파동

파동은 물질의 전체적인 이동을 동반하지 않고 에너지를 한 곳에서 다른 곳으로 전달합니다. 매질의 입자들은 고정된 평형 위치 주위를 진동하며, 오직 교란(그리고 해당 에너지)만 전파됩니다. 예: 로프 위의 횡파, 슬리키 스프링 위의 종파, 물결, 그리고 공기 중의 소리. 이동하면서 에너지를 전달하는 파동을 진행파라고 합니다.

파동 운동은 매질의 입자들이 일련의 진동을 하며 각 입자가 교란을 다음 입자에게 전달하는 과정입니다. 로프의 한쪽 끝을 흔들거나, 스프링의 한쪽 끝을 밀거나, 파동조의 물 표면을 만지면 진동이 시작된 지점으로부터 멀어져 전파됩니다. 1점 정의용으로는, 진행파는 물질을 전달하지 않고 에너지만을 한 곳에서 다른 곳으로 전달하며, 입자들은 오직 평형 위치 주위를 진동합니다.

주요 용어

• 변위(displacement) $y$ — 한 순간에 입자가 평형 위치에서 이동한 거리. 벡터입니다.
• 진폭 $A$ — 평형 위치로부터의 최대 변위.
• 파장 $\lambda$ — 두 점이 동위상으로 움직이는(예: 인접한 마루) 파면 상에서 가장 짧은 거리.
• 주기 $T$ — 입자가 한 번 완전 진동을 하는 데 걸리는 시간.
• 주파수 $f$ — 초당 완전 진동의 횟수; $f = 1/T$. 단위: 헤르츠, $\text{Hz}$.
• 파속 $v$ — 마루가 매질을 따라 이동하는 속도.
• phase difference — the fraction of a cycle by which one oscillation leads or lags another. Given in radians (a full cycle is $2\pi$) or degrees (a full cycle is $360°$).

두 점 간 거리가 파장 하나인 경우 동위상(위상차 0 또는 $2\pi$). 두 점 간 거리가 파장의 절반인 경우 정반위상(위상차 $\pi$).

To find the phase difference between two points from a displacement–distance graph, divide their separation by the wavelength and multiply by $360°$ (or $2\pi$): two points $0.50\ \text{m}$ apart on a wave of wavelength $2.0\ \text{m}$ ($v = 600\ \text{m s}^{-1}$, $f = 300\ \text{Hz}$) differ in phase by $0.25 \times 360° = 90°$. Only the fraction of a cycle matters, so $450°$ is the same as $90°$. From two displacement–time graphs, read the time shift between the peaks as a fraction of the period. Which way is a point moving at the instant a graph shows? The whole profile moves along, so each point takes up the displacement that its neighbour on the side the wave comes from has now; a point at a crest or a trough is momentarily at rest.

Worked example. Points R and T on a string are $0.62\ \text{cm}$ apart and a quarter of a cycle out of phase. The wave speed is $0.27\ \text{m s}^{-1}$. Find the frequency.

A quarter of a cycle is a quarter of a wavelength, so $\lambda = 4 \times 0.62 = 2.5\ \text{cm}$ and $f = v / \lambda = 0.27 / 0.025 = 11\ \text{Hz}$.

파 방정식

한 주기 $T$ 동안 파는 파장 $\lambda$만큼 앞으로 이동합니다. 따라서 속도 $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$:

이 식은 속도, 주파수, 파장의 정의에서 바로 유도되며 모든 전진파에 적용됩니다. 2점 문제의 유도 과정은 두 단계를 모두 적어야 합니다: 한 주기 $T$ 동안 파는 파장 $\lambda$만큼 이동하므로, $v = \lambda / T$; 그리고 $f = 1/T$이므로, $v = f\lambda$입니다. 매질에 의해 $v$가 고정되므로 주파수가 높으면 파장은 짧아집니다. 주기 관련 문제는 같은 식을 역으로 적용한 것입니다: 파장 $460\ \text{nm}$인 빛은 $f = c / \lambda = 6.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$를 가지며, $T = 1/f = 1.5 \times 10^{-15}\ \text{s}$입니다.

