Cinemática

Em 1999, a NASA perdeu o Mars Climate Orbiter, uma espaçonave de custo 125 milhões de dólares, porque uma equipe forneceu dados de propulsor em pound-seconds e outra os interpretou como newton-seconds. A trajetória calculada da sonda estava errada em aproximadamente 170 km, e ela se queimou na atmosfera marciana. Cinemática – a descrição cuidadosa de onde algo está e como isso muda – parece simples, mas todas as unidades posteriores deste curso baseiam-se em fazê-la corretamente: as grandezas certas, as direções certas e as unidades certas.

Cinemática descreve o movimento sem perguntar o que o causa. Dois tipos de grandeza:

• Uma escalar possui apenas tamanho (magnitude): distância, rapidez, massa, tempo, energia.
• Um vetor possui magnitude e direção: posição, deslocamento, velocidade, aceleração, força.

Um vetor é desenhado como uma seta cuja comprimento é proporcional à sua magnitude. Em uma dimensão, a direção é apenas um sinal: escolha uma direção positiva, e qualquer coisa apontando para o outro sentido é negativa. Assim, uma velocidade de $-3\ \text{m/s}$ significa 3 m/s no sentido negativo – não "rapidez menor que zero".

Neste curso baseado em cálculo, você resolve vetores em componentes e os soma componente por componente. Física C escreve vetores com vetores unitários $\hat{i}$, $\hat{j}$ e $\hat{k}$, que possuem comprimento um e apontam ao longo de $x$, $y$ e $z$:

Um vetor resultante é a soma das componentes: $\vec{C}=\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x)\hat{i}+(A_y+B_y)\hat{j}$. Um vetor também pode ser dado como magnitude e direção; converta usando $A_x=A\cos\theta$, $A_y=A\sin\theta$ e $\tan\theta=A_y/A_x$. O vetor posição de um ponto é $\vec{r}$, e $\hat{r}$ é o vetor unitário apontando na mesma direção.

Exemplo resolvido (adição de vetores). Vetor de $\vec{A}=3\hat{i}+4\hat{j}$ m e $\vec{B}=6\ \text{m}$ orientado $30^\circ$ abaixo do eixo $+x$. Encontre $\vec{A}+\vec{B}$. $\vec{B}=6\cos30^\circ\,\hat{i}-6\sin30^\circ\,\hat{j}=5.2\hat{i}-3.0\hat{j}$ m. $\vec{C}=(3+5.2)\hat{i}+(4-3.0)\hat{j}=8.2\hat{i}+1.0\hat{j}$ m. Vetor de $|\vec{C}|=\sqrt{8.2^2+1.0^2}=8.3$ m a $\tan^{-1}(1.0/8.2)=7^\circ$ acima de $+x$. Somar as magnitudes ($5+6=11$ m) seria incorreto.

No modelo de partícula, ignoramos o tamanho, forma e partes internas de um objeto e o tratamos como um único ponto que carrega sua massa (e carga). Um carro, um planeta ou uma bola podem todos ser objetos quando apenas seu movimento global importa.

Deslocamento é a mudança de posição, $\Delta x=x-x_0$. Depende apenas dos pontos inicial e final: corra uma volta completa em uma pista de 400 m e sua distância percorrida será 400 m, mas seu deslocamento será zero.

Valores ** médios** usam apenas o início e o fim de um intervalo de tempo:

Um objeto está acelerando sempre que sua velocidade muda em magnitude, direção ou ambas – um carro fazendo uma curva a uma rapidez constante de 50 km/h está acelerando.

Conforme o intervalo de tempo diminui em direção a zero, o valor médio aproxima-se do valor em um instante. Portanto, a velocidade instantânea e a aceleração são derivadas:

Invertendo isso, integre para recuperar a velocidade e a posição:

Assim, a velocidade média é $\Delta x/\Delta t$ sobre um intervalo, enquanto a velocidade instantânea é a derivada em um momento – a inclinação da reta tangente num gráfico $x$–$t$, e o que um velocímetro mostra (como magnitude).

Exemplo resolvido (diferenciação). Uma partícula move-se com $x(t)=2t^3-3t^2$ (metros). Diferencie para obter velocidade e aceleração:

Em $t=2\ \text{s}$, $v=24-12=12\ \text{m/s}$ e $a=24-6=18\ \text{m/s}^2$. A partícula encontra-se momentaneamente em repouso quando $v=0$: $6t(t-1)=0$, logo em $t=0$ e $t=1$ s. Entre eles $v<0$, então ela move-se para trás. Sua velocidade média de $t=0$ a $t=2$ s é $\dfrac{x(2)-x(0)}{2}=\dfrac{4-0}{2}=2\ \text{m/s}$ – muito diferente da velocidade instantânea de 12 m/s no final. Essa ligação com cálculo – não apenas as fórmulas de constante-$a$ – é o que distingue a Física C.

