Корни полиномиальных уравнений
| English | Русский |
|---|---|
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | квадратичной |
| root/ruːt/ | корнем |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | коэффициент |
| cubic/ˈkjuːbɪk/ | кубический |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | замещение |
Секрет, скрытый в каждом уравнении
- Каждое квадратное уравнение скрывает два числа — его корни. Можно найти их сумму и произведение, вообще не решая уравнение.
- Эти связи между корнями и коэффициентами позволяют решать задачи, которые иначе потребовали бы громоздкой алгебры.
Корни квадратного уравнения
- Для $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $\alpha, \beta$:
Разбор примера. $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Сумма корней $= \dfrac{7}{2}$, произведение $= \dfrac{3}{2}$. Проверка: корни равны $3$ и $\dfrac{1}{2}$: сумма $= 3.5$ ✓, произведение $= 1.5$ ✓.
Корни квадратного уравнения и их связь с коэффициентами
Корни многочлена
y = ax³ + bx² + cx + d
Корни — это точки пересечения графика с осью x — их сумма и произведение связаны с коэффициентами.
Для x² − 5x + 6 = 0, чему равна сумма корней α + β = −b/a?
α + β = −b/a = −(−5)/1 = 5.
Для x² − 5x + 6 = 0, чему равно произведение αβ = c/a?
αβ = c/a = 6/1 = 6.
Корни кубического уравнения
- Для кубического уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $\alpha, \beta, \gamma$:
- $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$.
Следи за знаками. Сумма корней равна $-\dfrac{b}{a}$ (отрицательная), а произведение трех корней равно $-\dfrac{d}{a}$ (тоже отрицательное). Ошибка в знаках — самая частая ошибка.
Для x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, сумма корней Σα = −b/a. Найдите её.
Σα = −(−6)/1 = 6. (Корни: 1, 2, 3; сумма = 6.)
Для ax³ + bx² + cx + d = 0, произведение корней αβγ = d/a.
Произведение трех корней равно αβγ = −d/a (отрицательное), а не d/a.
Соотнесите каждую связь корней с её формулой (старший коэффициент a).
Квадратное: α+β = −b/a, αβ = c/a. Кубическое: Σα = −b/a, αβγ = −d/a (знак чередуется со степенью).
Преобразование корней
- Чтобы найти уравнение, корни которого изменились простым образом, используйте замену переменной (например, $w = \alpha + 1$).
- Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ($\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=6$) → корни $\alpha+1,\beta+1$ дают сумму $7$, произведение $12$, следовательно $x^2 - 7x + 12 = 0$.
При α + β = 5 и αβ = 6, чему равно произведение (α+1)(β+1)?
(α+1)(β+1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 5 + 1 = 12.
Разбор примера — нахождение $\alpha^2 + \beta^2$
- Дано $x^2 - 5x + 6 = 0$: $\alpha + \beta = 5$, $\alpha\beta = 6$.
- $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 12 = 13$.
- Выражения вида $\sum\alpha$ являются симметрическими функциями корней.
Для x² − 5x + 6 = 0, α² + β² = (α+β)² − 2αβ. Найдите значение.
(α+β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13.
Вы поняли
- квадратное: $\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$
- кубическое: $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$
- преобразуйте корни с помощью замены переменной