CRO 트레이스 읽기

크로트 레이 오실로스코프(CRO)는 시간에 따른 전압 신호—소리의 경우 마이크 출력—to 그립니다. 두 조절 장치가 중요합니다:

• 타임 베이스( 가로 축 당 세그먼트당 초): 화면상의 수평 거리를 시간으로 변환합니다. 주기 $T$을 인접한 두 마루 사이의 거리로 읽은 후, $f = 1/T$을 계산합니다.
• y-게인( 세그먼트당 볼트): 수직 거리를 전압으로 변환합니다. 볼트 단위의 진폭은 중심선으로부터 피크까지의 높이입니다.

타임 베이스가 $5\ \text{ms}/\text{div}$이고 완전한 주기가 $4$개의 세그먼트를 차지한다면, $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$이며 $f = 50\ \text{Hz}$입니다.

The time-base is the time represented by one division (or one centimetre) across the screen, in $\text{s}\ \text{div}^{-1}$. To set it for a given signal, work backwards: a $2000\ \text{Hz}$ sound has $T = 0.50\ \text{ms}$, so for one cycle to span $2.5\ \text{cm}$ the time-base must be $0.50 / 2.5 = 0.20\ \text{ms cm}^{-1}$. For the amplitude, multiply the peak height in divisions by the y-gain: $2.0$ divisions at $3.5\ \text{mV cm}^{-1}$ is $7.0\ \text{mV}$. When the intensity of the sound is reduced to a quarter at the same frequency, the trace keeps its period and its peaks halve in height, because $I \propto A^{2}$.

*격자와 타임 베이스를 사용하여 CRO 트레이스에서 주기 T 읽기

*실제 오실로스코프: 격자를 통해 주기와 진폭을 읽을 수 있음

파의 강도

파는 에너지를 운반합니다. 강도는 진행 방향에 수직인 단위 면적을 통과하는 파워입니다:

단위: $\text{W m}^{-2}$.

강도는 진폭의 제곱에 비례합니다:

점원이 모든 방향으로 균등하게 에너지를 방출할 때, 파면은 구면을 이룹니다. 거리 $r$에서의 표면적은 $4\pi r^{2}$이므로,

Doubling the distance cuts the intensity to a quarter, which means the amplitude is halved (since $I \propto A^{2}$).

worked example. 램프가 모든 방향으로 균등하게 $60\ \text{W}$의 빛을 방출합니다. 거리 $2.0\ \text{m}$에서의 빛의 강도를 구하세요.

worked example. 파워 $750\ \text{W}$의 빛이 변장 $1.2\ \text{m}$인 정사각형 태양광 패널에 수직으로 입사합니다. 강도를 구하세요.

$I = P/A = 750 / 1.2^{2} = 520\ \text{W m}^{-2}$. 더 작은 패널은 동일한 빛 속에서 같은 강도를 받지만 면적에 비례하여 적은 파워를 받습니다. 반대로 지름 $r$인 확대경은 파워 $I \times \pi r^{2}$을 모아 작은 점에 집중시킵니다.

Two rules the multiple-choice questions turn on. Because $I \propto A^{2}$, the ratio of two intensities is the square of the ratio of the amplitudes: waves of amplitude $3.0\ \text{cm}$ and $2.0\ \text{cm}$ have intensities in the ratio $2.25$, and when an amplitude falls to a half the intensity falls to a quarter. For a point source, $I \propto 1/r^{2}$ means $A \propto 1/r$, so a sketch of $A/A_{0}$ against $d/x_{0}$ is a curve falling as $1/d$, not a straight line. The one-line statement the scheme wants: intensity is proportional to the amplitude squared.

횡파

입자가 에너지 이동 방향과 수직으로 진동합니다. 로프 위의 파동, 모든 전자기파, 그리고 지구의 S-파는 횡파입니다.

종파

입자가 에너지 이동 방향과 평행으로 진동합니다. 어떤 매질에서의 소리, 지구의 P-파, 그리고 슬링키의 압축부는 종파입니다. 이 파동은 압축부(압력이 높고 입자가 서로 가까운 부분)와 희박부(압력이 낮고 입자가 퍼져 있는 부분)로 이루어져 있습니다.

파동의 그래프

어느 순간의 입자 변위 대 위치 그래프는 두 파동 모두에서 사인 곡선 형태를 띱니다. 차이점은 다음과 같습니다: 횡파의 경우 변위 축은 실제 수직 변위를 나타내며, 종파의 경우 이는 이동 방향을 따라 좌우로 작은 변위(한쪽은 양수, 다른 쪽은 음수)를 나타냅니다.

