Комплексные числа (Further Pure 2)
| English | Русский |
|---|---|
| de Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | теорема Муавра |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | полярная форма |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | аргумент |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | модуль |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | мнимая часть |
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | корни единичного числа |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | единичной окружности |
Возведение в степень простым способом
- Чтобы вычислить $(\cos\theta + i\sin\theta)^{10}$ длинным путём, пришлось бы перемножать ten раз.
- Теорема Муавра делает это одной строкой — а в качестве бонуса делит круг на равные части.
Теорема Муавра
- Комплексное число в полярной форме: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
- Теорема Муавра — для любого целого $n$:
- Возведение в степень умножает аргумент на $n$ (а модуль на $r^n$).
Комплексные числа
z = x + yi
Отметьте z как точку: расстояние от O — это модуль, угол — аргумент.
Формула Муавра гласит, что (cos θ + i sin θ)ⁿ равно:
Возведение в степень n умножает аргумент на n: cos nθ + i sin nθ.
Разложение кратных углов
- Сравнение действительной и мнимой частей $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ даёт тождества.
- Разбор примера: действительная часть куба даёт $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.
Используя формулу Муавра, cos 3θ раскрывается как:
Возьмите действительную часть (cosθ + i sinθ)³: cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ.
Корни единичности
- Уравнение $z^n = 1$ имеет ровно $n$ решений — $n$-е корни единичности.
- Они лежат на единичной окружности, равномерно распределённые через интервал $\dfrac{360^\circ}{n}$, начиная с точки $1$.
Пять решений уравнения $z^5 = 1$ расположены на единичной окружности через $72^\circ$ — идеальный пятиугольник.
Почему они равномерно распределены? Каждый корень имеет модуль $1$ и аргументы $\dfrac{360^\circ k}{n}$ для всех $k = 0, 1, \dots, n-1$ — поэтому соседние корни отличаются на один и тот же угол.
Сколько различных корней из единицы имеет уравнение z⁵ = 1?
Уравнение zⁿ = 1 имеет ровно n корней, равномерно расположенных на единичной окружности; здесь n = 5.
Корни пятой степени из единицы равномерно расположены на единичной окружности. На сколько градусов разделены последовательные корни?
360°/5 = 72° между последовательными корнями.
n корней из единицы равномерно расположены вокруг единичной окружности.
Они находятся на равных угловых расстояниях 360°/n друг от друга по окружности.
Распространённая ошибка
Теорема Муавра требует сначала полярную форму. $(1 + i)^8$ не равно $1^8 + i^8$ — преобразуйте $1+i$ в $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ с использованием $r = \sqrt2$, $\theta = 45^\circ$, затем применяйте теорему.
- Суммирование ряда членов вида $\cos$/$\sin$ использует комплексную сумму $C + \mathrm{i}S$ комплексных чисел.
Прежде чем применить формулу Муавра к (1 + i)⁸, нужно сначала записать 1 + i в ______ форму.
Сначала переведите в r(cosθ + i sinθ), затем возведите в степень.
Вы поняли
- Муавр: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
- он раскрывает кратные углы, например $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$
- $n$-е корни единичности равномерно распределены через $\dfrac{360^\circ}{n}$ на единичной окружности