Этот раздаточный материал охватывает Тема 1: Дополнительная чистая математика 1. Она добавляет новую алгебру, матрицы, полярные координаты, больше векторов и доказательство методом математической индукции.
Дополнительная чистая математика 1
A-Level Дополнительная математика · Тема 1
14:28
Дополнительная чистая математика 1
Вот кубическое уравнение, пересекающее ось в трех корнях. Найти эти корни точно бывает трудно — или даже невозможно вручную. Но вот прекрасное…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
1.1
Корни полиномиальных уравнений
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • вспомнить и использовать связи между корнями и коэффициентами полиномиальных уравнений | например, для вычисления симметричных функций корней или решения задач с неизвестными коэффициентами в уравнениях; ограничено уравнениями только 2-й, 3-й или 4-й степени. |
| • использовать замену переменной для получения уравнения, корни которого связаны простым образом с корнями исходного уравнения | Замены не будут даны для простейших случаев, например, когда новые корни являются обратными величинами или квадратами или простой линейной функцией старых корней. |
Источник: Программа Cambridge International
Для полиномиального уравнения корни связаны с коэффициентами. Для $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $\alpha, \beta$:
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}.$$
Для кубического уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $\alpha, \beta, \gamma$:
$$\sum\alpha = -\frac{b}{a}, \qquad \sum\alpha\beta = \frac{c}{a}, \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}.$$
Такие суммы, как $\sum\alpha$ и $\sum\alpha\beta$, являются симметрическими функциями корней (не изменяются при перестановке корней). Чтобы найти уравнение, корни которого изменены простым образом, используйте подстановку (например, подставьте $w = \alpha + 1$).
Пример решения. Уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$ имеет корни $\alpha, \beta$. Найдите уравнение с корнями $\alpha + 1, \beta + 1$.
Здесь $\alpha + \beta = 5$ и $\alpha\beta = 6$. Новая сумма равна $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, а новое произведение равно $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Таким образом, новое уравнение имеет вид
$$x^2 - 7x + 12 = 0.$$
Исследовать
Корни многочлена
y = ax³ + bx² + cx + d
Корни — это точки пересечения графика с осью x — их сумма и произведение связаны с коэффициентами.
1.2
Рациональные функции и графики
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • набрасывать эскизы графиков простых рациональных функций, включая определение наклонных асимптот, в случаях, когда степень числителя и знаменателя не превышает 2 | Включая определение множества значений, принимаемых функцией, например, с помощью дискриминанта. Детальное построение кривых не требуется, но эскизы обычно должны показывать значимые особенности, такие как точки экстремума, асимптоты и пересечения с осями координат. |
| • понимать и использовать взаимосвязи между графиками $y = f(x)$, $y^2 = f(x)$, $y = \frac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ и $y = f(|x|)$ | Включая использование таких эскизов при решении уравнений или неравенств. |
Источник: Программа Cambridge International
Рациональная функция — это дробь двух полиномов. Когда степень числителя ровно на единицу выше степени знаменателя, график имеет наклонную асимптоту (наклонную прямую, которой приближается кривая); найдите её путем деления. Вы также должны уметь связывать график $y = f(x)$ с графиками $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ и $y = f(|x|)$. Найдите множество значений, которые может принимать функция, используя дискриминант, и определите её экстремумы.
Пример решения. Найдите наклонную асимптоту для $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Выполните деление дроби: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Поскольку $x \to \pm\infty$ остаток $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, кривая приближается к прямой $y = x$ — наклонной асимптоте.