종파의 경우 오른쪽 변위를 양수로 잡습니다. 그래프가 양수에서 음수로 영점을 지날 때, 그 점 양측의 입자들이 그 점 방향으로 이동했으므로 압축부이며, 음수에서 양수로 영점을 지날 때는 입자들이 서로 멀어졌으므로 희박부입니다. 두 인접한 압축부 사이의 거리는 한 파장이고, 압축부와 다음 희박부 사이의 거리는 반 파장입니다. 입자의 운동 방향은 횡파와 동일한 규칙을 따릅니다: 입자는 파동이 들어오는 쪽의 인접 입자의 변위 방향으로 움직입니다.

공간의 한 지점에서의 입자 변위 대 시간 그래프 역시 두 파동 모두에서 사인 곡선 형태를 띱니다. 이 그래프에서 주기 $T$을 읽으십시오.

에너지 전달 방향을 고려한 2점 비교: 횡파에서는 진동이 에너지 전달 방향과 수직이며, 종파에서는 평행합니다. 두 파동 모두 물질을 전달하지 않고 에너지만을 전달하며, 반사, 굴절, 회절을 할 수 있고, 정지파를 형성할 수 있습니다(주제 8). 편광될 수 있는 것은 횡파뿐이며, 진공 속을 진행할 수 있는 것은 모든 횡파인 전자기파 뿐이며, 소리는 매질이 필요합니다. 두 그래프를 함께 읽기: 변위-거리 그래프는 $\lambda$을, 변위-시간 그래프는 $T$과 $v = \lambda / T$를 제공합니다.

원천(source) 의 소리가 정지한 observer에 대해 상대적으로 움직일 때, 들리는 주파수는 원천의 주파수와 다릅니다. 이것이 바로 도플러 효과입니다.

• 원천이 관측자에게 다가올 때: 원천 앞쪽의 파면이 밀집되어 파장이 짧아지고, 들리는 주파수가 더 높아집니다.
• 원천이 관측자로부터 멀어질 때: 원천 뒤쪽의 파면이 퍼져 파장이 길어지고, 들리는 주파수가 더 낮아집니다.

공식 (원천이 속도 $v_{\text{s}}$로 관측자를 향하는 선상에서 움직일 때; 파동 속도 $v$, 원천의 주파수 $f_{\text{s}}$, 들리는 주파수 $f_{\text{o}}$):

물리학적 의미를 맞추기 위해 부호를 선하십시오:

• 원천이 관측자에게 다가갈 때 분모에 마이너스 부호를 사용함 ($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
• 원천이 멀어질 때 플러스 부호를 사용함 ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$).

정지한 관측자의 경우만 알면 됩니다.

해설 예제. $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$에 있는 자동차 경적음이 정지한 청취자 쪽으로 $30\ \text{m s}^{-1}$의 속도로 이동한다. 음속 $v = 340\ \text{m s}^{-1}$:

같은 속도로 멀어질 때, 청취자는 $340 \times 800 / (340 + 30) = 735\ \text{Hz}$을 듣습니다: 주파수는 차가 접근할 때는 일정하고, 지나갈 때는 떨어지며, 멀어질 때는 다시 일정해지지만 낮아집니다. 일정한 속도로 지나가는 파동원에 대한 시간별 관측 주파수의 개략도는 두 수평선 사이에 하강 구간이 연결된 형태입니다. 역산해 보면, $1200\ \text{Hz}$으로 들리는 소리가 $960\ \text{Hz}$인 경우 파동원은 멀어지고 있습니다($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$): $960 = 1200 \times 340 / (340 + v_{\text{s}})$에서 $v_{\text{s}} = 85\ \text{m s}^{-1}$을 구할 수 있습니다. $25\ \text{m s}^{-1}$의 속도로 수평 원운동을 하며 $846\ \text{Hz}$의 주파수를 내는 부저를 들으면, 한 회전당 각 한 번씩 직선으로 멀어지는 방향($846 \times 330 / 355 = 786\ \text{Hz}$)과 직선으로 다가오는 방향($846 \times 330 / 305 = 915\ \text{Hz}$) 사이에서 소리를 들을 수 있습니다. CRO 트레이스의 주기가 지속적으로 길어지면, 관측되는 주파수가 감소하고 있음을 의미합니다: 이는 파동원이 가속하며 멀어지고 있다는 것입니다. 도플러 효과는 빛을 포함한 모든 파동에 적용됩니다(주제 25); 여기서는 음파 공식만 다룹니다.

