times 10^{23}\ \text{m}$ (около $100$ миллионов световых лет). Разделите на излученную (лабораторную) длину волны и сохраняйте единицы в нанометрах в отношении.
Разобранный пример (в обратном порядке). Галактика в созвездии Корма Бореальная удаляется со скоростью $21\,400\ \text{km s}^{-1}$. На какой длине волны наблюдается её $656.3\ \text{nm}$-линия водорода?
$\Delta\lambda = \lambda v/c = 656.3 \times (2.14 \times 10^{7}/3.00 \times 10^{8}) = 46.8\ \text{nm}$, поэтому линия появляется при $703\ \text{nm}$, смещаясь от красного почти в инфракрасный диапазон. Каждая линия и весь непрерывный спектр растягиваются в одном и том же коэффициенте $(1 + v/c) = 1.071$.
Непрерывный спектр удаляющейся галактики сохраняет свою форму, но смещается в область больших длин волн. Закон Вина, примененный к наблюдаемому максимуму, дает температуру, которая получается слишком низкой
Ловушка, которую ставит экзамен. Если длина волны максимума удаляющейся галактики подставить напрямую в закон Вина, температура получится слишком низкой, потому что наблюдаемый $\lambda_{\text{max}}$ больше, чем излученный. Сначала скорректируйте максимум: $\lambda_{\text{emitted}} = \lambda_{\text{observed}}/(1 + v/c)$. При запросе нарисовать наблюдаемый спектр на тех же осях, что и излученный, нарисуйте ту же форму, смещенную в сторону больших длин волн, включая пик.
"Объясните, как красное смещение приводит к идее расширяющейся Вселенной" (три балла). (1) Спектральные линии от (почти) всех далеких галактик смещены в сторону больших длин волн, так что (2) согласно эффекту Доплера галактики удалляются от нас, и (3) чем дальше галактика, тем больше её красное смещение и, следовательно, скорость: это то, что было бы видно из любой галактики, если бы пространство между всеми галактиками расширялось, поэтому вся Вселенная расширяется, а не просто удаляется от Земли.
Ultra Deep Field Хаббла — почти каждая точка света является целой галактикой, большинство из которых имеют красное смещение и удаляются
Закон Хаббла
Связь между скоростью удаления $v$ и расстоянием $d$ называется законом Хаббла:
$$v \approx H_{0} \cdot d,$$
где $H_{0}$ — постоянная Хаббла ($\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$). Всегда используйте единицы СИ. Пример: галактика, удаляющаяся со скоростью $1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, находится на расстоянии $d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$.
"Сформулируйте закон Хаббла" (два балла).Скорость удаления галактики прямо пропорциональна её расстоянию от Земли (наблюдателя): $v = H_{0}d$, где $v$ — скорость удаления, $d$ — расстояние и $H_{0}$ — постоянная Хаббла. Определяйте каждый символ, когда об этом спрашивают. Значение $H_{0}$ приводится на экзамене в единицах СИ ($\text{s}^{-1}$), поэтому $v$ должно быть в $\text{m s}^{-1}$, а $d$ — в метрах, никогда в километрах в секунду на мегапарсек.
Разобранный пример. Звезда в далекой галактике испускает излучение, интенсивность которого достигает максимума при $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$; максимум в свете, полученном на Земле, находится при $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$. Найдите температуру поверхности звезды, скорость удаления галактики и её расстояние ($H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$).
Температура по испущенному максимуму: $T = 2.90 \times 10^{-3}/4.62 \times 10^{-7} = 6300\ \text{K}$. Скорость: $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(0.29/4.62) = 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, примерно $6\%$ от $c$. Расстояние: $d = v/H_{0} = 1.9 \times 10^{7}/2.3 \times 10^{-18} = 8.2 \times 10^{24}\ \text{m}$ (около $870$ миллионов световых лет). Использование наблюдаемого максимума для температуры дало бы $5900\ \text{K}$, что было бы слишком низким значением на $400\ \text{K}$.
