Полярные координаты
| English | Русский |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | декартов |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | полярные координаты |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | поворотная симметрия |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | кардиойда |
| sector/ˈsektə/ | сектора |
Система координат, упрощающая окружности
- Описание спирали или окружности в декартовых координатах требует громоздких уравнений. В полярных координатах окружность — это просто $r = \text{constant}$.
- Полярные координаты естественны для любых объектов с осевой симметрией — от орбит планет до радарных экранов.
Полярные координаты
- Полярные координаты задают точку расстоянием $r$ от начала координат и углом $\theta$.
- Связи с декартовыми:
Разобранное решение. Точка $(r, \theta) = (5, 60°)$ в декартовых координатах: $x = 5\cos 60° = 2.5$, $y = 5\sin 60° = 4.33$. Таким образом, точка находится в $(2.5, 4.33)$.
Полярные координаты $(r,\theta)$ преобразуются в декартовы с помощью $x=r\cos\theta$ и $y=r\sin\theta$
Лестница-спираль: спирали естественно описываются в полярных координатах (r, theta)
Полярные координаты
r = f(θ)
В полярной форме точка задается как (r, θ). Красивые кривые — розы, кардиоиды, спирали — получаются из уравнения r = f(θ).
В полярных координатах координата x определяется формулой:
x = r cos θ и y = r sin θ.
Преобразуйте (r, θ) = (5, 60°) в декартовы координаты. Чему равно x = r cos 60°?
x = 5 cos 60° = 5 × 0.5 = 2.5.
Для точки (3, 4) в декартовых координатах r² = x² + y². Найдите r².
r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Полярные кривые
- Распространенные полярные кривые:
r = 4cos θ — это окружность радиуса 2 с центром в (2, 0) — полярная форма делает её однострочным уравнением.
- $r = a$ — окружность радиуса $a$ с центром в начале координат.
- $r = a\cos\theta$ — окружность радиуса $\dfrac{a}{2}$ с центром в $\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$.
- $r = a(1 + \cos\theta)$ — кардиоида (форма сердца).
Полярная кривая r = 4cos θ представляет собой окружность. Каков её радиус?
Уравнение r = 4cos θ преобразуется в x² + y² = 4x, т.е. (x−2)² + y² = 4 — это окружность радиуса 2.
Полярная кривая r = a(1 + cos θ) называется:
Кривая r = a(1 + cos θ) образует кривую сердцевидной формы, называемую кардиоидой.
Полярная площадь
- Площадь сектора: $\text{area} = \tfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$.
Не забудьте про $\dfrac{1}{2}$. Формула полярной площади содержит множитель $\dfrac{1}{2}$, который легко упустить. Он возникает из площади тонкого треугольного сектора: $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$.
Кардиоида r = 1 + cos theta, кривая, построенная непосредственно в полярных координатах
Площадь полярного сектора равна ½∫r² dθ.
Это стандартная формула площади в полярных координатах.
Преобразование кривых
- Пример: $r = 4\cos\theta$ → умножение на $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$ → $x^2 + y^2 = 4x$ → $(x-2)^2 + y^2 = 4$, окружность радиуса $2$.
Вы поняли
- $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$
- Площадь полярного сектора $= \tfrac12\int r^2\,d\theta$
- $r = 4\cos\theta$ является окружностью радиуса 2 с центром в $(2, 0)$