A-Level Further Mathematics · A-Level Дополнительная математика · Topic 3 · Тема 3
8:04
Дополнительная механика
Бросьте мяч, выпустите струю воды, запустите что угодно в воздух — и оно проследует один и тот же элегантный путь: параболу. Секрет заключается в том, чтобы разделить движение на две части.…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
This handout covers Topic 3: Further Mechanics 进阶力学. It extends mechanics to projectiles, rigid bodies, circular motion, elastic strings, variable forces and collisions. Take $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Этот раздаточный материал охватывает Раздел 3: Дополнительная механика. Он расширяет раздел механики, включая движение снарядов, твердых тел, круговое движение, упругие нити, переменные силы и столкновения. Изучите $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • model the motion of a projectile as a particle moving with constant acceleration and understand any limitations of the model | Vector methods are not required |
| • use horizontal and vertical equations of motion to solve problems on the motion of projectiles, including finding the magnitude and direction of the velocity at a given time or position, the range on a horizontal plane and the greatest height reached | |
| • derive and use the Cartesian equation of the trajectory of a projectile, including problems in which the initial speed and/or angle of projection may be unknown. | Knowledge of the 'bounding parabola' for accessible points is not included. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| моделировать движение снаряда как частицы, движущейся с постоянным ускорением, и понимать любые ограничения этой модели | Векторные методы не требуются |
| использовать горизонтальные и вертикальные уравнения движения для решения задач о движении снарядов, включая нахождение модуля и направления скорости в заданный момент времени или в заданной точке, дальности полета по горизонтальной плоскости и максимальной достигнутой высоты | |
| • выводить и использовать картезианское уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту, включая задачи, в которых начальная скорость и/или угол броска могут быть неизвестны. | Знание «ограничивающей параболы» для доступных точек не требуется. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A projectile 抛射体 moves freely under gravity, so it has constant acceleration 匀加速 $g$ downwards and no horizontal acceleration. Treat the horizontal and vertical motions separately. If it is launched at speed $u$ and angle $\alpha$:
Worked example. A ball is thrown at $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ at $30^\circ$ to the horizontal. Find the range and greatest height.
Проектильное тело движется свободно под действием гравитации, поэтому оно имеет постоянное ускорение $g$ вниз и нулевое горизонтальное ускорение. Рассматривайте горизонтальное и вертикальное движения отдельно. Если тело выпущено со скоростью $u$ под углом $\alpha$:
Разобранный пример. Шар брошен со скоростью $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ под углом $30^\circ$ к горизонту. Найдите дальность полета и максимальную высоту.
Fire the ball, then change the angle and speed. The horizontal motion is steady while gravity pulls it down — together they trace a parabola. Find the angle for the longest range, and try the Moon. · Выпустите мяч, затем измените угол и скорость. Горизонтальное движение равномерное, а гравитация тянет его вниз — вместе они образуют параболу. Найдите угол для максимальной дальности полёта и попробуйте на Луне.
| English | Русский |
|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | Дополнительная механика |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | снаряд |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | постоянное ускорение |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | декартово уравнение |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | траектория |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • calculate the moment of a force about a point | For questions involving coplanar forces only; understanding of the vector nature of moments is not required. |
| • use the result that the effect of gravity on a rigid body is equivalent to a single force acting at the centre of mass of the body, and identify the position of the centre of mass of a uniform body using considerations of symmetry | |
| • use given information about the position of the centre of mass of a triangular lamina and other simple shapes | Proofs of results given in the MF19 List of formulae are not required. |
| • determine the position of the centre of mass of a composite body by considering an equivalent system of particles | Simple cases only, e.g. a uniform L-shaped lamina, or a uniform cone joined at its base to a uniform hemisphere of the same radius. |
| • use the principle that if a rigid body is in equilibrium under the action of coplanar forces then the vector sum of the forces is zero and the sum of the moments of the forces about any point is zero, and the converse of this | |
| • solve problems involving the equilibrium of a single rigid body under the action of coplanar forces, including those involving toppling or sliding. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • вычислять момент силы относительно точки | Только для вопросов, касающихся сопоставимых сил; понимание векторной природы моментов не требуется. |
| • использовать факт, что действие гравитации на твердое тело эквивалентно одной силе, приложенной к центру масс этого тела, а также определять положение центра масс однородного тела с использованием соображений симметрии | |
| • использовать заданную информацию о положении центра масс треугольной пластины и других простых фигур | Доказательство результатов, приведенных в списке формул MF19, не требуется. |
| • определять положение центра масс составного тела, рассматривая его как эквивалентную систему частиц | Только простые случаи, например, однородная Г-образная пластина или однородный конус, соединенный основанием с однородной полусферой того же радиуса. |
| • использовать принцип, согласно которому, если твердое тело находится в равновесии под действием сопоставимых сил, то векторная сумма этих сил равна нулю, а сумма моментов сил относительно любой точки также равна нулю, и обратное утверждение | |
| • решать задачи о равновесии одного твердого тела под действием сопоставимых сил, включая задачи, связанные с опрокидыванием или скольжением. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
The moment 力矩 of a force about a point is force $\times$ perpendicular distance; it measures turning effect. The weight of a body acts at its centre of mass 质心, which you can find using symmetry 对称 for a uniform flat shape (a lamina 薄片), or by treating a composite body as a set of particles.