모든 전자기파(EM 파)는 횡파이며 진공 내에서 동일한 속도로 진행합니다:

전자기 스펙트럼에는 라디오 파, 마이크로파, 적외선, 가시광선, 자외선, X선 X 및 $\gamma$-선 γ가 포함된다.

진공에서의 대략적인 파장 범위 (크기 순위를 기억하세요):

• 라디오파: $> 10^{-1}\ \text{m}$ (수 km 이상).
• 마이크로파: $10^{-3}\ \text{m}$부터 $10^{-1}\ \text{m}$까지.
• 적외선: $\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$부터 $10^{-3}\ \text{m}$까지.
• 가시광선: $400\ \text{nm}$(보라색)부터 $700\ \text{nm}$(빨간색)까지, 즉 $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$부터 $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$까지.
• 자외선: $\sim 10^{-8}\ \text{m}$부터 $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$까지.
• X선: $\sim 10^{-11}\ \text{m}$부터 $10^{-8}\ \text{m}$까지.
• $\gamma$-선: $< 10^{-11}\ \text{m}$.

영역 간의 경계는 명확하지 않습니다. $c = f\lambda$을 사용하여 파장과 주파수 사이를 변환할 수 있습니다. 파장이 $400$–$700\ \text{nm}$인 빛만 볼 수 있습니다.

영역을 식별하려면 $\lambda = c / f$을 이용해 파장으로 변환하여 범위와 비교하십시오: $2.1\ \text{cm}$은 마이크로파입니다; $138\ \text{pm} = 1.4 \times 10^{-10}\ \text{m}$은 X선입니다; $30\ \text{THz}$을 계산하면 $\lambda = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}$, 적외선이 됩니다; $3.0 \times 10^{16}\ \text{Hz}$을 계산하면 $1.0 \times 10^{-8}\ \text{m}$, 자외선이 됩니다. 가시광선은 약 $4.3 \times 10^{14}$부터 $7.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$까지의 주파수 범위를 가지므로, $5.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$의 파장은 보일 수 있지만 파장이 $5.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$(적외선)인 파장은 볼 수 없습니다. 빨간 빛은 초록빛보다 파장이 길고 주파수가 낮습니다. '파장이 증가하는 순서' 나열은 $\gamma$-선, X선, 자외선, 가시광선, 적외선, 마이크로파, 라디오파입니다. $150\ \text{m}$ 떨어진 벽에서 반사된 빛의 펄스는 $2 \times 150 / (3.00 \times 10^{8}) = 1.0\ \mu\text{s}$ 후에 돌아옵니다.

편광이란 횡파가 오직 한 평면에서만 진동하도록 만드는 것입니다.

• 횡파만이 편광될 수 있습니다—진동 방향이 진행 방향과 수직이므로 서로 다른 수직 평면들이 선택의 대상이 될 수 있습니다.
• 종파(음파)는 편광될 수 없습니다—진동 방향이 진행 방향과 일치하므로 다른 평면이 존재하지 않습니다.

따라서 편광은 횡파임을 검증하는 기준이 됩니다: 어떤 파가 편광될 수 있다면 그것은 반드시 횡파여야 합니다.

말루스의 법칙

세기를 $I_{0}$인 평면편광 빛이 편광필터를 통과하는데, 이 필터의 투과축이 편광 평면과 $\theta$각도를 이루고 있습니다. 투과된 세기는 말루스의 법칙으로 주어집니다:

• $\theta = 0°$: 필터가 편광 방향과 일치할 때, $I = I_{0}$, 모든 빛이 통과함.
• $\theta = 90°$: 필터가 수직일 때, $I = 0$, 모든 빛이 차단됨.
• $\theta = 60°$: $I = I_{0} \cos^{2} 60° = I_{0} \cdot 0.25 = I_{0}/4$.

풀이 예제. 세기가 $12\ \text{W m}^{-2}$인 평면편광 빛이 투과축이 편광 평면과 $30°$각도를 이루는 편광필터를 만납니다. 투과된 세기를 구하십시오.

연속된 두 필터의 경우, 각 쌍 사이의 각도에 대해 말루스의 법칙을 두 번 적용하십시오. 매번 각도를 주의 깊게 확인해야 합니다—첫 번째 필터를 통과한 뒤 편광은 해당 필터의 축 방향으로 되며, 두 번째 필터의 각도는 여기서부터 측정됩니다.

