고체의 변형

힘이 고체 내부의 길이 방향으로 작용하면 물체의 형태가 변한다(변형). 두 가지 경우(여기에서는 일차원으로 취급함):

• 인장 힘은 물체를 늘려 → 신도 $x$를 발생시킵니다,
• 압축 힘은 물체를 누르며 → 압축을 발생시키는데, 이는 음의 신도로 취급합니다.

가해진 힘을 하중이라 한다. 자연 길이로부터의 변화량이 신도(또는 압축)이다.

두 값 모두 자연 상태(늘어남 없는 상태)의 길이에서 측정하며, 하중이 걸린 길이에서는 절대 측정하지 않습니다: 상자를 받치는 스프링 도식에서 스프링이 짧아진 거리는 압축량입니다. 스프링 자체의 질량은 보통 무시할 수 있을 정도로 작다고 설명하므로, 스프링에 작용하는 힘은 하중과 스프링이 제공하는 장력 뿐입니다.

많은 물질에서 작은 신도 범위 내에서 신도는 하중에 비례하는데, 이를 후크의 법칙이라고 한다. 이 두 값을 연결하는 상수를 스프링 상수 $k$라고 한다:

$k$의 단위: $\text{N m}^{-1}$.

worked example. 하중 $2.0\ \text{N}$을 걸었을 때 스프링이 $4.0\ \text{cm}$만큼 늘어났다. 스프링 상수를 구하시오.

신도를 미터로 변환하기 ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):

1점 만점 "후크의 법칙을 서술하라"는 질문에, 글로 적는다: 비례 한계를 넘지 않는 한, 신도는 가해진 힘(하중)에 정비한다. 스프링 상수는 단위 신도당 힘이며, 선택지의 오답(distractors)은 "단위 힘당 신도" (즉, $1/k$)와 $\tfrac{1}{2}Fx$(저장된 에너지)이다.

그래프 읽기:

• 힘-신도 ($F$ against $x$) 그래프는 후크의 법칙 영역에서 기울기가 $k$이다.
• 신도-힘 ($x$ against $F$) 그래프는 후크의 법칙 영역에서 기울기가 $1/k$이다.

자주 나오는 함정: 그래프가 길이 $L$ against 힘을 그릴 경우, 기울기에서 스프링 상수를 여전히 구할 수 있다 ($L = L_{0} + F/k$이므로, 기울기는 $1/k$ — 주의 깊게 읽으라).

worked example. 스프링에 힘 $0.80\ \text{N}$을 가했을 때 길이는 $90\ \text{mm}$이고, 힘 $1.30\ \text{N}$을 가했을 때는 $115\ \text{mm}$이다. 스프링 상수와 늘어나지 않은 자연 길이를 구하시오.

추가된 힘 $0.50\ \text{N}$이 추가된 신도 $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$을 만들었으므로 $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$이다. 힘 $0.80\ \text{N}$일 때 신도는 $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$이므로, 자연 길이는 $90 - 40 = 50\ \text{mm}$이다. 힘 against 길이의 그래프에서 길이 축의 절편(intercept)은 $L_{0}$, 기울기는 $1/k$이며, 스프링을 늘리는 데 한 일은 선과 수평선 $L = L_{0}$ 사이의 삼각형이지, 힘 축까지의 전체 면적이 아니다: $L_{0}$ 아래의 사각형은 자연 길이에 힘을 곱한 것이므로 아무런 의미를 갖지 않는다.

비례 한계

후크의 법칙은 비례 한계까지만 성립한다. 이 지점을 지나면 $F$ against $x$ 선이 곡선이 되어 더 이상 직선이 아니다. 물체는 하중을 제거했을 때 원래 길이로 돌아갈 수 있어 아직 탄성 영역일 수 있으나, 더 나아가면 소성이 된다.