Закон Хаббла: скорость удаления галактики пропорциональна её расстоянию, $v = H_0 d$
От закона Хаббла к Большому взрыву
Закон Хаббла означает, что галактики когда-то были вместе. Двигая расширение назад, все расстояния уменьшаются до нуля при $t = -1/H_{0}$ — Вселенная когда-то была крошечной, чрезвычайно плотной, горячей точкой. Это Большой взрыв. Возраст Вселенной (при равномерном расширении) составляет примерно
Расширение, красное смещение галактик, космическое микроволновое фоновое излучение и содержание водорода/гелия являются основными доказательствами Большого взрыва.
"Объясните, как закон Хаббла приводит к теории Большого взрыва" (три балла). (1) Галактики удаляются со скоростями, пропорциональными их расстояниям, поэтому (2), если время запустить вспять, каждая галактика, на каком бы расстоянии она ни находилась, придет в одну и ту же точку в одно и то же время, $t = d/v = 1/H_{0}$ назад; (3) следовательно, Вселенная должна была начаться с единой точки огромной плотности и температуры, которая расширяется с тех пор. Оценка возраста: $1/H_{0} = 1/(2.3 \times 10^{-18}) = 4.3 \times 10^{17}\ \text{s}$, и деление на $3.16 \times 10^{7}\ \text{s}$ в год дает $1.4 \times 10^{10}$ лет. Это предполагает, что скорость расширения не менялась; это оценка, а не измерение.
Лестница расстояний
Астрономы комбинируют методы, каждый из которых откалиброван методом ниже:
параллакс — для близких звезд.
стандартные свечи (цефеиды, сверхновые типа Ia) — для галактик.
закон Хаббла ($d = v/H_{0}$, с $v$ из красного смещения) — для очень далеких галактик.
Лестница расстояний: каждый метод откалиброван методом ниже и охватывает большие расстояния
Explore · Исследовать
Hubble's law · Закон Хаббла
v = H₀·d
Recession speed is proportional to distance — the gradient is Hubble's constant. · Скорость удаления пропорциональна расстоянию — градиентом является постоянная Хаббла.
Definitions the examiner accepts · Определения, принимаемые экзаменатором
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
luminosity
the total power of radiation emitted by a star
radiant flux intensity
the power of radiation received per unit area (at right angles to the radiation), $F = L/(4\pi d^{2})$
standard candle
an object of known luminosity, from which a distance can be found by measuring the flux received
Wien's displacement law
the wavelength of maximum intensity of a black body is inversely proportional to its thermodynamic temperature, $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$
Stefan–Boltzmann law
the luminosity of a black body of radius $r$ is $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$
redshift
the increase in the observed wavelength of radiation from a source moving away from the observer
Hubble's law
the speed of recession of a galaxy is proportional to its distance from the observer, $v = H_{0}d$
Hubble constant
the constant of proportionality in Hubble's law, in $\text{s}^{-1}$; $1/H_{0}$ estimates the age of the Universe
Big Bang theory
the Universe began from a single point of very high density and temperature and has been expanding since
Русский
Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.
Термин
Определение
luminosity
полная мощность излучения, испускаемого звездой
radiant flux intensity
мощность излучения, получаемая на единицу площади (перпендикулярно направлению излучения), $F = L/(4\pi d^{2})$
standard candle
объект известной светимости, по которому расстояние можно найти, измеряя полученный поток
Закон смещения Вина
длина волны максимальной интенсивности излучения абсолютно черного тела обратно пропорциональна его термодинамической температуре, $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$
Закон Стефана–Больцмана
светимость абсолютно черного тела радиусом $r$ равна $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$
Красное смещение
увеличение наблюдаемой длины волны излучения от источника, удаляющегося от наблюдателя
Закон Хаббла
скорость удаления галактики прямо пропорциональна её расстоянию до наблюдателя, $v = H_{0}d$
Постоянная Хаббла
коэффициент пропорциональности в законе Хаббла, выраженный в $\text{s}^{-1}$; $1/H_{0}$ оценивает возраст Вселенной
Теория Большого взрыва
Вселенная возникла из единственной точки с очень высокой плотностью и температурой и расширяется с тех пор
Two recipes: distance = candle's $L$, measured $F$, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$; radius = $T$ from $\lambda_{\text{max}}$, $L$ from $F$ and $d$, $r$ from $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$. Write each step as its own formula.
