Дифференцирование (Further Pure 2)
| English | Русский |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | полиномом |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | Ряд Маклорена |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | дифференцированию |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | гиперболический |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | коэффициент |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | интервал сходимости |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | расходиться |
Как калькулятор находит eˣ?
- Ваш калькулятор не может «сделать» $e^{0.7}$ напрямую — нет кнопки, которая знала бы об этом.
- Вместо этого он суммирует несколько членов полинома, имитирующего $e^x$ вблизи нуля.
- Этот полином называется рядом Маклорена — и его построение начинается с многократного дифференцирования.
Новые производные, которые нужно знать
- Further Pure 2 добавляет производные гиперболических и обратных функций:
| функция | производная |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- Вы также можете найти $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ для неявных и параметрических кривых.
Каждый дополнительный член ряда Маклорена точнее огибает e^x на большем участке
Наклон касательной в точке
наклон = dy/dx
Производная — это наклон касательной, какой бы экзотической ни была функция.
Производная от sinh x равна:
d/dx(sinh x) = cosh x (и d/dx(cosh x) = sinh x).
Производная от tan⁻¹x равна 1/(1+x²). Чему она равна при x = 0?
1/(1+0²) = 1.
Соотнесите каждую функцию с её производной.
Гиперболическая пара меняются местами (без минуса, в отличие от sin/cos); производные обратных тригонометрических функций имеют стандартный рациональный/иррациональный вид.
Ряд Маклорена
- Ряд Маклорена восстанавливает функцию как бесконечный полином, используя ее производные в точке $0$:
- Каждый коэффициент требует следующей производной, вычисленной в точке $x = 0$.
В ряде Маклорена свободный член равен f(0). Для f(x) = eˣ, чему равно f(0)?
e⁰ = 1, поэтому свободный член равен 1.
В ряде Маклорена коэффициент при xⁿ имеет n-факториал (записывается как n!) в ______.
Член xⁿ имеет вид f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — n! находится в знаменателе.
Разбор примера — ряд для eˣ
- Для $f(x) = e^x$ каждая производная равна $e^x$, и $e^0 = 1$. Поэтому каждый коэффициент равен $\dfrac{1}{n!}$:
Каждый дополнительный член изгибает полином ближе к $e^x$ вблизи $x = 0$ — именно так работает калькулятор.
Более стандартные ряды. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ и $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (верны для $|x| < 1$).
Ряд Маклорена для e начинается так:
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
Область сходимости ряда
- Ряд Маклорена совпадает с функцией только в пределах своего интервала сходимости.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ сходятся для всех $x$; но $\ln(1+x)$ только для $-1 < x \leq 1$.
Проверяйте сходимость, прежде чем доверять ему. Вдали от допустимого интервала полином резко расходится с функцией — добавление членов делает ситуацию хуже, а не лучше.
- Дифференцировать гиперболические функции и обратные функции, а также связи, заданные неявно или параметрически.
Ряд Маклорена для ln(1+x) сходится при любом значении x.
Он сходится только для −1 < x ≤ 1; вне этого интервала он расходится.
Вы поняли
- новые производные: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Маклорен: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — больше членов лучше подходят, в пределах интервала сходимости