Этот раздаточный материал охватывает Тема 2: Дополнительная чистая математика 2. Она добавляет гиперболические функции, собственные значения, новые методы дифференцирования и интегрирования, теорему Муавра и методы для дифференциальных уравнений.
Дополнительная чистая математика 2
A-Level Дополнительная математика · Тема 2
11:29
Дополнительная чистая математика 2
Посмотрите на любую подвешенную цепь, любую линию электропередач, любой несущий трос. Они всегда принимают одну особую форму. Вы можете подумать, что это парабола — но нет. Это…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
2.1
Гиперболические функции
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать определения гиперболических функций $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\text{sech } x$, $\text{cosech } x$, $\text{coth } x$ через экспоненциальную функцию | |
| строить графики гиперболических функций | |
| доказывать и использовать тождества,涉及的 гиперболическими функциями | Например: $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$, $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$, и аналогичные результаты, соответствующие стандартным тригонометрическим тождествам. |
| понимать и использовать определения обратных гиперболических функций и выводить, а также использовать логарифмические формы |
Источник: Программа Cambridge International
Гиперболические функции построены из экспоненциальной функции:
$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}.$$
Они подчиняются тождествам, подобным тригонометрическим, главное из которых — $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. Три обратные функции дополняют набор: $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$ и $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ — все также построены из $e^x$ и важны для распознавания в интегралах и схемах оценок. Обратные гиперболические функции имеют логарифмический вид, например $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$.
Разобранный пример. Докажите, что $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1.$$
Исследовать
Гиперболические функции
y = a cosh(x)
cosh — это цепная линия (провисающая цепь) — четная функция, с минимумом в точке (0, a).
2.2
Матрицы
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| формулировать задачу, связанную с решением системы из 3 линейных одновременных уравнений с 3 неизвестными, как задачу о решении матричного уравнения, или наоборот | |
| понимать возможные случаи совместности или несовместности системы из 3 линейных одновременных уравнений, связывать их с вырожденностью или отсутствием таковой соответствующей матрицы, решать совместные системы и интерпретировать их геометрически в терминах прямых и плоскостей | Например: три плоскости, пересекающиеся в общей точке, в общей прямой или не имеющие общих точек. |
| понимать термины «характеристическое уравнение», «собственное число» и «собственный вектор» применительно к квадратным матрицам | Включая использование определения $\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$ для доказательства простых свойств, например, что $\lambda^n$ является собственным числом матрицы $\mathbf{A}^n$. |
| найти собственные значения и собственные векторы матриц $2 \times 2$ и $3 \times 3$ | Ограничено случаями, когда собственные значения вещественны и различны. |
| представить квадратную матрицу в виде $\mathbf{QDQ}^{-1}$, где $\mathbf{D}$ — диагональная матрица собственных значений, а $\mathbf{Q}$ — матрица, столбцы которой являются собственными векторами, и использовать это представление | напр., при вычислении степеней матриц $2 \times 2$ или $3 \times 3$. |
| использовать тот факт, что квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. | напр., при нахождении последовательных степеней матрицы или обратной матрицы; ограничено матрицами $2 \times 2$ или $3 \times 3$ только. |
Источник: Программа Cambridge International
Три линейных уравнения с тремя неизвестными можно записать как одно матричное уравнение $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Если $A$ невырождена, решение единственно; если $A$ вырождена, система либо несовместна (нет решений), либо имеет бесконечно много решений.
Для квадратной матрицы $A$ характеристическое уравнение имеет вид $\det(A - \lambda I) = 0$. Его решения — это собственные значения $\lambda$, а для каждого из них вектор $\mathbf{v}$, удовлетворяющий условию $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$, является собственным вектором. Затем можно записать $A = QDQ^{-1}$, где $D$ — диагональная матрица собственных значений, а столбцы матрицы $Q$ — собственные векторы.
Разобранный пример. Найдите собственные значения матрицы $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
Характеристическое уравнение имеет вид
$$\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \;\Rightarrow\; 2 - \lambda = \pm 1.$$
Таким образом, $\lambda = 1$ или $\lambda = 3$. (Собственный вектор для $\lambda = 3$ — это $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, а для $\lambda = 1$ — это $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$.)