$F$ is a flux (per square metre), $L$ a power; $L = 4\pi d^{2}F$ links them and $4\pi$ is part of both laws.
Wien: $\lambda_{\text{max}}$ in metres, $T$ in kelvin. Stefan–Boltzmann: $r^{2}$ and $T^{4}$; a $10\%$ error in $T$ is a $46\%$ error in $L$.
Redshift: $\Delta\lambda/\lambda_{\text{emitted}} = v/c$; then $d = v/H_{0}$ in SI units. Correct a receding galaxy's peak wavelength before using Wien's law.
The three "explain" answers (standard candle to distance, redshift to expansion, Hubble's law to the Big Bang) are marked point by point: three statements each, in order.
The age of the Universe is $1/H_{0}$, about $14$ billion years; state the assumption of a constant expansion rate.
Common mistakes
Defining luminosity as brightness, or as power per unit area; that is the flux.
Finding a standard candle's luminosity from its distance, which is circular; the luminosity comes from its type.
Using degrees Celsius in Wien's or Stefan's law, or forgetting the fourth power.
Dividing $\Delta\lambda$ by the observed wavelength instead of the emitted one, or mixing nanometres and metres in one ratio.
Using $H_{0}$ with $v$ in $\text{km s}^{-1}$; convert to $\text{m s}^{-1}$.
Feeding a redshifted peak wavelength into Wien's law and reporting a temperature that is too low.
Stating Hubble's law without "proportional" or without saying what $v$ and $d$ are.
Explaining the Big Bang without the backward-in-time argument that all galaxies were together at $t = 1/H_{0}$ ago.
Русский
Два рецепта: расстояние = свечное $L$, измеренное $F$, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$; радиус = $T$ из $\lambda_{\text{max}}$, $L$ из $F$ и $d$, $r$ из $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$. Запишите каждый шаг как отдельную формулу.
$F$ — это поток (на квадратный метр), $L$ — мощность; $L = 4\pi d^{2}F$ связывает их, а $4\pi$ является частью обоих законов.
Виз: $\lambda_{\text{max}}$ в метрах, $T$ в кельвинах. Стефан–Больцман: $r^{2}$ и $T^{4}$; ошибка на $10\%$% в $T$ приводит к ошибке на $46\%$% в $L$.
Красное смещение: $\Delta\lambda/\lambda_{\text{emitted}} = v/c$; затем переведите $d = v/H_{0}$ в единицы СИ. Исправьте длину волны максимума удаляющейся галактики перед использованием закона Вина.
Три ответа на «объясните» (стандартная свеча для расстояния, красное смещение для расширения, закон Хаббла для Большого взрыва) оцениваются по пунктам: три утверждения каждое, в порядке.
Возраст Вселенной равен $1/H_{0}$, около $14$ миллиарда лет; укажите предположение о постоянной скорости расширения.
Распространенные ошибки
Определение светимости как яркости или как мощности на единицу площади; то есть потока.
Нахождение светимости стандартной свечи по её расстоянию, что является круговым рассуждением; светимость определяется по её типу.
Использование градусов Цельсия в законе Вина или законе Стефана, или забвение четвертой степени.
Деление $\Delta\lambda$ на наблюдаемую длину волны вместо испущенной, или смешивание нанометров и метров в одном отношении.
Использование $H_{0}$ с $v$ в $\text{km s}^{-1}$; переведите в $\text{m s}^{-1}$.
Подача красносмещенной пиковой длины волны в закон Вина и получение завышенной температуры.
Утверждение закона Хаббла без слова «пропорционально» или без указания того, что обозначают $v$ и $d$.
Объяснение Большого взрыва без аргумента обратного хода времени о том, что все галактики находились вместе в прошлом $t = 1/H_{0}$ назад.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
