Движение тела, брошенного под углом
| English | Русский |
|---|---|
| horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/ | горизонтальная |
| vertical/ˈvɜːtɪkl/ | вертикален |
| gravity/ˈɡrævɪti/ | гравитация |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | снаряд |
| parabola/pəˈræbələ/ | параболу |
| range/reɪndʒ/ | область значений |
| greatest height/ˈɡreɪtɪst haɪt/ | максимальная высота полета |
Задача о пушечном ядре
- Выстрелить мячом под углом, он пролетит по плавной дуге и упадет. Куда, и на какую высоту?
- Идея Галилея: рассматривать горизонтальное и вертикальное движения совершенно независимо — их объединяет только время.
Два независимых движения
- Запущен со скоростью $u$ и под углом $\alpha$:
- Горизонтальное: постоянная скорость $u\cos\alpha$ (нет боковой силы).
- Вертикальное: только гравитация, ускорение $g$ вниз.
Струи воды следуют параболическим траекториям, классическое движение под действием гравитации
Запуск снаряда
Выпустите мяч, затем измените угол и скорость. Горизонтальное движение равномерное, а гравитация тянет его вниз — вместе они образуют параболу. Найдите угол для максимальной дальности полёта и попробуйте на Луне.
Во время полёта горизонтальная скорость тела, брошенного под углом (без учёта сопротивления воздуха):
Поскольку горизонтальная сила отсутствует, u cos α остаётся постоянной на всём протяжении движения.
Начальная горизонтальная скорость тела, запущенного со скоростью u под углом α, равна u ______ α.
Горизонтальная составляющая = u cos α; вертикальная = u sin α.
Парабола
- Исключив $t$, получаем $y$ как квадратичную функцию от $x$ — значит траектория является параболой.
Горизонтальная скорость остается постоянной; гравитация искривляет вертикальное движение в параболу.
Траектория тела, брошенного под углом (без сопротивления воздуха), представляет собой:
Исключив параметр t, получаем y как квадратичную функцию от x — это парабола.
Дальность полета и максимальная высота
- В верхней точке вертикальная скорость momentarily равна нулю. Ключевые результаты:
Разобранный пример. $u = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $\alpha = 30^\circ$, $g = 10$. Максимальная высота $= \dfrac{400 \times 0.25}{20} = 5\ \text{m}$.
Мяч брошен со скоростью u = 20 м/с под углом 30°. Используя формулу высоты h = u²sin²α/(2g) при g = 10, найдите максимальную высоту (м).
400 × sin²30° / 20 = 400 × 0.25 / 20 = 5 м.
При каком угле запуска (градусах) дальность полёта максимальна?
Дальность ∝ sin 2α, что достигает максимума при 2α = 90°, т. е. α = 45°.
В высшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю.
Вертикальная скорость уменьшается до нуля у вершины, а затем становится отрицательной (направлена вниз).
Распространенная ловушка
Дальность максимальна при $45^\circ$, а не при $90^\circ$. $\sin 2\alpha$ достигает максимума, когда $2\alpha = 90^\circ$. Выстрел прямо вверх дает нулевую дальность — вся скорость уходит на высоту.
- Исключив время, получаем декартово уравнение траектории; все траектории лежат внутри ограничивающей параболы.
Вы поняли
- разложить на горизонтальную ($u\cos\alpha$, постоянная) и вертикальную ($u\sin\alpha$, гравитация) составляющие
- траектория представляет собой параболу
- дальность полета $= \dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ (максимум при $45^\circ$); максимальная высота $= \dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$