A rigid body under coplanar forces 共面力 is in equilibrium 平衡 when two conditions both hold: the vector sum of the forces is zero, and the sum of the moments about any point is zero. A body may also be on the edge of toppling 翻倒 (turning over) or sliding 滑动 (slipping).
Worked example. A uniform beam $AB$ of length $4\ \text{m}$ and weight $100\ \text{N}$ rests on a pivot at $A$. A vertical force $F$ at $B$ keeps it horizontal. Find $F$.
Take moments about $A$ (the weight acts at the centre, $2\ \text{m}$ from $A$):
Момент силы относительно точки равен силе $\times$ перпендикулярное расстояние; он характеризует вращающее действие. Вес тела действует в его центре масс, который можно найти, используя симметрию для однородной плоской фигуры (пластины), или рассматривая составное тело как совокупность частиц.
Твердое тело под действием соплосных сил находится в равновесии, когда одновременно выполняются два условия: векторная сумма сил равна нулю, и сумма моментов относительно любой точки равна нулю. Тело также может находиться на грани опрокидывания (переворачивания) или скольжения.
Разобранный пример. Однородный брус $AB$ длиной $4\ \text{m}$ и весом $100\ \text{N}$ опирается на шарнир в точке $A$. Вертикальная сила $F$, действующая в точке $B$, удерживает его в горизонтальном положении. Найдите $F$.
Возьмите моменты относительно $A$ (вес действует в центре, на расстоянии $2\ \text{m}$ от $A$):
resultant = 0 · результирующая = 0
A body is in equilibrium when the forces add tip-to-tail back to zero. · Тело находится в равновесии, когда силы, сложенные по цепочке (от конца к началу), дают в сумме ноль.
| English | Русский |
|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | момент |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | центра масс |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | симметрию |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | равновесные |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | опрокидывание |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | скольжение |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | угловую скорость |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | центростремительное ускорение |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | горизонтальная окружность |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | вертикальная окружность |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | Закон Гука |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | модуль упругости |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | упругая потенциальная энергия |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | дифференциальное уравнение |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the concept of angular speed for a particle moving in a circle, and use the relation $v = r\omega$ | |
| understand that the acceleration of a particle moving in a circle with constant speed is directed towards the centre of the circle, and use the formulae $r\omega^2$ and $\frac{v^2}{r}$. | Proof of the acceleration formulae is not required. |
| solve problems which can be modelled by the motion of a particle moving in a horizontal circle with constant speed | |
| solve problems which can be modelled by the motion of a particle in a vertical circle without loss of energy. | Including finding a normal contact force or the tension in a string, locating points at which these are zero, and conditions for complete circular motion. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать понятие угловой скорости для частицы, движущейся по окружности, и использовать соотношение $v = r\omega$ | |
| понимать, что ускорение частицы, движущейся по окружности с постоянной скоростью, направлено к центру окружности, и использовать формулы $r\omega^2$ и $\frac{v^2}{r}$. | Доказательство формул ускорения не требуется. |
| решать задачи, которые можно смоделировать движением частицы по горизонтальной окружности с постоянной скоростью | |
| решать задачи, которые можно смоделировать движением частицы по вертикальной окружности без потерь энергии. | Включая определение нормальной реакции опоры или натяжения нити, нахождение точек, где они равны нулю, и условий полного кругового движения. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
For a particle moving in a circle of radius $r$, the angular speed 角速度 $\omega$ links to the speed by $v = r\omega$. The acceleration points towards the centre — the centripetal acceleration 向心加速度 — with size
In a horizontal circle 水平圆 the speed is constant — as in a conical pendulum 圆锥摆 (a mass swung on a string). In a vertical circle 竖直圆 use energy conservation, because the speed changes with height; the normal contact force 法向接触力 or string tension provides the centripetal force.