Исследовать
Преобразования и определитель
Измените матрицу, чтобы повернуть, растянуть или сдвинуть единичный квадрат; определитель показывает, как изменяется площадь.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Дополнительная чистая математика (Further Pure Mathematics) |
| hyperbolic functions/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | гиперболические функции |
| inverse hyperbolic functions/ɪnˈvɜːs ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | обратные гиперболические функции |
| logarithmic form/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk fɔːm/ | логарифмическая форма |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | матричное уравнение |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | характеристическое уравнение |
| eigenvalues/ˈaɪdʒənvæljuːz/ | собственные значения |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | собственный вектор |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | диагональная матрица |
| Maclaurin's series/məˈklɔːrɪnz ˈsɪəriːz/ | ряд Маклорена |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | выделение полного квадрата |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | формула понижения порядка |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | длину дуги |
| surface area of revolution/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | площадь поверхности вращения |
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | сумма Римана |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | комплексное число |
| De Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | теорема Муавра |
2.3
Дифференцирование
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • дифференцировать гиперболические функции и дифференцировать $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, $\cosh^{-1}x$ и $\tanh^{-1}x$ | |
| • получить выражение для $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ в случаях, когда зависимость между $x$ и $y$ задана неявно или параметрически | |
| • вывести и использовать первые несколько членов ряда Маклорена для функции. | Вывод общего члена не включен, но могут потребоваться последовательные шаги «неявного» дифференцирования, напр., для $y = \tan x$ после начального дифференцирования, преобразованного как $y' = 1 + y^2$. |
Источник: Программа Cambridge International
Теперь вы можете дифференцировать гиперболические функции и обратные функции $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ и так далее. Также можно найти $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ для кривых, заданных неявно или параметрически.
Ряд Маклорена представляет функцию в виде степенного ряда:
$$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}\,x^3 + \cdots$$
Например, $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$
Разобранный пример. Найдите ряд Маклорена для функции $f(x) = \ln(1+x)$ до члена при $x^3$ включительно.
$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ поэтому $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ поэтому $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ поэтому $f'''(0) = 2$. Подставляя в ряд:
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$
Исследовать
Наклон касательной в точке
наклон = dy/dx
Производная — это наклон касательной, какой бы экзотической ни была функция.
2.4
Интегрирование
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • интегрировать гиперболические функции и распознавать интегралы функций вида $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$, а также интегрировать связанные функции с помощью тригонометрических подстановок или гиперболических подстановок в зависимости от необходимости | Включая использование выделения полного квадрата, где необходимо, напр., для интегрирования $\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$. |
| • вывести и использовать формулы понижения порядка для вычисления определенных интегралов | напр., $\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$, $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$. В более сложных случаях могут даваться подсказки, напр., $\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$ путем рассмотрения $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$. |
| понять, как площадь под кривой может быть приближена площадями прямоугольников, и использовать прямоугольники для оценки или задания границ площади под кривой или для вывода неравенств или пределов относительно сумм | Вопросы могут касаться либо прямоугольников единичной ширины, либо прямоугольников, ширина которых может стремиться к нулю, напр., $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$, $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. Продолжение |
| использовать интегрирование для нахождения – длин дуг кривых с уравнениями в декартовых координатах, включая использование параметра, или в полярных координатах – площадей поверхностей вращения вокруг одной из осей для кривых с уравнениями в декартовых координатах, включая использование параметра. | Любые вопросы, требующие интегрирования, могут нуждаться в методах из Cambridge International A Level Mathematics (9709), применяемых к более сложным случаям, напр., интегрирование частями для $\int e^x \sin x \mathrm{d}x$, или использование подстановки $t = \tan \frac{1}{2}x$. Площади поверхностей вращения для кривых с уравнениями в полярных координатах не требуются. |
Источник: Программа Cambridge International
Выучите эти стандартные интегралы:
$$\int \frac{1}{a^2 + x^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C, \qquad \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C.$$
Тригонометрическая замена, гиперболическая замена или выделение полного квадрата в знаменателе обрабатывают связанные формы. Формула понижения связывает интеграл $I_n$ с $I_{n-1}$, позволяя вычислять его пошагово. Интегрирование также дает длину дуги кривой и площадь поверхности вращения при вращении кривой вокруг оси.
Разобранный пример. Найдите $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$.
Здесь $a^2 = 4$, следовательно $a = 2$ и
$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{2} + C.$$
Оценка суммы через интеграл. Нарисуйте прямоугольники шириной единица под или над убывающей кривой, такой как $y=\frac1x$. Каждый прямоугольник высотой $\frac1r$ заключен между двумя полосами интеграла, поэтому суммирование дает
$$\ln(n+1) < \sum_{r=1}^{n}\frac1r < 1 + \ln n.$$
Уменьшение ширины прямоугольника до $\frac1n\to 0$ превращает такую сумму в сумму Римана, которая в пределе равна интегралу, например $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$.
Исследовать
Площадь под кривой
площадь = ∫ f(x) dx
Каждый интеграл измеряет площадь под кривой — перетащите пределы интегрирования.
2.5
Комплексные числа
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понять теорему Муавра для положительного или отрицательного целого показателя степени, с точки зрения геометрического эффекта умножения и деления комплексных чисел | |
| доказать теорему Муавра для положительного целого показателя степени | напр., методом математической индукции. |
| использовать теорему Муавра для положительного или отрицательного рационального показателя степени | напр., выражая $\cos 5\theta$ через $\cos \theta$ или $\tan 5\theta$ через $\tan \theta$. |
| – выражать тригонометрические отношения кратных углов через степени тригонометрических отношений основного угла | напр., выражая $\sin^6 \theta$ через $\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$ и $\cos 6\theta$. |
| – выражать степени $\sin \theta$ и $\cos \theta$ через кратные углы | |
| – при суммировании рядов | напр., используя метод «$C + \mathrm{i}S$» для суммирования таких рядов, как $\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$. |
| – при нахождении и использовании $n$-х корней из единицы. |
Источник: Программа Cambridge International
Комплексное число в полярной форме имеет вид $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$. Теорема Муавра гласит, что для любого целого числа $n$,
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta.$$
Она используется для разложения $\cos n\theta$ и $\sin n\theta$ в степени, суммирования рядов и нахождения $n$ корней единицы (решений уравнения $z^n = 1$, равномерно распределенных вокруг единичной окружности).
