Гиперболические функции
| English | Русский |
|---|---|
| catenary/kæˈtiːnəri/ | цепная линия |
| hyperbolic function/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃn/ | гиперболическая функция |
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | экспоненциальная |
| identity/aɪˈdentɪti/ | идентичность |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | производной |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | обратного |
Кривые, свисающие с цепей
- Висящая цепь образует кривую цепной линии (катенарий) — не параболу, а график функции $\cosh x$.
- Гиперболические функции строятся из экспонент и встречаются повсюду: в подвесных мостах, линиях электропередач и даже в форме Вселенной в общей теории относительности.
Определения
- Построены из показательной функции:
Разбор примера. $\cosh 0 = \dfrac{e^0 + e^0}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$. $\sinh 0 = \dfrac{1 - 1}{2} = 0$. Следовательно, цепная линия проходит через $(0, 1)$, а не через начало координат.
cosh и sinh — это среднее арифметическое и полуразность e^x и e^-x
Гиперболические функции
y = a cosh(x)
cosh — это цепная линия (провисающая цепь) — четная функция, с минимумом в точке (0, a).
Используя cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2, чему равно cosh 0?
cosh 0 = (e⁰ + e⁰)/2 = (1 + 1)/2 = 1.
Используя sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, чему равно sinh 0?
sinh 0 = (1 − 1)/2 = 0.
Основные тождества
- Основное тождество: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (сравните с $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$).
- Сложение: $\sinh(A + B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$.
Знак минус, а не плюс. Тождество имеет вид $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (минус), а не $\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1$. Это ключевое отличие от тригонометрических тождеств.
Повисший кабель образует цепную линию, кривую гиперболического косинуса y = a cosh(x/a)
Для любого x чему равно cosh²x − sinh²x?
Гиперболическое тождество: cosh²x − sinh²x = 1.
Тождество cosh²x + sinh²x = 1 является верным.
Верное тождество: cosh²x − sinh²x = 1 (минус, а не плюс).
Производные
- $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, $\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ (без знака минус!).
- $\dfrac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x$.
Производная от sinh x равна:
d/dx(sinh x) = cosh x (без минуса, в отличие от тригонометрической производной d/dx(sin x) = cos x).
Производная от cosh x равна:
d/dx(cosh x) = sinh x (без минуса, в отличие от d/dx(cos x) = −sin x).
Обратные гиперболические функции
- Обратные формы имеют логарифмический вид:
- $\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
- $\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ для $x \geq 1$.
Вы поняли
- $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- ключевое тождество: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- обратные гиперболические функции имеют логарифмическую форму