Исследовать
Рациональные функции
y = a/(x − b) + c
У рациональной функции есть асимптоты — линии, к которым график приближается, но никогда не касается.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Дополнительная чистая математика (Further Pure Mathematics) |
| roots/ruːts/ | корни |
| coefficients/ˌkəʊɪˈfɪʃənts/ | коэффициенты |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | замещение |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | рациональная функция |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | наклонная асимптота |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | метод разностей |
| convergent/kənˈvɜːdʒənt/ | конвергентный |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | сумма бесконечного ряда |
1.3
Суммирование рядов
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| • использовать стандартные результаты для $\sum r$, $\sum r^2$, $\sum r^3$ для нахождения связанных сумм | |
| • использовать метод телескопических сумм (метод разностей) для получения суммы конечного ряда | Может потребоваться использование дробей на частные для представления общего члена в подходящей форме. |
| • распознавать, рассматривая сумму $n$ членов, сходимость ряда и находить сумму бесконечного ряда в таких случаях |
Источник: Программа Cambridge International
Изучите стандартные результаты:
$$\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2.$$
Метод разностей суммирует ряд, сокращая промежуточные члены: если разложение на простейшие дроби, запишите каждый член как $f(r) - f(r+1)$, почти всё сократится. Из суммы до $n$ членов можно определить, является ли ряд сходящимся, и, если да, найти его сумму бесконечного ряда.
Разобранный пример. Найдите $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.
$$\sum_{r=1}^{n}(2r + 1) = 2\sum_{r=1}^{n} r + \sum_{r=1}^{n} 1 = 2\cdot\tfrac12 n(n+1) + n = n(n+1) + n = n(n+2).$$
Исследовать
Последовательности и их суммы
Проходите по членам и накопленной сумме — идея, стоящая за рядом и его суммой до n членов.
1.4
Матрицы
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| выполнять операции сложения матриц, вычитания и умножения, а также распознавать понятия нулевая матрица и единичная (или тождественная) матрица | Включая неквадратные матрицы. Число строк и столбцов матриц — не более 3. |
| вспомнить значения терминов вырожденный и невывожденный применительно к квадратным матрицам и для матриц размера $2 \times 2$ и $3 \times 3$ вычислять определители и находить обратные матрицы для невырожденных матриц | Будут использоваться обозначения $\det \mathbf{M}$ для определителя матрицы $\mathbf{M}$ и $\mathbf{I}$ для единичной матрицы. |
| понимать и использовать результат для невырожденных матриц: $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ | Может потребоваться обобщение на произведение более двух матриц. |
| понимать использование матриц $2 \times 2$ для представления определённых геометрических преобразований в плоскости $x$-$y$, в частности: – понять связь между преобразованиями, представленными матрицами $\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}^{-1}$ – распознать, что произведение матриц $\mathbf{AB}$ представляет преобразование, resulting from (результатом) преобразования, представленного матрицей $\mathbf{B}$, за которым следует преобразование, представленное матрицей $\mathbf{A}$ – вспомнить, как масштабный коэффициент площади преобразования связан с определителем соответствующей матрицы – найти матрицу, представляющую заданное преобразование или последовательность преобразований | Понимание терминов поворот, отражение, увеличение, растяжение и сдвиг для преобразований 2 будет необходимо. Другие преобразования 2 могут быть включены, но специальные знания о них не требуются. |
| понимать значение термина инвариантный применительно к точкам и прямым в контексте преобразований, задаваемых матрицами, и решать простые задачи, связанные с инвариантными точками и инвариантными прямыми. | Например: найти инвариантные точки преобразования, заданного матрицей $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$; найти инвариантные прямые, проходящие через начало координат, для матрицы $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$; доказать, что любая прямая с угловым коэффициентом 1 является инвариантной для матрицы $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. |
Источник: Программа Cambridge International
Матрица — это прямоугольная таблица чисел. Сложение матриц складывает элементы на соответствующих позициях; также можно вычитать и умножать матрицы (умножение — строка $\times$ столбец). Нулевая матрица содержит только нули $0$, а единичная матрица (или тождественная матрица) $I$ не изменяет любую матрицу при умножении.
