Матрицы
| English | Русский |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | матричной |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | трансформация |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | единичная матрица |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | определитель |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | обратного |
| singular/ˈsɪŋɡjʊlə/ | вырожденный |
| invariant/ɪnˈveərɪənt/ | инвариантный |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | увеличение |
Математика, лежащая в основе компьютерной графики
- Каждый раз, когда вы вращаете изображение на телефоне, матричное умножение выполняет работу «под капотом».
- Матрицы — это язык преобразований; они описывают вращения, отражения, растяжения и проекции в одном компактном объекте.
Основы матриц
- Матрица — это прямоугольный блок чисел. Умножайте строку × столбец.
- Единичная матрица $I$ не изменяет матрицу: $AI = IA = A$.
Разобранное решение. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
Матрицы
(x', y') = M(x, y)
Матрица преобразует плоскость; её определитель является множителем масштаба площади (отрицательное значение означает отражение).
Умножьте [[1, 2], [3, 4]] на [[5], [6]]. Чему равен верхний элемент результата?
1(5) + 2(6) = 5 + 12 = 17.
Расставьте шаги нахождения обратной матрицы 2x2 [[a,b],[c,d]] по порядку.
Обратная матрица имеет вид (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — поменяйте диагональные элементы местами, измените знаки внедиагональных, разделите на det.
Определители и обратные матрицы
- Для $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: определитель равен $\det A = ad - bc$.
- Если $\det A \neq 0$ (нен вырожденная), обратная матрица равна $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Вырожденные матрицы не имеют обратной. Если $\det A = 0$, матрица является вырожденной — она сжимает плоскость в линию, теряя информацию, которую невозможно восстановить.
Чему равен определитель матрицы [[3, 1], [2, 4]] (ad − bc)?
det = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10.
Обратная матрица 2×2 существует тогда и только тогда, когда её определитель:
Нен вырожденная матрица (det ≠ 0) обратима; det = 0 означает вырожденность (обратной матрицы нет).
Для A = [[3, 1], [2, 4]] с det = 10, верхний левый элемент A⁻¹ равен d/det. Найдите его.
A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. Верхний левый элемент = 4/10 = 0.4.
Матрицы как преобразования
- Матрица $2\times2$ представляет преобразование плоскости; $\det A$ = масштабный коэффициент площади.
Матрица 2x2 отображает единичный квадрат в параллелограмм; её определитель является масштабным коэффициентом площади.
- Произведение $AB$ означает «сделать $B$, затем $A$». Точки/линии, которые не движутся, являются инвариантными.
Для матрицы преобразования определитель дает:
Определитель — это множитель, на который масштабировались площади при преобразовании.
Для матриц A и B произведение AB означает «сначала выполнить B, затем A».
Умножение матриц применяется справа налево: AB(x) = A(B(x)), значит B действует первым.
Распространенные преобразования
| Матрица | Преобразование |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | Отражение в оси $y$ |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | Вращение на $90°$ против часовой стрелки |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | Увеличение с коэффициентом $k$ |
- Знать сложение матриц, нулевую матрицу, единичную (или единственную) матрицу, а также инвариантные точки и инвариантные линии преобразования.
Вы поняли
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; обратима, если $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- матрица является преобразованием; $\det$ = масштабный коэффициент площади; $AB$ = «сделать $B$, затем $A$»