Exemplo resolvido (integração). Uma partícula parte do repouso na origem com $a(t)=6t$. Integre: $v=\int_0^t 6t\,dt=3t^2$ e $x=\int_0^t 3t^2\,dt=t^3$. Em $t=2\ \text{s}$, $v=12\ \text{m/s}$ e $x=8\ \text{m}$. Se, em vez disso, tivesse começado em $x_0=5$ m com $v_0=-4$ m/s, então $v=3t^2-4$ e $x=5-4t+t^3$: as condições iniciais são as constantes de integração.

O movimento pode ser representado por diagramas, gráficos, equações, tabelas e palavras; questões de resposta discursiva exigem a transição entre essas formas.

• Em um gráfico posição–tempo, a inclinação da tangente ($dx/dt$) é a velocidade instantânea.
• Em um gráfico velocidade–tempo, a inclinação é a aceleração e a área sob a curva é o deslocamento: $\Delta x=\int_{t_1}^{t_2}v\,dt$. Área abaixo do eixo temporal conta como deslocamento negativo.
• Em um gráfico aceleração–tempo, a área representa a variação de velocidade: $\Delta v=\int_{t_1}^{t_2}a\,dt$.

Inclinações são derivadas; áreas são integrais – as duas são operações inversas aqui.

Para aceleração constante, integrar $a$ duas vezes resulta nas três equações cinemáticas, que são válidas em qualquer direção única:

Escolha a equação que exclui a grandeza que você não conhece nem precisa. Use-as apenas quando $a$ for constante; se $a$ depende do tempo, integre.

O caso mais importante de constante-$a$ é a queda livre: perto da superfície terrestre, todos os objetos, pesados ou leves, aceleram para baixo a $g$ quando a resistência do ar é desprezível. No exame AP use $g\approx10\ \text{m/s}^2$ sempre que um número for necessário (9.8 também é aceito).

Exemplo resolvido (área sob um gráfico). Um carrinho parte do repouso. Sua aceleração é $a=2.0\ \text{m/s}^2$ durante 4.0 s, depois $a=-1.0\ \text{m/s}^2$ durante 6.0 s. Área sob o gráfico $a$–$t$: $\Delta v=2.0(4.0)+(-1.0)(6.0)=8.0-6.0=2.0$ m/s, logo a velocidade final é 2.0 m/s. Para o deslocamento, use o gráfico $v$–$t$: $v$ sobe de 0 para 8.0 m/s, depois desce para 2.0 m/s. Área $=\tfrac12(4.0)(8.0)+\tfrac12(8.0+2.0)(6.0)=16+30=46$ m.

Exemplo resolvido (queda livre). Uma pedra é lançada verticalmente para cima a 15 m/s desde a borda de um penhasco de 20 m de altura e pousa na base. Considere a direção para cima como positiva, $a=-10\ \text{m/s}^2$, e $\Delta y=-20$ m.

logo $t=4.0$ s (a raiz negativa não tem sentido físico). Velocidade ao tocar o solo: $v^2=15^2+2(-10)(-20)=625$, resultando em $v=-25$ m/s – 25 m/s para baixo.

Exemplo resolvido (quando $a$ não é constante). Alunos soltam um filtro de café e ajustam sua velocidade a $v=A\left(1-e^{-Bt}\right)$, com $A=2.0$ m/s e $B=5.0\ \text{s}^{-1}$.

1. Aceleração: $a=\dfrac{dv}{dt}=ABe^{-Bt}$. Em $t=0$, $a=AB=10\ \text{m/s}^2$: no início está em queda livre. Em $t=0.20$ s, $a=10e^{-1}\approx3.7\ \text{m/s}^2$.
2. À medida que $t\to\infty$, $e^{-Bt}\to0$, resultando em $v\to A=2.0$ m/s: $A$ é a velocidade terminal, e a aceleração diminui até zero.
3. Posição (começando em $x=0$): $x=\displaystyle\int_0^t A\left(1-e^{-Bt'}\right)dt'=At-\dfrac{A}{B}\left(1-e^{-Bt}\right)$.

As equações da cinemática dariam respostas erradas aqui, porque $a$ varia. Se você tiver apenas um gráfico $v$–$t$, encontre $a$ em um instante traçando a tangente nesse ponto e calculando sua inclinação, usando dois pontos distantes entre si na reta tangente.

Medir $g$ com um gráfico linear. Uma bola é solta do repouso de várias alturas $h$, e o tempo de queda $t$ é medido. Como $h=\tfrac12gt^2$, um gráfico de $h$ contra $t^2$ é uma reta pela origem com inclinação $\tfrac12g$.

