천문학 및 우주론

발광도 $L$는 별이 방출하는 총 방사파의 세기—모든 방향으로 초당 방출되는 에너지입니다. 단위: 와트 (W).

1점 정의. 별의 발광도(luminosity)는 별이 방출하는 복사 에너지의 총력(total power) 또는 단위 시간당 방출되는 총에너지이다. 이는 별 자체의 성질일 뿐이며, 지구에서 보았을 때 얼마나 밝게 보이는지는 별까지의 거리에도 좌우된다. 왜 일부 별이 다른 별보다 더 밝게 보이는지에 대한 두 가지 이유를 묻는다면, 정확히 다음 두 가지를 제시해야 한다: 더 큰 발광도, 그리고 더 짧은 거리 (복사 플럭스는 $1/d^{2}$에 반비례한다).

거리 $d$에서 이 전력은 면적 $4\pi d^{2}$인 구면에 퍼져 있습니다. 거리 $d$에서의 복사 플럭스 강도 $F$(단위 면적당 전력)는 다음과 같습니다.

풀이 예제. 태양의 발광도는 $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$이다. 지구까지의 거리 $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$에 있는 지점에서 복사 플럭스 강도를 구하시오.

Unit: $\text{W m}^{-2}$. This is the inverse-square law for flux: doubling the distance cuts the flux to a quarter. A telescope measures $F$; if $L$ is known, the distance follows:

그래프 읽기. 한 별에 대한 $F$ 대 $1/d^{2}$ 그래프는 원점을 지나는 직선이며 기울기는 $L/4\pi$이므로, $L = 4\pi \times \text{gradient}$; 더 밝은 별일수록 기울기가 가파릅니다. 은하가 후퇴하는 별이라도 역제곱 법칙을 따르지만, 우리가 받는 빛은 적색 이동되어 스펙트럼 상에서 이동하므로, 특정 파장 대역에만 민감한 검출기는 이를 다른 비율로 감지할 수 있습니다.

해설 예제. 태양은 반지름 $6.96 \times 10^{8}\ \text{m}$와 표면 온도 $5780\ \text{K}$를 가집니다. $2.0\ \text{m}^{2}$ 태양 전지판을 장착한 우주 탐사선이 태양 중심으로부터 $4.5 \times 10^{10}\ \text{m}$ 떨어져 있습니다. 전지판이 태양을 향해 있을 때 전지판에 닿는 세기를 구하십시오.

Luminosity: $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4} = 4\pi(5.67 \times 10^{-8})(6.96 \times 10^{8})^{2}(5780)^{4} = 3.85 \times 10^{26}\ \text{W}$. Flux at the probe: $F = L/(4\pi d^{2}) = 3.85 \times 10^{26}/[4\pi(4.5 \times 10^{10})^{2}] = 1.5 \times 10^{4}\ \text{W m}^{-2}$, eleven times the flux at the Earth. Power on the panel: $P = FA = 1.5 \times 10^{4} \times 2.0 = 3.0 \times 10^{4}\ \text{W}$. The flux is power per unit area perpendicular to the radiation; a tilted panel receives $FA\cos\theta$.

A standard candle is an object whose luminosity is known from its type. Once you find one in a distant galaxy and measure the flux $F$ from it, you get its distance from $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$.

예시:

• 세페이드 변성星(Cepheid variables) — 진동(pulsation) 주기는 발광도와 밀접하게 연관되어 있으므로, 주기를 알면 $L$을 얻을 수 있다.

초신성은 강력한 항성 폭발입니다. 표준 candle로 사용할 수 있는 것은 적절한 종류만 가능합니다.

• Ia형 초신성 Ia—백색 왜성이 관여하는 폭발; 그 최대 발광도는 거리 추정을 위해 표준화될 수 있습니다.

표준 candle는 거리를 먼저 알 필요 없이 $L$를 제공하므로, 시차법보다 훨씬 먼 은하까지 도달할 수 있습니다.

정의. 표준 candle란 발광도가 알려진 천체(별 또는 초신성)를 말합니다. 발광도가 알려진 이유는, 이 값이 어떤 거리에서도 측정 가능한 물성에 의해 고정되기 때문입니다: 세페이드 변성의 진동 주기, 또는 초신성의 종류 등.