Разобранный пример. Используйте теорему Муавра, чтобы выразить $\cos 3\theta$ через $\cos\theta$.
Возьмите действительную часть от $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$:
$$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.$$
Исследовать
Диаграмма Арганда
Перетащите точку, чтобы изучить модуль и аргумент — язык комплексных чисел в полярной (модуль–аргумент) форме.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | корни единичного числа |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | интегрирующий множитель |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | общее решение |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | дополнительная функция |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | частное интегральное решение |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | частное решение |
| separable variables/ˈsepərəbl ˈveərɪəblz/ | разделяемые переменные |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | вспомогательное уравнение |
2.6
Дифференциальные уравнения
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| найти интегрирующий множитель для линейного дифференциального уравнения первого порядка и использовать интегрирующий множитель для нахождения общего решения | напр., $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$, $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| вспомнить значение терминов «дополнительная функция» и «частное решение» в контексте линейных дифференциальных уравнений, а также помнить, что общее решение является суммой дополнительной функции и частного решения | |
| найти дополнительную функцию для линейного дифференциального уравнения первого или второго порядка с постоянными коэффициентами | Для уравнений второго порядка, включая случаи, когда вспомогательное уравнение имеет различные вещественные корни, повторяющийся вещественный корень или сопряженные комплексные корни. |
| вспомнить вид и найти частное решение для линейного дифференциального уравнения первого или второго порядка в случаях, когда полином или $ae^{bx}$ или $a\cos px + b\sin px$ является подходящим видом, а в других простых случаях найти соответствующие коэффициент(ы), зная подходящий вид частного решения | напр., вычислить $k$, зная, что $kx \cos 2x$ является частным решением для $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| использовать заданную подстановку для сведения дифференциального уравнения к линейному уравнению первого или второго порядка с постоянными коэффициентами или к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными | напр., подстановка $x = e^t$ для приведения к линейной форме дифференциального уравнения с членами вида $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ , или подстановка $y = ux$ для приведения $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ к разделяемой форме. |
| использовать начальные условия для нахождения частного решения дифференциального уравнения и интерпретировать решение в контексте задачи, смоделированной дифференциальным уравнением. |
Источник: Программа Cambridge International
Для линейного уравнения первого порядка $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$ умножьте на интегрирующий множитель $\mu = e^{\int P\,dx}$. Левая часть тогда примет вид $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, что позволит проинтегрировать напрямую.
Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами общее решение представляет собой сумму двух частей: дополнительной функции (решения уравнения с правой частью, равной $0$, найденного из вспомогательного уравнения) и частного интеграла (любого одного решения полного уравнения). Начальные условия затем фиксируют константы, давая частное решение; более простые уравнения с разделяющимися переменными интегрируются непосредственно.
Разобранный пример. Решите уравнение $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$.
Интегрирующий множитель равен $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Умножая на него, получаем $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$, поэтому
$$y\,e^{2x} = \tfrac13 e^{3x} + C \;\Rightarrow\; y = \tfrac13 e^x + C e^{-2x}.$$
Уравнение второго порядка, постоянные коэффициенты. Для $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$ решите характеристическое уравнение $m^2+bm+c=0$. Общее решение зависит от его корней:
- два различных вещественных корня $m_1,m_2$: $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
- кратный корень $m$: $y=(A+Bx)e^{mx}$;
- комплексные корни $p\pm qi$: $y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$.
Затем добавьте частное решение, подобрав вид, соответствующий $f(x)$ (многочлен, $ae^{bx}$ или $a\cos px+b\sin px$); если эта пробная функция уже содержится в общем решении, умножьте её на $x$.
Разобранный пример. Решите $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$. Характеристическое уравнение $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ имеет кратный корень $m=2$, следовательно $y=(A+Bx)e^{2x}$.
Исследовать
Дифференциальные уравнения
dy/dx = a y
Уравнение задает наклон повсюду; решение следует этим наклонам.
2.6
Советы для экзамена
- Выучить гиперболические тождества и производные, а также использовать обратные гиперболические функции при интегрировании.
- Решить линейное дифференциальное уравнение как сумму общего решения $+$ и частного решения, затем применить граничные условия.
- Использовать теорему Муавра для степеней и корней комплексных чисел, а также для вывода тригонометрических тождеств.
- Свести интеграл к табличному виду с помощью указанного подстановки.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.