Интегрирование (Further Pure 2)
| English | Русский |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | первообразная |
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | стандартный вид |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | замещение |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | гиперболический |
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | тригонометрический |
| surd/sɜːd/ | иррациональное число (корень) |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | формула понижения порядка |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | длину дуги |
Интегралы, дающие ответ
- Некоторые интегралы не имеют очевидной первообразной — пока вы не заметите стандартную форму или подходящую замену.
- «Further Pure 2» предоставляет набор инструментов: стандартные интегралы обратных тригонометрических функций, тригонометрические/гиперболические замены и формулы понижения степени.
Стандартные интегралы
- Два результата, которые стоит запомнить:
- Сопоставьте интеграл с нужной формой, найдите $a$ и запишите ответ.
Определённый интеграл измеряет площадь под кривой
Площадь под кривой
площадь = ∫ f(x) dx
Каждый интеграл измеряет площадь под кривой — перетащите пределы интегрирования.
Чему равен ∫ 1/(a² + x²) dx?
Это стандартный интеграл, дающий арктангенс.
Чему равен ∫ 1/√(4 − x²) dx?
При a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C.
Соотнесите каждый интеграл с его результатом.
Первые два — стандартные формы обратных тригонометрических функций; ∫1/x dx = ln|x| + C.
Замена
- Тригонометрическая замена ($x = a\sin\theta$ или $x = a\tan\theta$) превращает иррациональный знаменатель или квадратичный в простой вид.
- Гиперболическая замена ($x = a\sinh u$) обрабатывает выражения вида $\sqrt{a^2 + x^2}$.
Разбор примера. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. Здесь $a^2 = 9$, поэтому $a = 3$: ответ равен $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
В интеграле ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, чему равно a?
a² = 9, значит a = 3; интеграл равен (1/3)tan⁻¹(x/3) + C.
Формулы понижения степени
- Формула понижения связывает интеграл $I_n$ с интегралом меньшего порядка $I_{n-1}$ (или $I_{n-2}$).
- Применяйте её многократно, чтобы «спуститься» до базового случая, который интегрируется напрямую.
Не теряйте пределы. Для определённого интеграла граничный член в формуле понижения вычисляется на пределах каждый раз — это частое место, где можно потерять знак или множитель.
Формула понижения связывает интеграл Iₙ с Iₙ₋₁, позволяя вычислять шаг за шагом.
Формулы понижения выражают интеграл с большим индексом через интеграл с меньшим.
Применение
- Интегрирование также позволяет находить длины самих кривых:
- Длина дуги: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Площадь поверхности вращения: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Интегрируйте с помощью тригонометрических замен, гиперболических функций и выделения полного квадрата в знаменателе.
Длина дуги — это интеграл от √(1 + (______)²) dx.
Длина дуги s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx.
Вы поняли
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- используйте тригонометрическую / гиперболическую замену для иррациональностей и квадратичных знаменателей
- формула понижения снижает $I_n$ до $I_{n-1}$; интегрирование также даёт длину дуги и площадь поверхности