Суммирование рядов
| English | Русский |
|---|---|
| summation/sʌˈmeɪʃn/ | суммирование |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | метод разностей |
| telescope/ˈtelɪskəʊp/ | телескопическая сумма |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | стремиться к пределу (сходиться) |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | сумма бесконечного ряда |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | разложения на простейшие дроби |
Сумма, которую Гаусс решил в 10 лет
- Учитель юного Гаусса поставил перед классом задачу сложить $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$, рассчитывая на час работы. Гаусс мгновенно заметил закономерность: скомпируйте первое и последнее ($1 + 100 = 101$), второе и предпоследнее ($2 + 99 = 101$) и так далее — 50 пар по 101 = 5050.
- Формулы суммирования превращают длинные вычисления в простую алгебру.
Стандартные результаты суммирования
Разобранное решение. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.
Сложение от 1 до n путем складывания крайних членов: общая сумма равна n(n+1)/2
Суммирование рядов
Sₙ = Σ uₖ
Сложите члены по очереди — частичная сумма стремится к своему пределу.
Используя формулу Σr = ½n(n+1), чему равна сумма первых 5 целых чисел?
½ × 5 × 6 = 15 (= 1+2+3+4+5).
Используя формулу Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1), чему равна сумма первых 3 квадратов?
(1/6)(3)(4)(7) = 84/6 = 14 (= 1+4+9).
Используя формулу Σr³ = ¼n²(n+1)², чему равна сумма первых 3 кубов?
¼ × 9 × 16 = 36 (= 1+8+27). Примечание: 36 = 6² = (1+2+3)².
Дополните стандартный результат: Σr (от 1 до n) = ______ n(n+1).
Сумма первых n целых чисел равна ½n(n+1).
Разбиение сумм
- Разделите сумму на стандартные части:
- $\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.
$\sum r^3 = (\sum r)^2$. Это прекрасное тождество означает, что сумма кубов равна квадрату суммы первых $n$ целых чисел. Легко проверить: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.
Σ(2r+1) от r=1 до n = n(n+2). Для n=4 найдите сумму.
4 × 6 = 24. Проверка: 3+5+7+9 = 24.
Метод телескопических сумм
- Если каждый член равен $f(r) - f(r+1)$, почти всё сокращается (телескопирует).
- Из суммы до $n$ членов можно определить, сходится ли ряд, и найти его сумму бесконечно много членов.
В методе телескопирования, если каждый член имеет вид f(r) − f(r+1), большинство членов сокращаются.
Соседние члены сокращаются, остаются только первая и последняя части.
Σ 1/(r(r+1)) от r=1 до ∞ сворачивается в телескопическую сумму 1 − 1/(n+1). При n→∞, какова сумма до бесконечности?
При n→∞, 1/(n+1)→0, поэтому сумма стремится к 1.
Разобранное решение — метод телескопических сумм
- Найдите $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
- Дробь на дроби: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
- Телескопическая сумма: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
- При $n \to \infty$: сумма бесконечно много членов равна $= 1$.
- Ряд является сходящимся, когда его сумма до $n$ членов стремится к пределу.
Вы поняли
- $\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
- разбивайте суммы на стандартные части
- метод телескопических сумм телескопирует $f(r) - f(r+1)$