Дифференциальные уравнения (Further Pure 2)
| English | Русский |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | дифференциальное уравнение |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | интегрирующий множитель |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | общее решение |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | дополнительная функция |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | вспомогательное уравнение |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | граничное условие |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | начальное условие |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | частное интегральное решение |
Когда неизвестна функция
- Обычные уравнения решаются относительно числа. Дифференциальное уравнение решается относительно всей функции — при заданном правиле изменения её скорости.
- Они моделируют остывание кофе, рост популяций, зарядку конденсаторов и качание маятника.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: интегрирующий множитель
- Для уравнения $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$ умножьте обе части на интегрирующий множитель:
- Это приводит левую часть к виду $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$, так что можно проинтегрировать обе части напрямую.
Разбор примера. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$. Здесь $P = 2$, поэтому $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$. Левая часть принимает вид $\dfrac{d}{dx}(e^{2x}y)$.
Дифференциальные уравнения
dy/dx = a y
Уравнение задает наклон повсюду; решение следует этим наклонам.
Для dy/dx + 2y = eˣ интегрирующий множитель μ = e^(∫2 dx) равен:
∫2 dx = 2x, значит μ = e^(2x).
Умножение на интегрирующий множитель приводит левую часть к виду d/dx(μy), что позволяет проинтегрировать её непосредственно.
В этом и заключается смысл интегрирующего множителя — он превращает левую часть в точную производную.
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- Для уравнения $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$ общее решение состоит из двух частей:
- Частное решение (CF) получается из характеристического уравнения $am^2 + bm + c = 0$.
Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами общее решение имеет вид:
Общее решение = комплементарная функция (правая часть = 0) + частное решение.
Анализ характеристических корней
- Корни характеристического уравнения определяют вид частного решения:
| корни | частное решение |
|---|---|
| вещественные и различные $m_1, m_2$ | $Ae^{m_1 x} + Be^{m_2 x}$ |
| повторяющееся $m$ | $(A + Bx)e^{mx}$ |
| комплексные $p \pm qi$ | $e^{px}(A\cos qx + B\sin qx)$ |
Дифференциальное уравнение имеет целое семейство кривых решений; граничные условия выделяют одну из них.
Для y″ − 5y′ + 6y = 0 вспомогательное уравнение имеет вид m² − 5m + 6 = 0. Каков его больший корень?
m² − 5m + 6 = (m − 2)(m − 3) = 0, следовательно m = 2 или 3; большее значение равно 3.
Сопоставьте каждый тип вспомогательного корня с соответствующей функцией дополнения.
Различные действительные корни дают две экспоненты; повторный корень добавляет множитель x; комплексные корни порождают колебательную форму со скалированием по экспоненте.
Граничные условия
- Константы $A, B$ фиксируются граничными или начальными условиями (например, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$).
- Без них мы получаем всё семейство; с ними — единственную кривую, которая подходит.
- Решайте дифференциальные уравнения методом замены или разделяющихся переменных, затем примените начальные условия для получения частного решения.
Произвольные константы A и B определяются ______ условиями.
Граничные или начальные условия (например, y(0) = 1) определяют значения A и B.
Вы поняли
- линейные уравнения первого порядка: умножить на $\mu = e^{\int P\,dx}$, затем проинтегрировать
- второго порядка: общее = дополняющая функция + частное решение
- ДФ получается из характеристического уравнения; граничные условия определяют константы