Для матрицы размера $2\times 2$ ⟨$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$⟩ определитель равен $\det A = ad - bc$. Если $\det A \neq 0$ матрица невырождена (иначе она называется вырожденной матрицей), то обратная матрица равна
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$
Для произведения $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Матрица размера $2\times 2$ может представлять геометрическое преобразование плоскости — поворот, отражение, увеличение, растяжение или сдвиг: определитель дает коэффициент масштабирования площади, а произведение $AB$ означает «сделать $B$, затем $A$». Точки или линии, которые не перемещаются, называются инвариантными точками и инвариантными прямыми.
Разобранный пример. Найдите обратную для $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, поэтому
$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}.$$
Исследовать
Матрицы как преобразования
Измените четыре элемента и наблюдайте, как единичный квадрат отображается в новую форму. Определитель является множителем масштаба площади.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | матричной |
| zero matrix/ˈzɪərəʊ ˈmeɪtrɪks/ | нулевая матрица |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | единичная матрица |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | определитель |
| singular matrix/ˈsɪŋɡjʊlə ˈmeɪtrɪks/ | вырожденная матрица |
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | обратная матрица |
| geometric transformation/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk trænsfɔːˈmeɪʃn/ | геометрическое преобразование |
| invariant points/ɪnˈveərɪənt pɔɪnts/ | инвариантные точки |
| invariant lines/ɪnˈveərɪənt laɪnz/ | инвариантные прямые |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | полярные координаты |
| Cartesian coordinates/kɑːˈtiːzɪən kəʊˈɔːdɪnəts/ | декартовы координаты |
| polar curves/ˈpəʊlə kɜːvz/ | полярные кривые |
| plane/pleɪn/ | плоскость |
1.5
Полярные координаты
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| понимать соотношения между декартовыми и полярными координатами и преобразовывать уравнения кривых из декартовой формы в полярную и обратно | Будет использоваться конвенция $r \geqslant 0$. |
| строить эскизы простых полярных кривых для интервалов $0 \leqslant \theta < 2\pi$ или $-\pi < \theta \leqslant \pi$ или подмножеств этих интервалов | Детальное построение графиков не требуется, но эскизы обычно должны отображать существенные особенности, такие как симметрия, координаты пересечения с начальной прямой, поведение кривой у полюса, а также наименьшие/наибольшие значения $r$. |
| вспомнить формулу $\frac{1}{2} \int r^2 \mathrm{d}\theta$ для площади сектора и применять её в простых случаях. |
Источник: Программа Cambridge International
Полярные координаты задают точку через расстояние $r$ от начала координат и угол $\theta$. Они связаны с декартовыми координатами следующим образом:
$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad r^2 = x^2 + y^2.$$
Вы должны уметь чертить простые полярные кривые и находить площадь сектора с
$$\text{area} = \tfrac12\int r^2\,d\theta.$$
Разобранный пример. Преобразуйте полярное уравнение $r = 4\cos\theta$ в декартову форму.
Умножьте обе стороны на $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, следовательно $x^2 + y^2 = 4x$. Выделение полного квадрата дает $(x - 2)^2 + y^2 = 4$ — окружность радиуса $2$ с центром в $(2, 0)$.
Исследовать
Полярные кривые
Выберите кривую и измените a. В полярной форме точка задается расстоянием r и углом θ — так рисуются розы, кардиоиды и спирали.
1.6
Векторы
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| Использовать уравнение плоскости в любой из форм $ax + by + cz = d$ или $\mathbf{r.n} = p$ или $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ и преобразовывать уравнения плоскостей из одной формы в другую при необходимости решения задач | |
| вспомнить, что векторное произведение $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ двух векторов может быть выражено либо как $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$, где $\hat{\mathbf{n}}$ — единичный вектор, либо в компонентной форме как $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | |
| использовать уравнения прямых и плоскостей, а также скалярное и векторное произведения (где это уместно), для решения задач, связанных с расстояниями, углами и пересечениями, включая: – определение того, лежит ли прямая в плоскости, параллельна ей или пересекает её, и нахождение точки пересечения прямой и плоскости, если она существует – нахождение основания перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость – нахождение угла между прямой и плоскостью, а также угла между двумя плоскостями – нахождение уравнения прямой пересечения двух плоскостей – вычисление кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – нахождение уравнения общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым. |
Источник: Программа Cambridge International
В трех измерениях плоскость может быть записана как $ax + by + cz = d$, или $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, или $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Помимо скалярного произведения существует векторное произведение двух векторов:
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta\;\hat{\mathbf{n}},$$
которое дает вектор, перпендикулярный обоим. Со скалярным и векторным произведениями можно находить расстояния, углы и точки пересечения прямых и плоскостей — включая кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.
