A-Level Further Mathematics · A-Level Дополнительная математика · Topic 4 · Тема 4
8:08
Дополнительная теория вероятностей и статистика
Дублин, девятнадцатьсот восемь. Внутри пивоварни Guinness молодой химик по имени Уильям Госсет сталкивается с очень практичной проблемой. Он может протестировать лишь несколько партий…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
This handout covers Topic 4: Further Probability & Statistics 进阶概率统计. It adds continuous distributions, small-sample inference, the chi-squared and non-parametric tests, and probability generating functions.
Эта методичка охватывает тему 4: Дополнительная теория вероятностей и статистика. Она включает непрерывные распределения, вывод для малых выборок, критерий хи-квадрат и непараметрические тесты, а также производящие функции вероятности.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use a probability density function which may be defined piecewise | |
| use the general result $\text{E}(g(X)) = \int f(x)g(x) \, \mathrm{d}x$ where $f(x)$ is the probability density function of the continuous random variable $X$ and $g(X)$ is a function of $X$ | |
| understand and use the relationship between the probability density function (PDF) and the cumulative distribution function (CDF), and use either to evaluate probabilities or percentiles | |
| use cumulative distribution functions (CDFs) of related variables in simple cases. | e.g. given the CDF of a variable $X$, find the CDF of a related variable $Y$, and hence its PDF, e.g. where $Y = X^3$. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| использовать функцию плотности вероятности, которая может быть задана кусочно | |
| использовать общее следствие $\text{E}(g(X)) = \int f(x)g(x) \, \mathrm{d}x$, где $f(x)$ является функцией плотности вероятности непрерывной случайной величины $X$, а $g(X)$ — функция от $X$ | |
| понимать и использовать связь между функцией плотности вероятности (PDF) и функцией распределения (CDF), а также использовать любую из них для вычисления вероятностей или перцентилей | |
| использовать функции распределения (CDF) связанных величин в простых случаях. | Например, зная CDF величины $X$, найти CDF связанной величины $Y$, а затем её PDF, например, когда $Y = X^3$. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A continuous variable $X$ is described by a probability density function 概率密度函数 $f(x)$, which may be defined piecewise. The probability over a range is the area under $f$, and the mean of any function of $X$ is
The cumulative distribution function 累积分布函数 $F(x) = P(X \leqslant x)$ is the running total: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, and $f(x) = F'(x)$. Use $F$ to find probabilities and percentiles 百分位数 (for example, the median 中位数 solves $F(x) = 0.5$).
Worked example. A variable has $f(x) = \tfrac12 x$ for $0 \leqslant x \leqslant 2$. Find the median.
The cumulative distribution function is $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Set $F(m) = 0.5$:
The distribution of a related variable. If $Y=g(X)$, find $Y$'s distribution through its cumulative function. For $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, then differentiate for $f_Y=F_Y'$. When $g$ is monotonic increasing there is a shortcut, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.
Worked example. With $f_X(x)=\tfrac12 x$ on $[0,2]$ (so $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), let $Y=X^2$. For $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, so $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ – that is, $Y$ is uniform on $[0,4]$.
Непреремнная переменная $X$ описывается функцией плотности вероятности $f(x)$, которая может быть задана кусочно. Вероятность попадания в диапазон равна площади под $f$, а среднее значение любой функции от $X$ равно
Функция накопленного распределения $F(x) = P(X \leqslant x)$ — это накопленная сумма: $F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, и $f(x) = F'(x)$. Используйте $F$ для нахождения вероятностей и перцентилей (например, медиана определяет $F(x) = 0.5$).
Разбор примера. Случайная величина имеет $f(x) = \tfrac12 x$ при $0 \leqslant x \leqslant 2$. Найдите медиану.
Функция накопленного распределения равна $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$. Приравняйте $F(m) = 0.5$:
Распределение связанной переменной. Если $Y=g(X)$, найдите распределение $Y$ через его функцию накопления. Для $Y=X^2$: $F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$, затем дифференцируйте для получения $f_Y=F_Y'$. Когда $g$ монотонно возрастает, существует упрощение, $F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$.
