Матрицы (Further Pure 2)
| English | Русский |
|---|---|
| stretch/stretʃ/ | растяжением |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | собственный вектор |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | собственное значение |
| diagonalisation/daɪˌæɡənəlaɪˈzeɪʃn/ | диагонализируемость |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | матричное уравнение |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | характеристическое уравнение |
| scalar/ˈskeɪlə/ | скаляр |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | диагональная матрица |
Скрытые направления в матрице
- Любая матрица преобразует пространство. Некоторые направления особые: матрица лишь растягивает их, не поворачивая. Это собственные векторы, а коэффициенты растяжения — собственные значения.
- Собственные значения раскрывают структуру матрицы — они являются ключом к диагонализации, анализу устойчивости и алгоритму PageRank Google.
Матричные уравнения
- Три линейных уравнения с тремя неизвестными → матричное уравнение $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Невырожденная $A$ дает единственное решение: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
Разбор примера. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. Решение: $2x + y = 5$ и $x + 3y = 7$. Ответ: $x = \dfrac{8}{5}$, $y = \dfrac{9}{5}$.
Собственный вектор сохраняет свое направление при действии матрицы; общий вектор поворачивается
Матрицы (Further Pure 2)
(x', y') = M(x, y)
Повороты, отражения и сдвиги — всё это матрицы; их можно считать по преобразованным базисным векторам.
Собственные значения и собственные векторы
- Характеристическое уравнение $\det(A - \lambda I) = 0$ дает собственные значения $\lambda$.
- Для каждого $\lambda$ собственный вектор $\mathbf{v}$ удовлетворяет условию $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- Умножение собственного вектора на $A$ только растягивает его (на множитель $\lambda$), не изменяя направления.
Собственные векторы не уникальны. Если $\mathbf{v}$ является собственным вектором, то им же является и $k\mathbf{v}$ для любого ненулевого скаляра $k$. Обычно выбирают простейшую форму (наименьшие целые числа).
У матрицы [[2,1],[1,2]] характеристическое уравнение имеет вид (2−λ)² − 1 = 0, откуда λ = 1 или λ = 3. Каково наибольшее собственное значение?
(2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 или 3; наибольшее из них равно 3.
Собственные значения матрицы A находятся решением уравнения:
Характеристическое уравнение det(A − λI) = 0 дает собственные значения.
Умножение собственного вектора на A только растягивает его (Av = λv).
Собственный вектор сохраняет свое направление; A лишь масштабирует его на величину собственного значения λ.
Если v — собственный вектор A, то 2v также является собственным вектором A.
Собственные векторы не единственны — любое ненулевое скалярное кратное собственного вектора также является собственным вектором.
Диагонализация
- Можно записать $A = QDQ^{-1}$, где $D$ — диагональная матрица собственных значений, а столбцы $Q$ — собственные векторы.
- Это упрощает вычисление $A^n$: $A^n = QD^nQ^{-1}$, а $D^n$ — это просто диагональные элементы, возведенные в степень $n$.
В диагонализации A = QDQ⁻¹ матрица D содержит:
D — диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные значения A.
Если A = QDQ¹, то A³ = QD³Q⁻¹. Если D имеет диагональные элементы 1 и 3, то D³ имеет диагональные элементы 1 и ?
D³ имеет диагональные элементы 1³ = 1 и 3³ = 27.
Разобранный пример
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Характеристическое уравнение: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ или $3$.
- Для $\lambda = 1$: собственный вектор $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Для $\lambda = 3$: собственный вектор $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- Матрица с нулевым определителем имеет вырожденность (она вырождена и не имеет обратной).
Вы поняли
- собственные значения решают $\det(A - \lambda I) = 0$; собственные векторы удовлетворяют $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- умножение собственного вектора на $A$ только растягивает его
- диагонализировать: $A = QDQ^{-1}$ (D = собственные значения, столбцы Q = собственные векторы)