직렬 및 병렬 스프링

스프링 상수를 결합해야 할 수도 있다:

• 직렬 (하나의 스프링이 다른 스프링 아래에 매달림): 동일한 하중이 두 스프링을 모두 통과하고, 총 신도는 두 스프링의 신도의 합이므로 $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$이다.
• 병렬 (두 스프링이 옆에 붙어 동일한 하중을 지탱): 동일하다면 각 스프링이 하중의 절반을 지탱하고, 신도는 동일하므로 $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$이다.

worked example. 스프링 상수가 $6.0\ \text{N cm}^{-1}$와 $4.0\ \text{N cm}^{-1}$인 스프링이 끝이 이어져 결합되어 있고, 그 아래에 하중 $80\ \text{N}$이 매달려 있다. 총 신도를 구하시오.

매번 봄마다 스프링은 완전한 $80\ \text{N}$을 가지므로, 신도는 $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$과 $80/4.0 = 20\ \text{cm}$이며, 총합은 $33\ \text{cm}$($1/k = 1/6.0 + 1/4.0$의 $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$와 동일)입니다. 세 개의 동일한 스프링이 병렬로 연결될 때($3k$) 가장 큰 합성 상수를 가지며, 직렬로 연결될 때($k/3$) 가장 작은 합성 상수를 가집니다. 두 개의 동일한 스프링이 병렬로 부하를 분산할 때, 각 스프링은 힘의 절반을 받으며 따라서 전체 부하를 지탱하는 단일 스프링의 에너지의 사분의 일을 저장합니다; 두 스프링의 조합은 단일 스프링이 저장했던 에너지의 절반만 저장합니다. $\text{N cm}^{-1}$의 스프링 상수는 $\text{N m}^{-1}$의 같은 상수보다 $100$배 작습니다. 문제에서 요구하는 단위를 제시하십시오.

일정한 단면적을 가진 선재에 인장 하중이 작용할 때:

• 응력 $\sigma = \dfrac{F}{A}$, 여기서 $F$은 하중이고 $A$는 단면적입니다. 단위: $\text{Pa}$.
• 변형률 $\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, 여기서 $x$은 신도이고 $L_{0}$는 원시 길이입니다. 변형률은 단위가 없습니다(길이의 비이기 때문입니다).

For the one-mark definitions: stress is the force per unit cross-sectional area (the force acting normally to the area); strain is the extension per unit original length. The unit of stress, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, is $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ in base units. The area of a round wire comes from its diameter $d$: $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, and using $d$ in place of $r$ makes the area four times too big. Convert $\text{mm}^{2}$ to $\text{m}^{2}$ with $10^{-6}$.

해설 예시. 단면적 $3.2\ \text{mm}^{2}$인 와이어에 인장력 $18\ \text{N}$이 작용합니다. 응력을 구하십시오.

$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. 같은 힘이 선재 전체에 작용하므로 한쪽 끝의 직경이 $2d$이고 다른 쪽 끝의 직경이 $d$인 볼트는 좁은 쪽 끝에서 네 배의 응력($\sigma \propto 1/d^{2}$)을 가지며, 반지름이 3배인 선재는 응력이 9분의 1입니다.

영 강도는 후크 법칙 영역에서의 응력과 변형률의 비율입니다:

단위: $\text{Pa}$ (금속의 경우 약 $10^{11}$; 예: 철강 $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).

풀이 예제. 길이 $2.0\ \text{m}$, 단면적 $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$인 철사(선재)에 하중 $15\ \text{N}$을 걸었을 때 $1.0\ \text{mm}$만큼 늘어납니다. 영의 탄성계수를 구하시오.

영 강도는 재료의 성질이며 선재의 형태나 크기에 의존하지 않습니다. 스프링 상수 $k$은 재료와 크기 모두에 의존합니다: $k = EA/L_{0}$.