(비편광파에 대한 편광필터의 효과를 계산할 필요는 없습니다.)

편광된 빛 앞을 $360°$ 회전하는 편광필터에 대해 투과 강도는 $\cos^{2}\theta$로 변한다: 투과축이 편광면과 평행할 때 최대가 되며 ($0°$ 및 $180°$), 수직일 때는 영(0)이 되고 ($90°$ 및 $270°$), 절대 음수가 되지는 않는다. $I \propto A^{2}$인 투과 진폭은 $A_{0}\cos\theta$이다: $45°$에서 강도는 절반으로 줄고 진폭은 값의 $0.71$이 된다. 두 개의 필터의 경우, 첫 번째 필터는 편광면을 자신의 축 방향으로 설정하므로 두 번째 필터의 각도는 이 축을 기준으로 측정된다: 수직 편광된 빛이 수직에 대해 $50°$를 거쳐 다시 수직에 대해 $80°$를 통과하면 강도의 $\cos^{2} 50° \times \cos^{2} 30° = 0.31$가 유지된다. 1점 정의: 편광은 진행 방향을 포함하는 단일 평면에서의 횡파의 진동이며, 소리는 진동이 진행 방향과 일치하므로 선택할 수 있는 평면이 없어 편광될 수 없다.

시간 축을 통한 파동 운동 읽기

• 입자가 $-A$과 $+A$ 사이를 진동할 때 한 주기의 총 이동 거리는 **$4A$**이다. $n$개의 완전한 주기 동안, $D=4nA$; 이는 입자의 이동이지 파동의 이동이 아니다.
• $n$주기 동안 파동은 $s=n\lambda$만큼 이동하며, 소요 시간은 $t=nT=n/f$이다.
• $T/4$후, 진행파의 형상은 전파 방향을 따라 $\lambda/4$만큼 이동한다. 정지파의 형상은 고점(node)을 움직이지 않고 높이만 변하므로 가로로 이동시키지 마라.
• 편광판이 입사 편광에 수직으로 시작하여 $\phi$만큼 회전하면, 편광판과 편광 사이의 각도는 $90^\circ-\phi$이므로 $I=I_0\sin^2\phi$이다.

해설 예제. 진폭이 3.0 mm인 입자가 4주기를 완료했다. $D=4nA=4\times4\times3.0=48\ \text{mm}$. 주파수 25 Hz의 파동은 해당 주기를 완료하는 데 $t=n/f=4/25=0.16\ \text{s}$가 걸린다.

정의 문제는 고정된 문구로 채점합니다. 이 내용들을 정확히 외우고, 답은 하나만 제시하십시오.

• 변위, 진폭, 파장, 주기, 주파수 등의 용어를 정확히 정의하고 **$v = f\lambda$**를 사용하라.
• 횡파(진동이 진행 방향과 수직)와 종파(평행)를 구별하시오; 편광될 수 있는 것은 오직 횡파뿐입니다.
• 도플러 효과에서 발생체가 접근하면 관찰되는 주파수는 높아지고, 멀어지면 낮아집니다.
• 전자기 스펙트럼의 순서를 숙지하라. 모든 전자기파는 진공에서 $c$로 전파된다.

흔한 실수

• 1회전보다 큰 위상 차나 라디안 대신 도 단위가 요청된 경우. 회전의 분율만 중요하다: $450°$는 $90°$이고, $90°$는 $\pi/2$이다.
• 변위-시간 그래프에서 파장을 읽기. 해당 그래프는 주기를 제공하며, 파장은 변위-거리 그래프에서 구합니다.
• 진폭을 두 배로 하고 '강도를 두 배로' 하는 오류. 강도는 진폭의 제곱에 비례하므로 실제로는 네 배가 됩니다.
• 도플러 효과 부호를 감각으로 결정하기. 가까워지는 경우 분모에 마이너스(주파수 상승), 멀어지는 경우 플러스(주파수 하강)를 사용한다. 답이 $f_{\text{s}}$의 오른쪽에 위치함을 확인하라.
• 첫 번째 필터의 각도를 기준으로 두 번째 필터를 설정합니다. 필터를 통과한 빛은 해당 필터의 축 방향으로 편광되며, 다음 각도는 여기서부터 측정합니다.
• 음파가 편광될 수 있다고 말하기. 횡파만이 편광될 수 있다.