Worked example. A particle moves in a horizontal circle of radius $2\ \text{m}$ with angular speed $3\ \text{rad s}^{-1}$. Find its speed and acceleration.
Для частицы, движущейся по окружности радиуса $r$, угловая скорость $\omega$ связана со скоростью соотношением $v = r\omega$. Ускорение направлено к центру — это центростремительное ускорение — величиной
В горизонтальной окружности скорость постоянна — как в коническом маятнике (груз, качающийся на нити). В вертикальной окружности используйте закон сохранения энергии, так как скорость меняется с высотой; сила нормальной реакции или натяжение нити обеспечивают центростремительную силу.
Разобранный пример. Частица движется по горизонтальной окружности радиуса $2\ \text{m}$ с угловой скоростью $3\ \text{rad s}^{-1}$. Найдите ее скорость и ускорение.
Circular motion is measured in radians: drag the angle θ and radius r to see the arc swept — angular speed ω turns this into v = rω. · Круговое движение измеряется в радианах: перетащите угол θ и радиус r, чтобы увидеть пройденную дугу — угловая скорость ω преобразует это в линейную v = rω.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use Hooke’s law as a model relating the force in an elastic string or spring to the extension or compression, and understand the term modulus of elasticity | |
| use the formula for the elastic potential energy stored in a string or spring | Proof of the formula is not required. |
| solve problems involving forces due to elastic strings or springs, including those where considerations of work and energy are needed. | e.g. a particle moving horizontally or vertically or on an inclined plane while attached to one or more strings or springs, or a particle attached to an elastic string acting as a 'conical pendulum'. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| использовать закон Гука как модель, связывающую силу в упругой нити или пружине с ее удлинением или сжатием, и понимать термин модуль упругости | |
| использовать формулу для упругой потенциальной энергии, запасенной в нити или пружине | Доказательство формулы не требуется. |
| решать задачи, связанные с силами, действующими со стороны упругих нитей или пружин, в том числе там, где необходимо учитывать работу и энергию. | Например, частица движется горизонтально, вертикально или по наклонной плоскости, будучи прикрепленной к одной или нескольким нитям или пружинам, или частица, прикрепленная к упругой нити, которая служит «коническим маятником». |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
Hooke's law 胡克定律 says the tension in an elastic string or spring is proportional to its extension $x$:
Worked example. An elastic string of natural length $2\ \text{m}$ and modulus $50\ \text{N}$ is stretched by $0.5\ \text{m}$. Find the tension and the stored energy.
Закон Гука гласит, что натяжение упругой нити или пружины пропорционально ее удлинению $x$:
Разобранный пример. Упругая нить натуральной длины $2\ \text{m}$ и жесткости $50\ \text{N}$ растянута на $0.5\ \text{m}$. Найдите натяжение и запасенную энергию.
F = k·x
Force is proportional to extension — the gradient is the stiffness k. · Сила пропорциональна удлинению — градиент является жесткостью k.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| solve problems which can be modelled as the linear motion of a particle under the action of a variable force, by setting up and solving an appropriate differential equation. | Including use of $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ for acceleration, where appropriate. Calculus required is restricted to content from Pure Mathematics 3 in Cambridge International A Level Mathematics (9709). Only differential equations in which the variables are separable are included. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| решать задачи, которые можно смоделировать линейным движением частицы под действием переменной силы, составляя и решая соответствующее дифференциальное уравнение. | Включая использование $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ для ускорения, где это уместно. Требуемая математика ограничена содержанием Pure Mathematics 3 из Cambridge International A Level Mathematics (9709). Рассматриваются только дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
When the force depends on position $x$, use acceleration in the form $a = v\dfrac{dv}{dx}$, which turns Newton's law into a differential equation 微分方程 relating $v$ and $x$.