1점 문제 정의: 영의 탄성계수는 응력과 변형률의 비(비례 한계 내에서 변형된 물질에 대해)입니다. 이 값은 물질 고유의 성질이므로, 같은 금속으로 만든 더 굵은 선재라도 동일한 영의 탄성계수를 가집니다: 이는 금속이 더 딱딱하기 때문이 아니라, 단면적이 커서 동일한 하중 하에서 더 적게 늘어나기 때문입니다. "show that $k = EA/L_{0}$" 유형 문제는 두 줄의 식을 요구하고: $k = F/x$ 및 $E = FL_{0}/(Ax)$, 따라서 $E = kL_{0}/A$입니다. 두 가지 결론이 따릅니다: 후크의 법칙이 유효한 한 선재의 강성상수는 힘의 크기에 상관없이 일정하며, 같은 금속으로 된 직경이 두 배인 선재는 강성상수가 4배가 됩니다.

해설 예제. 길이 $1.7\ \text{m}$, 직경 $0.64\ \text{mm}$인 구리 선재의 영 강도는 $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$입니다. 스프링 상수를 구하십시오.

$A = \pi (0.32 \times 10^{-3})^{2} = 3.2 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, 따라서 $k = EA/L_{0} = 1.2 \times 10^{11} \times 3.2 \times 10^{-7} / 1.7 = 2.3 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$입니다.

응력-변형률 그래프에서 직선 부분의 기울기는 $E$이므로, 같은 축에 그려진 두 물질 중 더 가파른 선이 더 딱딱한 물질이며, 영 강도가 두 배인 선재는 원점을 지나기 때문에 기울기가 두 배인 선으로 그려집니다. 힘-신도 그래프에서 기울기는 $EA/L_{0}$이고 영 강도는 기울기에 $L_{0}/A$을 곱한 값입니다; 오직 응력-변형률 그래프만이 기울기가 $E$ 자체와 같음을 가집니다.

금속 선재의 영 강도를 구하는 실험

표준 장치:

1. 긴 얇은 선재의 한쪽 끝을 고정 지지대에 클램프로 고정합니다. 선재를 탁자 가장자리 풀리 위에 통과시켜 곧게 내려오게 합니다.
2. 미터 자를 사용하여 클램프와 풀리 근처 마커 사이의 원시 길이 $L_{0}$를 측정합니다.
3. 마이크로미터를 사용하여 선재의 직경 $d$을 여러 위치에서 측정하고 평균을 냅니다. $A = \pi d^{2}/4$을 계산하십시오.
4. 무게를 하나씩 걸고 기록합니다. 하중 $F$과 신도 $x$(마커가 고정된 눈금판에서 움직인 거리)을 기록합니다.
5. $F$을 $x$에 대해 도표로 그립니다. 직선 영역에서의 기울기는 $EA/L_{0}$이므로 $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$입니다.

왜 긴, 얇은 선재인가? 신도를 충분히 크게 하여 정확하게 측정하기 위함입니다. 왜 반복 판독을 하고 여러 위치에서 $d$을 측정하는가? 무작위 오차를 줄이고 선재가 균일함을 확인하기 위함입니다.

"실험 설명" 답안은 측정한 물량 및 방법($L_{0}$ 미터 자를 사용하여; $d$ 여러 지점에서 밀리미터 게이지를 사용하여; 질량 또는 뉴톤게이지에서 얻은 하중; 고정된 눈금 또는 버니어 눈금을 기준으로 마커로 읽은 신도)과, 그래프($F$에 대한 $x$, 기울기 $EA/L_{0}$, 또는 응력에 대한 변형률, 기울기 $E$) 및 주의사항: 철사가 끊어질 경우를 대비한 안전 고글, 구부러짐을 펴기 위해 먼저 작은 하중을 걸고, 철사가 탄성 범위 내에 머물렀는지 확인하기 위해 하중 제거 시에도 판독치를 기록함)에 대해 점수를 부여합니다.

하중이 증가함에 따라:

1. 탄성 직선 (후크 법칙 준수) — 비례 한계까지. 하중을 제거하면 물체는 원래 길이로 돌아갑니다.
2. 탄성이지만 곡선 — 비례 한계와 탄성 한계 사이. 하중에 대한 신도가 더 이상 직선이 아니지만, 하중을 제거할 때 물체는 여전히 원래 길이로 돌아옵니다.
3. 소성 — 탄성 한계를 초과함. 하중을 제거해도 물체는 원래 길이로 돌아오지 않으며, 영구 신도가 남습니다.

