Рациональные функции и графики
| English | Русский |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | полиномом |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | вертикальной асимптотой |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | наклонная асимптота |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | знаменателе |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | рациональная функция |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | остаток |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | частное |
График, нарушающий правила
- Большинство функций, с которыми вы сталкивались, являются многочленами — гладкими, непрерывными, определенными везде. Но если разделить один многочлен на другой, получится нечто более сложное: вертикальные асимптоты, наклонные асимптоты и поведение, резко меняющееся около нулей знаменателя.
- Рациональные функции открывают путь к пониманию более сложных кривых.
Что такое рациональная функция?
- Рациональная функция — это дробь двух многочленов: $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
- Нули знаменателя дают вертикальные асимптоты (где функция стремится к $\pm\infty$).
Разбор примера. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}$. Вертикальная асимптота при $x = 2$. При делении получаем: $f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x-2}$. Наклонная асимптота имеет вид $y = x + 2$.
Рациональные функции
y = a/(x − b) + c
У рациональной функции есть асимптоты — линии, к которым график приближается, но никогда не касается.
Рациональная функция — это дробь двух многочленов.
Это определение — один многочлен над другим.
Наклонные (косые) асимптоты
- Когда степень числителя выше, чем степень знаменателя, график имеет наклонную (косую) асимптоту — найдите её с помощью деления многочленов столбиком.
- Член остатка исчезает при $x \to \infty$, оставляя частное в качестве асимптоты.
Кривая прижимается к вертикальной асимптоте x = 2 и наклонной асимптоте y = x + 2 далеко от начала координат.
Не забывайте об остатке. При делении функция равна частному плюс остаток, деленный на делитель. Асимптота — это просто частное; остаток показывает, с какой стороны асимптоты кривая к ней приближается.
У рациональной функции есть наклонная (косая) асимптота, когда степень числителя:
Когда степень числителя превышает степень знаменателя, деление оставляет наклонную прямую, к которой приближается график.
Наклонную асимптоту можно найти, выполнив:
Деление многочленов дает линейную часть, к которой график приближается далеко от начала координат.
Для f(x) = (x²−1)/(x−2), разделим, чтобы получить f(x) = x + 2 + 3/(x−2). Наклонная асимптота: y = x + ?
Частное равно x + 2, значит наклонная асимптота: y = x + 2.
Связанные графики
- Вы должны связать $y = f(x)$ со:
- $y^2 = f(x)$ — существует только там, где $f(x) \geq 0$, симметрично относительно оси $x$.
- $y = \dfrac{1}{f(x)}$ — нули становятся асимптотами, асимптоты становятся нулями.
- $y = |f(x)|$ — отражает отрицательные части вверх относительно оси $x$.
- $y = f(|x|)$ — отражает правую половину влево.
Для y = 1/f(x) нули f(x) становятся вертикальными асимптотами.
Там, где f(x) = 0, выражение 1/f(x) не определено — это дает вертикальную асимптоту.
График y = |f(x)| получается из y = f(x) путем:
Модуль отражает любую часть графика ниже оси x наверх.
Разобранное решение — построение графика $y = \dfrac{1}{f(x)}$
- Если $f(x) = x^2 - 4$ (нули в $\pm 2$, минимум в $(0, -4)$):
- $\dfrac{1}{f(x)}$ имеет вертикальные асимптоты в $x = \pm 2$.
- Минимум функции $f$ в точке $-4$ становится локальным максимумом функции $\dfrac{1}{f}$ в точке $-\dfrac{1}{4}$.
- Найдите область значений рациональной функции с помощью дискриминанта и её экстремумов.
Вы поняли
- Рациональная функция = многочлен ÷ многочлен
- степень числителя > степень знаменателя → наклонная асимптота (находится делением)
- выучите соответствующие графики: $y^2 = f$, $1/f$, $|f|$, $f(|x|)$