Векторы (Further Pure 1)
| English | Русский |
|---|---|
| plane/pleɪn/ | плоскость |
| skew/skjuː/ | skew |
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | векторное произведение |
| normal vector/ˈnɔːml ˈvektə/ | нормальный вектор |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | перпендикулярны |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | параллелограмм |
| anti-commutative/ˈænti ˈkɒmjuːtətɪv/ | антикоммутативный |
Математика пространства 3D
- Как найти расстояние от точки до плоскости? Угол между двумя поверхностями? Кратчайший путь между скрещивающимися прямыми?
- Плоскости и векторное произведение дают инструменты для решения всех этих задач — они необходимы для инженерии, архитектуры и компьютерной графики.
Уравнения плоскостей
- Плоскость можно записать несколькими способами:
Нормальный вектор n перпендикулярен плоскости; форма скалярного произведения имеет вид n·r = d.
- Декартова: $ax + by + cz = d$
- Векторная: $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$ (где $\mathbf{n}$ — нормальный вектор)
- Параметрическая: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$
Разобраный пример. Плоскость имеет нормаль $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ и проходит через $(1, 0, 2)$. Уравнение: $2x - y + 3z = 2(1) - 0 + 3(2) = 8$.
Векторы
a · b = |a||b|cos θ
Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда два вектора перпендикулярны.
Скалярное и векторное произведения можно использовать для нахождения кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.
Эти произведения позволяют вычислять расстояния, углы и пересечения в 3D, включая расстояния между скрещивающимися прямыми.
Уравнение плоскости: 2x − y + 3z = 8. Нормальный вектор имеет компоненты (2, −1, ?). Найдите недостающую компоненту.
Коэффициенты при x, y, z в уравнении ax + by + cz = d дают нормальный вектор (a, b, c) = (2, −1, 3).
Векторное (крест-произведение) произведение
- Векторное произведение $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\,\hat{\mathbf{n}}$ дает вектор, перпендикулярный обоим.
- Его длина равна площади параллелограмма, натянутого на $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.
Порядок имеет значение. $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\mathbf{b}\times\mathbf{a}$. Векторное произведение антикоммутативно — изменение порядка меняет направление.
Такие силы, как ветер и вода, являются векторами, имеющими как величину, так и направление
Векторное произведение a × b дает вектор, который:
a × b перпендикулярен обоим векторам; его длина равна |a||b|sin θ.
Модуль |a × b| равен:
|a × b| = |a||b|sin θ, что равно площади параллелограмма.
Векторное произведение коммутативно: a × b = b × a.
Векторное произведение антикоммутативно: a × b = −(b × a). Смена порядка меняет направление на противоположное.
Если |a| = 3, |b| = 4, а угол между ними составляет 30°, то |a × b| = |a||b|sin θ. Найдите значение.
|a × b| = 3 × 4 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6.
Применение
- Со скалярным и векторным произведениями: расстояния, углы, места пересечения прямых и плоскостей, а также кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.
- Расстояние от точки до плоскости: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Векторное произведение перпендикулярно обоим векторам; его длина равна площади параллелограмма
Нахождение нормали
- Нормаль к плоскости, содержащей два вектора $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$, равна $\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$.
- Это самый быстрый способ найти декартово уравнение из параметрической формы.
Вы поняли
- плоскость: $ax + by + cz = d$ или $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$
- векторное произведение $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ перпендикулярно обоим; $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ = площадь параллелограмма
- используйте его для вычисления расстояний, углов, пересечений и расстояний между скрещивающимися прямыми