Разобранный пример. Найдите $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ для $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ и $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = \mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}.$$
Исследовать
Векторы
a · b = |a||b|cos θ
Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда два вектора перпендикулярны.
Словарь
Тренировать
| English | Русский |
|---|---|
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | векторное произведение |
| vectors/ˈvektəz/ | векторы |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | скрещивающиеся прямые |
| mathematical induction/ˌmæθɪˈmætɪkl ɪnˈdʌkʃn/ | математическая индукция |
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | гипотеза |
| inductive proof/ɪnˈdʌktɪv pruːf/ | математическая индукция |
| symmetric functions/sɪˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | симметрические функции |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | дискриминант |
| turning points/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnts/ | точки разворота |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | разложения на простейшие дроби |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | поворот |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | отражения |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | увеличение |
| stretch/stretʃ/ | растяжением |
| shear/ʃɪə/ | сдвиг |
1.7
Доказательство по индукции
Программа
| Кандидаты должны уметь: | Примечания и примеры |
|---|---|
| использовать метод математической индукции для доказательства заданного результата | Например: $\sum_{r=1}^{n} r^4 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$, $u_n = \frac{1}{2}(1 + 3^{n-1})$ для последовательности, заданной $u_{n+1} = 3u_n - 1$, и $u_1 = 1$, $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 3 \times 2^n - 2 & 1 - 2^n \\ 3 \times 2^{n+1} - 6 & 3 - 2^{n+1} \end{pmatrix}$, $3^{2n} + 2 \times 5^n - 3$ делится на 8. |
| распознавать ситуации, где гипотеза, основанная на ограниченном опыте, с последующим доказательством по индукции, является полезной стратегией, и реализовывать её в простых случаях. | Например: найти $n$-ю производную от $x e^x$; найти $\sum_{r=1}^{n} r \times r!$. |
Источник: Программа Cambridge International
Математическая индукция доказывает результат для каждого положительного целого числа $n$ в два шага:
- Базис индукции: покажите, что результат верен для $n = 1$.
- Индукционный переход: предположите, что он верен для $n = k$, затем докажите для $n = k + 1$.
Если оба шага работают, результат верен для всех $n$. Часто сначала делают гипотезу (логичное предположение) на основе нескольких случаев, а затем подтверждают её доказательством по индукции.
Разобранный пример. Докажите, что $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.
Базис индукции $n = 1$: левая часть равна $1$, правая часть равна $\tfrac12(1)(2) = 1$. Верно. Индукционный переход: предположим $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Тогда
$$\sum_{r=1}^{k+1} r = \tfrac12 k(k+1) + (k+1) = (k+1)\left(\tfrac{k}{2} + 1\right) = \tfrac12 (k+1)(k+2).$$
Это формула для $n = k + 1$, поэтому по индукции она справедлива для всех $n$.
Исследовать
Маршрут доказательства методом математической индукции
Представьте индукцию как первый падающий домино plus правило, толкающее каждый следующий случай.
1.7
Советы для экзамена
- Используйте соотношения между корнями и коэффициентами (сумма, сумма пар, произведение) вместо решения многочлена.
- Для доказательства по индукции оформите базис, предположите результат для $n = k$, докажите для $n = k+1$ и напишите четкое заключительное утверждение.
- Чертите графики рациональных функций с их асимптотами и точками экстремума; используйте метод разностей для суммирования.
- Для матриц знайте определитель, обратную матрицу и инвариантные прямые, и интерпретируйте каждое преобразование геометрически.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.