후크의 법칙은 직선 탄성 영역에서만 성립합니다.

단어로 표현하면: 탄성 변형이란 하중이 제거되었을 때 물체가 원래 길이(또는 모양)로 돌아오는 것을 의미하며, 소성 변형은 그렇지 않으며 영구 신도가 남는 것입니다. 탄성 한계는 변형이 여전히 탄성인 최대 하중(또는 신도)이며, 비례 한계는 그 지점 이상으로 신도가 하중에 비례하지 않는 지점입니다. 그래프에서 비례 한계는 선이 더 이상 직선이 되는 지점입니다. 탄성 한계는 비례 한계 바로 뒤에 위치하며 하중선만으로는 읽을 수 없습니다. 따라서 "어떤 진술이 반드시 참인가" 문제에서 직선 부분의 끝*은 비례 한계이지만, 나중 지점이 탄성 한계인지 파단점인지 하중선의 모양만으로는 알 수 없습니다.

소성 영역으로 인장된 재료를 하중 제거할 때의 힘-신도 그래프에서 하중 가해선과 하중 제거선은 다릅니다. 하중 제거선은 첫 번째 후크 선과 평행하지만 오른쪽으로 이동되어 있습니다(하중이 0이 되었을 때 남은 영구 신도). 하중 가해선과 하중 제거선 사이의 면적은 재료 내부의 열에너지로 변환된 에너지입니다.

A rubber band also has different loading and unloading curves, but it returns to its original length: its deformation is elastic. The area between the two curves is again energy dissipated as thermal energy (elastic hysteresis), and the energy recovered on unloading is the area under the lower curve. The two-mark "explain why the work done in stretching the wire is not equal to the energy recovered when the force is removed" answer says that the wire was taken past its elastic limit, so part of the deformation is plastic and a permanent extension remains, and that part of the work done became thermal energy in the wire.

하중이 $0$에서 $F$로 증가하면서 재료를 $0$에서 신도 $x$로 늘리는 데 들어간 일력은 힘-신도 그래프 아래의 면적입니다.

왜 면적인가: 일력은 힘 × 이동 거리이지만, 여기서는 재료가 늘어남에 따라 힘이 증가하므로, 이 일력은 많은 작은 신도에 대한 $F\,\Delta x$의 합으로, 이는 선 아래의 면적입니다. 비례 한계 내에서 힘은 $0$에서 $F$까지 균등하게 증가하므로 평균 힘은 $\tfrac{1}{2}F$이고 일력은 $\tfrac{1}{2}Fx$입니다. 힘-신도 그래프에서 기울기는 스프링 상수입니다.

후크 법칙 적용 재료

후크의 법칙이 성립할 때, $F$에 대한 $x$ 그래프는 원점을 지나는 직선입니다. $0$에서 $x$까지의 아래 면적은 삼각형입니다:

이는 비례 한계 내에서 늘어난 스프링이나 철사에 저장된 탄성Potential Energy입니다. 동등한 형식:

해설 예시. 스프링 상수가 $50\ \text{N m}^{-1}$인 스프링을 비례 한계 내에서 $0.20\ \text{m}$만큼 늘렸습니다. 저장된 탄성 Potential Energy를 구하십시오.

해설 예제. 스프링 상수가 $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$인 와이어가 이미 신도 extension $2.0\ \text{mm}$만큼 늘어났습니다. 이 신도를 $3.0\ \text{mm}$까지 늘리기 위해 필요한 일을 구하십시오.

저장된 에너지는 $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$에서 $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$로 증가합니다:

This is the trapezium under the line between the two extensions, not $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Because $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ at fixed $k$, doubling the extension of a wire stores four times the energy ($0.65\ \text{J}$ becomes $2.6\ \text{J}$), and a stored energy gives the extension as $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$: a spring of $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ storing $0.32\ \text{J}$ is compressed by $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. For two wires joined end to end the tension is the same in both, so the total energy stored is $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ with each wire's own extension.