Разбор примера. Имеется $f_X(x)=\tfrac12 x$ на интервале $[0,2]$ (поэтому $F_X(x)=\tfrac14 x^2$), пусть $Y=X^2$. Для $0\leqslant y\leqslant 4$, $F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$, следовательно $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$ — то есть $Y$ распределена равномерно на $[0,4]$.
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
For a continuous variable, probability is the area under the density curve. · Для непрерывной переменной вероятность равна площади под кривой плотности.
| English | Русский |
|---|---|
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | функция плотности вероятности |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | функция распределения |
| percentiles/pəˈsentaɪlz/ | перцентилей |
| median/ˈmiːdiːən/ | медианой |
| hypothesis test/haɪˈpɒθəsɪs test/ | статистическая гипотеза |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | доверительный интервал |
| pooled estimate/puːld ˈestɪmət/ | объединенная оценка |
| chi-squared test/kaɪ skweəd test/ | критерий хи-квадрат |
| theoretical distribution/θɪəˈretɪkl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | теоретическое распределение |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | число степеней свободы |
| goodness of fit/ˈɡʊdnəs ɒv fɪt/ | соответствия |
| independence/ˌɪndɪˈpendəns/ | независимости |
| contingency table/kənˈtɪndʒənsi ˈteɪbl/ | таблица сопряженности |
| non-parametric test/nɒn ˌpærəˈmetrɪk test/ | непараметрический тест |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| formulate hypotheses and apply a hypothesis test concerning the population mean using a small sample drawn from a normal population of unknown variance, using a t-test | |
| calculate a pooled estimate of a population variance from two samples | Calculations based on either raw or summarised data may be required. |
| formulate hypotheses concerning the difference of population means, and apply, as appropriate: - a 2-sample t-test - a paired sample t-test - a test using a normal distribution | The ability to select the test appropriate to the circumstances of a problem is expected. |
| determine a confidence interval for a population mean, based on a small sample from a normal population with unknown variance, using a t-distribution | |
| determine a confidence interval for a difference of population means, using a t-distribution or a normal distribution, as appropriate. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| формулировать гипотезы и применять проверку гипотезы относительно среднего значения генеральной совокупности на основе малой выборки, выбранной из нормального распределения с неизвестной дисперсией, используя t-критерий | |
| вычислять объединенную оценку дисперсии генеральной совокупности по двум выборкам | Могут потребоваться расчеты как на основе исходных данных, так и на основе сводных данных. |
| Формулировать гипотезы относительно разности средних генеральных совокупностей и применять, где уместно: - t-критерий для выборки ⟨2⟩ - ** paired t-критерий (для парных выборок)** - тест с использованием нормального распределения | Ожидается способность выбирать тест, соответствующий обстоятельствам задачи. |
| определить доверительный интервал для среднего значения генеральной совокупности на основе малой выборки из нормального распределения с неизвестной дисперсией, используя t-распределение | |
| определить доверительный интервал для разности средних значений генеральных совокупностей, используя t-распределение или нормальное распределение, в зависимости от обстоятельств. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
When a sample is small and the population variance is unknown, base your hypothesis test 假设检验 on the $t$-distribution instead of the normal. The same idea gives a confidence interval 置信区间 for the mean:
Worked example. A sample of $n = 10$ has mean $\bar{x} = 50$ and standard deviation $s = 4$. Find a $95\%$ confidence interval for the mean (use $t = 2.262$ for $9$ degrees of freedom).
Когда выборка мала, а дисперсия генеральной совокупности неизвестна, основывайте гипотезу на распределении $t$ вместо нормального. Та же идея дает доверительный интервал для среднего:
Разобранное решение. Образец $n = 10$ имеет среднее значение $\bar{x} = 50$ и стандартное отклонение $s = 4$. Найдите доверительный интервал для среднего со степенью достоверности $95\%$ (используйте $t = 2.262$ для $9$ степеней свободы).
With $\sigma$ unknown you use $t$, and $t$ has heavier tails than the normal (drawn dashed behind it) — so its critical values are larger and the interval is wider. At the worked example's $9$ degrees of freedom the widget reads $t^* = 2.262$, exactly the table value used above. Sweep df up and $t$ collapses onto the normal. · При неизвестном $\sigma$ используется $t$, и $t$ имеет более тяжелые хвосты, чем нормальное (нарисовано пунктиром позади него) — поэтому его критические значения больше, а интервал шире. При $9$ степенях свободы, указанных в разобранном решении, виджет показывает $t^* = 2.262$, точно такое же табличное значение, что использовалось выше. Прокрутите df вверх, и $t$ совпадет с нормальным распределением.