1. Plote $h$ (vertical) contra $t^2$ (horizontal) e trace a melhor linha de ajuste. Não una os pontos.
2. Inclinação de dois pontos na linha, distantes entre si: $\dfrac{1.60-0.40}{0.326-0.082}\approx4.92\ \text{m/s}^2$.
3. $g=2\times\text{slope}\approx9.84\ \text{m/s}^2$.
4. Erro percentual $=\dfrac{|\text{experimental}-\text{accepted}|}{\text{accepted}}\times100=\dfrac{|9.84-9.81|}{9.81}\times100\approx0.3\%$.

Escolha os eixos para que a relação esperada se torne $y=mx$ (ou $y=mx+c$); depois indique qual quantidade física a inclinação representa. Para reduzir a incerteza, tire várias leituras em cada altura e faça a média, usando uma faixa ampla de alturas.

Todo movimento é medido em relação a um sistema de referência – um ponto de vista com sua própria origem e eixos. O sistema escolhido determina a direção e a magnitude das velocidades medidas: um passageiro caminhando à frente a 1 m/s em um trem movendo-se a 30 m/s move-se a 31 m/s em relação ao solo.

Medições em um sistema são convertidas para outro por adição vetorial ou subtração:

Leia os subscritos como uma cadeia: "A relativo a B" mais "B relativo a C" resulta em "A relativo a C". Além disso, $\vec{v}_{B/A}=-\vec{v}_{A/B}$. Isso resolve problemas de barcos cruzando rios, aviões no vento e passageiros em veículos em movimento – problemas de movimento relativo.

Um sistema de referência inercial é aquele que não está acelerando. Observadores em diferentes sistemas inerciais medem velocidades diferentes, mas a mesma aceleração para um objeto, pois a velocidade constante do sistema desaparece ao derivar. A menos que seja dito o contrário, assuma que seu sistema é inercial.

Exemplo resolvido (navegando perpendicularmente). Um barco move-se a $5.0\ \text{m/s}$ em relação à água. O rio flui a $3.0\ \text{m/s}$ e tem 80 m de largura. O piloto deseja pousar diretamente na margem oposta. O barco deve apontar parcialmente contra a corrente para que a componente contrariante cancele o fluxo: $5.0\sin\theta=3.0$, logo $\theta=37^\circ$ acima da perpendicular exata. Sua velocidade transversal é $5.0\cos37^\circ=4.0$ m/s, e a travessia leva $\dfrac{80}{4.0}=20$ s. Se, em vez disso, apontasse diretamente para o outro lado, cruzaria em $\dfrac{80}{5.0}=16$ s, mas aterrissaria $3.0\times16=48$ m rio abaixo.

Em duas ou três dimensões, a posição é um vetor $\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}$, e a velocidade e a aceleração são suas derivadas sucessivas. O movimento é analisado dividindo-o em componentes e tratando cada um com cinemática unidimensional independentemente:

• a velocidade e a aceleração podem ser diferentes em cada direção e não precisam ser constantes;
• uma mudança em uma direção não altera o movimento em uma direção perpendicular — uma bala deixada cair e uma bala disparada horizontalmente da mesma altura atingem o solo ao mesmo tempo.

Exemplo resolvido (cálculo em 2D). $\vec{r}(t)=\big(2t^2\big)\hat{i}+\big(4t-t^3\big)\hat{j}$ (metros). Derivando cada componente: $\vec{v}=4t\,\hat{i}+(4-3t^2)\,\hat{j}$ e $\vec{a}=4\,\hat{i}-6t\,\hat{j}$. Em $t=1\ \text{s}$: $\vec{v}=4\hat{i}+1\hat{j}$, logo a rapidez é $\sqrt{17}\approx4.1\ \text{m/s}$ — nenhuma física nova, apenas uma derivada por componente.

Para movimento de projétil ideal sob gravidade uniforme com resistência do ar desprezada, a aceleração é zero horizontalmente e constante verticalmente: $a_x=0$ (velocidade horizontal constante) e $a_y=-g$. Os dois movimentos estão ligados apenas pelo tempo $t$, e a trajetória é uma parábola.

Exemplo resolvido (lançamento em solo nivelado). Uma bola é lançada a $20\ \text{m/s}$, $30^{\circ}$ acima da horizontal ($g=10\ \text{m/s}^2$). As componentes são $v_{0x}=20\cos30^{\circ}=17.3\ \text{m/s}$ e $v_{0y}=20\sin30^{\circ}=10\ \text{m/s}$. O movimento vertical determina o tempo: voo total $=\dfrac{2v_{0y}}{g}=\dfrac{20}{10}=2.0\ \text{s}$, altura máxima $=\dfrac{v_{0y}^2}{2g}=5.0\ \text{m}$ e alcance $=v_{0x}\times2.0=35\ \text{m}$.