"표준 양초를 사용하여 은하의 거리를 결정하는 방법을 설명하시오(3점).** (1) 은하 내 표준 양초(주기의 길이를 통해 발광력을 알 수 있는 세페이드 변성별 또는 Ia형 초신성 등)를 식별하여 그 발광력 $L$을 알 수 있게 합니다. (2) 지구에 도달하는 빛의 복사 플럭스 강도 $F$를 측정합니다. (3) 역제곱 법칙, 즉 $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$을 적용하여 거리를 구합니다. 순서가 중요합니다: 발광력은 찾으려는 것이 아닌 거리에서 도출된 것이 아니라, 양초의 종류에서 나옵니다.

풀이 예제. I A형 초신성의 발광도가 최상시 $1.0 \times 10^{36}\ \text{W}$이고, 관측된 최고 플럭스가 $2.0 \times 10^{-14}\ \text{W m}^{-2}$일 때, 해당 초신성이 속한 은하까지의 거리는 얼마인가?

$d = \sqrt{L/(4\pi F)} = \sqrt{1.0 \times 10^{36}/(4\pi \times 2.0 \times 10^{-14})} = 2.0 \times 10^{24}\ \text{m}$, 약 $210$ 백만 광년($1\ \text{ly} = 9.5 \times 10^{15}\ \text{m}$) 떨어진 곳입니다. 발광도가 $10^{30}\ \text{W}$ 수준인 세페이드는 그 거리에서는 볼 수 없으므로, 초신성이 원거리 우주를 위한 표준 candle가 됩니다.

*안드로메다 은하, 우리 가장 가까운 대형 은하로서 약 2.5 백만 광년 떨어진 곳에 위치하며, 안드로메다 은하 내 세페이드변성별은 표준 양초입니다

뤼의 이동 법칙

열린 물체는 특정 파장 $\lambda_{\text{max}}$에서 피크를 가지는 연속 스펙트럼(흑체)을 방출하며, 이 파장은 해당 물체의 온도에 의해 결정됩니다. 뤼의 이동 법칙: 뤼의 이동 법칙:

풀이 예제. 한 별의 흑체 스펙트럼이 $\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$에서 피크를 이룹니다. 이 별의 표면 온도를 구하십시오. ($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$.)

더 뜨거운 별은 더 짧은 파장에서 피크를 나타냅니다: 차가운 빨간 별($\sim 3000\ \text{K}$)은 적외선 영역에서 피크를 이루고, 태양($\sim 5800\ \text{K}$)은 $500\ \text{nm}$ 부근에서 피크를 이루며, 뜨거운 푸른-흰색 별($\sim 20{,}000\ \text{K}$)은 자외선 영역에서 피크를 이룹니다. $\lambda_{\text{max}}$을 측정하면 표면 온도를 알 수 있습니다.

"뤼의 이동 법칙을 서술하시오." (2점) 흑체로부터 방출되는 복사의 세기가 최대가 되는 파장은 그 열역학적 온도에 반비례합니다: $\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$, 또는 $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$ ($2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$). 단순히 "파장"이라고 하기보다 반드시 "최대 세기의 파장"이라고 말해야 하며, 온도는 반드시 켈빈 단위로 표기해야 합니다. 이 법칙은 연속적인 흑체 곡선의 피크를 설명할 뿐, 스펙트럼 선 자체를 설명하는 것은 아닙니다.

스테판-볼츠만 법칙

별을 반경 $r$과 표면 온도 $T$을 가진 흑체 구로 가정할 때, 이 별의 광도는 다음과 같습니다.

여기서 $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$은 스테판-볼츠만 상수(또는 스테판-볼츠만 법칙)입니다. 두 가지 강력한 종속 관계가 있습니다:

• $L \propto r^{2}$ — 반지름의 두 배, 발광력의 네 배 (동일한 $T$).
• $L \propto T^{4}$ — 온도의 두 배, 발광력의 16배 (동일한 $r$).

해설 예제. 반지름이 $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$이고 표면 온도가 $T = 5800\ \text{K}$인 별의 발광력을 구하십시오. ($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$.)