Shade a tail to find a probability — the basis of confidence intervals and hypothesis tests. · Заштрихуйте хвост, чтобы найти вероятность — это основа доверительных интервалов и тестов гипотез.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| fit a theoretical distribution, as prescribed by a given hypothesis, to given data | Questions will not involve lengthy calculations. |
| use a $\chi^2$-test, with the appropriate number of degrees of freedom, to carry out the corresponding goodness of fit analysis | Classes should be combined so that each expected frequency is at least 5. |
| use a $\chi^2$-test, with the appropriate number of degrees of freedom, for independence in a contingency table. | Yates’ correction is not required. Where appropriate, either rows or columns should be combined so that the expected frequency in each cell is at least 5. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| подбирать теоретическое распределение, предписанное данной гипотезой, к имеющимся данным | Задания не будут включать длительные вычисления. |
| использовать $\chi^2$-критерий с соответствующим числом степеней свободы для проведения анализа соответствия (goodness of fit) | Классы следует объединять так, чтобы каждая ожидаемая частота была не менее 5. |
| использовать $\chi^2$-критерий с соответствующим числом степеней свободы для проверки независимости в таблице сопряженности. | Поправка Йейтса не требуется. При необходимости следует объединять строки или столбцы так, чтобы ожидаемая частота в каждой ячейке составляла не менее 5. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A $\chi^2$-test (chi-squared test 卡方检验) compares observed counts $O$ with expected counts $E$ from a theoretical distribution 理论分布:
Worked example. Four equally likely categories give observed counts $20, 30, 25, 25$ (so each expected count is $25$). Test the fit at the $5\%$ level.
Критерий $\chi^2$ (χ²-критерий) сравнивает наблюдаемые частоты $O$ с ожидаемыми частотами $E$ из теоретического распределения:
Разбор примера. Четыре равновероятные категории дают наблюдаемые частоты $20, 30, 25, 25$ (поэтому каждая ожидаемая частота равна $25$). Проверьте соответствие на уровне значимости $5\%$.
The worked example on this page gives $\chi^2 = 2$ with $3$ degrees of freedom against a table value of $7.815$ — the widget reproduces both. Drag df to see why the critical value changes with the number of categories. · Разобранное решение на этой странице дает $\chi^2 = 2$ при $3$ степенях свободы против табличного значения $7.815$ — виджет воспроизводит оба. Перетащите df, чтобы увидеть, почему критическое значение меняется в зависимости от числа категорий.
Follow observed and expected counts to a test decision. · Следуйте наблюдаемым и ожидаемым частотам для принятия решения по тесту.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the idea of a non-parametric test and appreciate situations in which such a test might be useful | e.g. when sampling from a population which cannot be assumed to be normally distributed. |
| understand the basis of the sign test, the Wilcoxon signed-rank test and the Wilcoxon rank-sum test | Including knowledge that Wilcoxon tests are valid only for symmetrical distributions. |
| use a single-sample sign test and a single-sample Wilcoxon signed-rank test to test a hypothesis concerning a population median | Including the use of normal approximations where appropriate. Questions will not involve tied ranks or observations equal to the population median value being tested. |
| use a paired-sample sign test, a Wilcoxon matched-pairs signed-rank test and a Wilcoxon rank-sum test, as appropriate, to test for identity of populations. | Including the use of normal approximations where appropriate. Questions will not involve tied ranks or zero‑difference pairs. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать концепцию непараметрического критерия и оценивать ситуации, в которых такой критерий может быть полезен | например, при выборочном исследовании из генеральной совокупности, которую нельзя считать нормально распределенной. |
| понимать основу знакового теста, теста Вилкоксона о рангах со знаками и теста Вилкоксона о сумме рангов | Включая знание того, что тесты Вилкоксона применимы только для симметричных распределений. |
| использовать одновыборочный знаковый тест и одновыборочный тест Вилкоксона о рангах со знаками для проверки гипотезы относительно медианы генеральной совокупности | Включая использование нормальных приближений там, где это уместно. Задания не будут включать одинаковые ранги или наблюдения, равные проверяемому значению медианы генеральной совокупности. |
| использовать парный знаковый тест, тест Вилкоксона для спаренных выборок о рангах со знаками и тест Вилкоксона о сумме рангов (при необходимости) для проверки равенства генеральных совокупностей. | Включая использование нормальных приближений там, где это уместно. Задания не будут включать одинаковые ранги или пары нулевой разницы. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
A non-parametric test 非参数检验 makes no assumption that the data is normal, so it is useful when that assumption fails. The basic ones are:
Worked example. Test whether a median is $5$. In a sample of $10$ values (none equal to $5$), $9$ lie above $5$ and $1$ lies below. Test at the $5\%$ level (two-tailed).