Exemplo resolvido (lançamento de altura). Uma bola rola de uma mesa 1.25 m de altura a 3.0 m/s. A que distância da mesa ela aterrissa e com que velocidade está se movendo? Vertical: $1.25=\tfrac12(10)t^2$, logo $t=0.50$ s. Horizontal: $x=3.0\times0.50=1.5$ m. No momento da chegada, $v_x=3.0$ m/s e $v_y=-10\times0.50=-5.0$ m/s, portanto $v=\sqrt{3.0^2+5.0^2}=5.8$ m/s a $\tan^{-1}(5.0/3.0)=59^\circ$ abaixo da horizontal.

Responda antes de ler as respostas abaixo.

1. Uma partícula se move com $x(t) = 2t^3 - 6t^2 + 4$ (m, s). Determine $v(t)$ e $a(t)$, os instantes em que ela está em repouso e sua aceleração no mais tardio desses instantes.
2. Uma partícula tem $a(t) = 6t$ m/s², $v(0) = 2$ m/s e $x(0) = 0$. Determine $v$ e $x$ em $t = 2$ s.
3. Uma bola é lançada horizontalmente a $15$ m/s de um penhasco de $20$ m de altura. Determine o tempo de voo e a distância horizontal.
4. Um barco segue diretamente para o norte a $4$ m/s em relação à água, atravessando um rio de $80$ m de largura que corre para leste a $3$ m/s. Determine sua velocidade em relação ao solo, o tempo de travessia e a distância rio abaixo em que ele chega à margem.
5. A velocidade de um carrinho aumenta uniformemente de $0$ para $10$ m/s em $5$ s e depois permanece constante por $5$ s. Determine seu deslocamento.

1. $v = 6t^2 - 12t$, $a = 12t - 12$. Em repouso quando $6t(t - 2) = 0$: $t = 0$ e $t = 2$ s. $a(2) = 12$ m/s².
2. $v = 3t^2 + 2$, portanto $v(2) = 14$ m/s. $x = t^3 + 2t$, portanto $x(2) = 12$ m.
3. $t = \sqrt{2(20)/9.8} = 2.02$ s; $x = 15 \times 2.02 = 30.3$ m.
4. $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ m/s; $t = 80 \div 4 = 20$ s; desvio de $= 3 \times 20 = 60$ m.
5. Área sob o gráfico $v$-$t$: $\tfrac12(5)(10) + 5(10) = 75$ m.

• Resolva todo vetor em componentes antes de somar — nunca some magnitudes em um ângulo diretamente.
• No Physics C espera-se que use cálculo: a velocidade é $\vec v=\tfrac{d\vec r}{dt}$ e a aceleração $\vec a=\tfrac{d\vec v}{dt}$; inverta com integração e inclua as condições iniciais.
• Use $g\approx10\ \text{m/s}^2$ a menos que seja dito o contrário.
• Verifique as unidades e trate a direção com sinais (escolha um eixo positivo e mantenha-o).
• Leia gráficos nas duas direções: a inclinação fornece a próxima derivada, a área fornece a variação na quantidade anterior.
• Em problemas de movimento relativo, escreva a cadeia de subscritos $\vec v_{A/C}=\vec v_{A/B}+\vec v_{B/C}$ antes de substituir.
• Use o produto escalar para quantidades tipo trabalho e o produto vetorial para torque e momento angular (unidades posteriores).
• Esboce os vetores — um diagrama captura erros de sinal e direção que a álgebra esconde.

Erros comuns

• Esquecer a constante de integração. $v(t) = v_0 + \int_0^t a(t\prime)\,dt\prime$ e $x(t) = x_0 + \int_0^t v(t\prime)\,dt\prime$: as condições iniciais pertencem à resposta.
• Calcular a velocidade média a partir da distância total. A velocidade média é deslocamento sobre tempo; a distância fornece a velocidade média.
• Dizer que um projétil tem velocidade zero no topo. Apenas $v_y$ é zero; $v_x$ permanece inalterado durante todo o trajeto.
• Usar as equações de aceleração constante quando $a$ depende do tempo. Derive ou integre em vez disso.
• Somar velocidades relativas como números. $\vec v_{A/G} = \vec v_{A/B} + \vec v_{B/G}$ é uma soma vetorial; desenhe o triângulo.
• Pensar que velocidade zero significa aceleração zero. No topo de um lançamento vertical $v=0$, mas $a=-g$.