후크 법칙을 따르지 않는 물질

직선이 아닌 그래프(늘려진 고무밴드 또는 비례 한계를 넘은 스프링)의 면적을 구하려면 격자 칸 세기나 사다리꼴을 사용하십시오. 동일한 원리가 적용됩니다: 힘-신장 그래프 아래의 면적은 물질에 가해진 일입니다. 파단점까지의 일을 추정하려면 곡선 전체 아래에 있는 칸을 세고(반 칸은 반으로 처리), 하나의 칸이 나타내는 에너지(힘 간격 × 신장 간격)를 곱하십시오. 면적이 칸 세기를 통해 구했다는 것을 언급하는 것이 "추론 설명" 점수 요소입니다.

저장 에너지 비교

일반적인 객관식 문제 유형: 두 재료가 동일한 힘으로 신장되거나, 또는 동일한 신장으로 신장됩니다. $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$을 사용하여:

• 같은 $F$, 더 작은 $k$ (더 부드럽게) → 더 큰 $x$ → 더 많은 에너지 저장.
• 같은 $x$, 더 큰 $k$ (더 단단하게) → 더 큰 $F$ → 더 많은 에너지 저장.

$E_{\text{P}}$를 신도 또는 압축에 대해 그린 스케치도는 원점을 지나는 곡선이며, 기울기가 가파라지는($E_{\text{P}} \propto x^{2}$) 특징이 있으며 직선이 아닙니다. 같은 길이와 단면적을 가진 두 철사 중 같은 하중을 받는 경우, Young 계수가 작은 철사가 더 많이 신장되어 더 많은 에너지를 저장합니다.

늘어난 프링을 질량 mass에 방출할 때, 탄성 포텐셜 에너지 elastic potential energy가 운동 에너지 kinetic energy(질량이 상승하면 중력 포텐셜 에너지 gravitational potential energy 포함)로 전환됩니다. 속도 speed 또는 높이 height를 구하기 위해 $\tfrac{1}{2} k x^{2}$를 $\tfrac{1}{2} m v^{2}$(또는 추가된 $mgh$)과 같다고 설정하십시오.

정의 문제는 고정된 문구로 채점합니다. 이 내용들을 정확히 외우고, 답은 하나만 제시하십시오.

• **후크의 법칙 ($F = kx$)**은 비례 한계까지만 성립합니다.
• 응력 $= F/A$, 변형률 $= x/L$, Young modulus(영률) $=$ 응력$/$변형률 (응력-변형률 그래프의 직선 부분의 기울기) — 단위(Pa)를 주의하십시오.
• 저장된 에너지 $=$ 하중-신도 그래프 아래 면적 $= \frac{1}{2}Fx$ 비례 한계까지(선이 직선인 구간).
• 탄성(원래 모양으로 복귀)과 소성(영구) 변형을 구분하십시오.

흔한 실수

• $A = \pi r^{2}$에서 지름 diameter를 반지름 radius로 사용하거나, $\text{mm}^{2}$에서 단면적 area를 누락시키는 실수. 먼저 지름을 반으로 줄이십시오; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
• Reading the work done off a length–force graph as the whole area down to the axis. Only the triangle above $L_{0}$ is work.
• 저장된 에너지를 신장에 비례한다고 가정함. 실제로는 $x^{2}$에 비례하므로: 신장을 두 배로 늘리면 에너지는 네 배가 되며, 두 신장 값 사이에서 한은 두 $\tfrac{1}{2}kx^{2}$ 값의 차이입니다.
• 조건 없이 후크 법칙을 서술함. "비례 한계를 넘지 않는다면"은 법칙의 일부임.
• 비례 한계(직선 부분의 끝)와 탄성 한계(탄성 거동의 끝, 약간 그 이후)를 혼동함.
• 두꺼운 와이어가 더 큰 영 계수를 가진다고 주장함. 계수는 재료의 특성이며, 두꺼운 와이어는 더 큰 스프링 상수를 가짐.