Worked example. A particle of mass $8\ \text{kg}$ moves along a line under a variable force 变力 of size $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ acting in the direction of motion. When $x = 0$, $v = 1$. Find $v$ in terms of $x$.
Newton's law gives $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Separating and integrating:
Когда сила зависит от положения $x$, используйте ускорение в виде $a = v\dfrac{dv}{dx}$, что превращает закон Ньютона в дифференциальное уравнение, связывающее $v$ и $x$.
Используйте dv/dt, когда сила зависит от времени, и vdv/dx, когда она зависит от положения*
Разобранный пример. Частица массой $8\ \text{kg}$ движется вдоль прямой под действием переменной силы величиной $(x^3 + 4x)\ \text{N}$, действующей в направлении движения. При $x = 0$, $v = 1$. Найдите $v$ через $x$.
Закон Ньютона дает $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Разделяя переменные и интегрируя:
W = ∫ F dx
When the force changes, the work done is the area under the force–distance graph. · Когда сила изменяется, совершенная работа равна площади под графиком зависимости силы от расстояния.
| English | Русский |
|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | переменная сила |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | сохранения импульса |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | экспериментальный закон Ньютона |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | коэффициент восстановления |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | ограничивающая парабола |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | пластина (ламине) |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | соплосковые силы |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | конический маятник |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | нормальная контактная сила |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | косой удар |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| recall Newton’s experimental law and the definition of the coefficient of restitution, the property $0 \leqslant e \leqslant 1$, and the meaning of the terms ‘perfectly elastic’ ($e = 1$) and ‘inelastic’ ($e = 0$) | |
| use conservation of linear momentum and/or Newton’s experimental law to solve problems that may be modelled as the direct or oblique impact of two smooth spheres, or the direct or oblique impact of a smooth sphere with a fixed surface. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| вспомнить экспериментальный закон Ньютона и определение коэффициента восстановления, свойство $0 \leqslant e \leqslant 1$, а также значение терминов «абсолютно упругий» ($e = 1$) и «неупругий» ($e = 0$) | |
| использовать закон сохранения импульса и/или экспериментальный закон Ньютона для решения задач, которые могут быть смоделированы как прямое или косое столкновение двух гладких шаров, или прямое или косое столкновение гладкого шара с неподвижной поверхностью. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
In a collision, total linear momentum is conserved — the conservation of linear momentum 动量守恒. The bounciness is measured by Newton's experimental law 牛顿实验定律, which defines the coefficient of restitution 恢复系数 $e$:
Worked example. A sphere $A$ of mass $2\ \text{kg}$ moving at $5\ \text{m s}^{-1}$ hits a stationary sphere $B$ of mass $3\ \text{kg}$, with $e = 0.5$. Find the speeds afterwards.
Momentum: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, so $2v_A + 3v_B = 10$. Restitution: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Solving together gives $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ and $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
При столкновении полный линейный импульс сохраняется — это закон сохранения линейного импульса. Упругость измеряется по экспериментальному закону Ньютона, который определяет коэффициент восстановления $e$:
Разобранный пример. Сфера $A$ массой $2\ \text{kg}$, движущаяся со скоростью $5\ \text{m s}^{-1}$, ударяет о неподвижную сферу $B$ массой $3\ \text{kg}$, при $e = 0.5$. Найдите скорости после удара.
Импульс: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, значит $2v_A + 3v_B = 10$. Коэффициент восстановления: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Решение системы дает $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ и $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
Set each mass and speed, then collide them. Total momentum is conserved — see how the velocities come out. · Установите массу и скорость каждого объекта, затем столкните их. Общий импульс сохраняется — посмотрите, какие получаются скорости.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Past Papers · Архив экзаменационных работ
Loading subjects… · Загрузка предметов…