Under $H_0$ (median $= 5$) the number above follows $B(10, 0.5)$. The observed result ($9$ above) is extreme, so find $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. For a two-tailed test compare with $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Since $0.0107 < 0.025$, reject $H_0$: there is evidence the median is not $5$.
Непараметрический тест не предполагает нормальное распределение данных, поэтому он полезен, когда это предположение нарушается. Основные из них:
Разобранный пример. Проверьте, является ли медиана равной $5$. В выборке из $10$ значений (ни одно не равно $5$), $9$ находятся выше $5$, а $1$ — ниже. Проведите тест на уровне значимости $5\%$ (двусторонний).
При условии $H_0$ (медиана $= 5$) количество наблюдений выше нее следует распределению $B(10, 0.5)$. Наблюдаемый результат ($9$ над медианой) является экстремальным, поэтому найдите P-значение $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$. Для двустороннего теста сравните со значением $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$. Поскольку $0.0107 < 0.025$, отвергаем гипотезу $H_0$: есть доказательства того, что медиана не равна $5$.
Choose the rank-based test that matches the data situation. · Выберите ранговый тест, соответствующий ситуации с данными.
| English | Русский |
|---|---|
| sign test/saɪn test/ | тест знаков |
| Wilcoxon signed-rank test/ˈwɪlkɒksn saɪnd ræŋk test/ | критерий Вилкоксона для связанных выборок |
| Wilcoxon rank-sum test/ˈwɪlkɒksn ræŋk sʌm test/ | критерий Вилкоксона |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | функция порождения вероятностей |
| Further Probability & Statistics/ˈfɜːðə ˌprɒbəˈbɪlɪti ænd stəˈtɪstɪks/ | Дополнительная теория вероятностей и статистика |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the concept of a probability generating function (PGF) and construct and use the PGF for given distributions | Including the discrete uniform, binomial, geometric and Poisson distributions. |
| use formulae for the mean and variance of a discrete random variable in terms of its PGF, and use these formulae to calculate the mean and variance of a given probability distribution | |
| use the result that the PGF of the sum of independent random variables is the product of the PGFs of those random variables. |
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать концепцию функции порождения вероятностей (PGF) и составлять и использовать PGF для заданных распределений | Включая дискретное равномерное, биномиальное, геометрическое и пуассоновское распределения. |
| использовать формулы для математического ожидания и дисперсии дискретной случайной переменной через её PGF, а также применять эти формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии заданного распределения вероятностей | |
| использовать результат о том, что PGF суммы независимых случайных величин является произведением их PGF. |
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
The probability generating function 概率母函数 of a discrete variable $X$ is
Worked example. $X$ has $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Find $E(X)$ using the PGF.
Here $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, so $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ and
Генерирующая функция вероятностей дискретной случайной величины $X$ имеет вид
Разбор примера. Случайная величина $X$ принимает значения $P(X=0) = 0.5$, $P(X=1) = 0.3$, $P(X=2) = 0.2$. Найдите P-функцию (PGF) $E(X)$.
Здесь $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$, следовательно $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ и
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
Change x and see how a PGF stores probabilities in powers of x. · Измените x и посмотрите, как ФПВ хранит вероятности в степенях x.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Past Papers · Архив экзаменационных работ
Loading subjects… · Загрузка предметов…