별의 반경 추정하기

두 법칙을 결합합니다:

1. $\lambda_{\text{max}}$ 측정 → 뤼의 법칙을 통해 $T$ 도출.
2. $L$ 계산 (예: 유량 $F$과 거리 $d$에서: $L = 4\pi d^{2} F$).
3. 스테판-볼츠만 법칙을 $r$에 대해 풀기: $r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$.

이것이 천문학자가 원반 형태로 관찰되지 않는 별의 반경을 추정하는 방법입니다.

풀이 예제(태양의 반경). 지구에서 관측되는 태양복사 유량 강도는 $1370\ \text{W m}^{-2}$이며, 거리는 $1.50 \times 10^{11}\ \text{m}$이고, 태양의 스펙트럼 피크는 $500\ \text{nm}$입니다. 태양의 반경을 추정하십시오.

Luminosity: $L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(1.50 \times 10^{11})^{2}(1370) = 3.87 \times 10^{26}\ \text{W}$. Temperature: $T = b/\lambda_{\text{max}} = 2.90 \times 10^{-3}/(500 \times 10^{-9}) = 5800\ \text{K}$. Radius: $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^{4})} = \sqrt{3.87 \times 10^{26}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(5800)^{4}]} = 6.9 \times 10^{8}\ \text{m}$. Three steps, each a one-line formula; keep the full precision of $L$ and $T$ until the end, because $T$ is raised to the fourth power.

풀이 예제. 한 은하에 있는 별의 복사 유량 강도가 지구에서 $2.52 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}$으로 관측되며, 거리는 $4.16 \times 10^{17}\ \text{m}$이고 표면 온도는 $9500\ \text{K}$입니다. 이 별의 반경을 구하십시오.

$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(4.16 \times 10^{17})^{2}(2.52 \times 10^{-8}) = 5.48 \times 10^{28}\ \text{W}$. 따라서 $r = \sqrt{5.48 \times 10^{28}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(9500)^{4}]} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{m}$, 태양 반지름의 약 4배입니다. 검산: 태양보다 발광도가 $140$배 크지만 온도는 $1.6$배에 불과하다면, $L \propto r^{2}T^{4}$이기 때문에 훨씬 커야 합니다.

$T^{4}$이 중요한 이유. 동일한 반경을 가진 두 별이 각각 $3000\ \text{K}$과 $6000\ \text{K}$의 온도를 가질 때, 광도는 $2^{4} = 16$배 차이 납니다. 따라서 온도 측정에 작은 오차가 광도에 큰 오차를 초래하므로, 피크 파장을 주의 깊게 읽어야 하며, 후퇴하는 은하의 경우 적색편이로 인해 보정해야 합니다(아래 참조).

우주론적 적색편이

먼 은하로부터 오는 빛의 스펙트럼 선은Known 실험실 값보다 더 긴 파장에서 관측됩니다 — 전체 스펙트럼이 적색 쪽으로 늘어나는 것입니다. 이것이 적색편이입니다.

이를 도플러 편이로 해석하면, 이 은하는 멀어지고 있습니다. $v \ll c$에 대해:

여기서 $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$과 $v$은 후퇴 속도입니다. 예: $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$에서 방출되었으나 $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$에서 관측된 빛은 $\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$을 주며

적색편이가 우주의 팽창을 의미하는 이유

거의 모든 먼 은하가 적색편이를 보이며(몇 개의 가까운 은하는 국소 운동에 의해 청색편이됨), 은하들은 평균적으로 서로 멀어지고 있습니다 — 우리로부터뿐만 아니라 서로에게서도요. 우주는 팽창하고 있으며, 은하 사이의 공간이 늘어납니다. 더 멀리 있는 은하일수록 더 큰 적색편이를 보입니다.

"적색 이동의 의미를 서술하시오. 방사선(스펙트럼 선)의 관측 파장은 방출된 파장보다 깁니다. 이는 전파원이 관측자로부터 멀어지고 있기 때문입니다. 이는 빛에 대한 도플러 효과로, 파장의 분율 변화는 주파수의 분율 변화와 같으며, $v \ll c$에 대해 비례 $v/c$입니다.

풀이 예제. 실험실에서 $656.3\ \text{nm}$으로 측정된 수소 스펙트럼 선이 한 은하의 빛에서 $660.9\ \text{nm}$으로 관측되었습니다. 이 은하의 후퇴 속도와, $H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$을 사용하여 그 거리를 구하십시오.

$\Delta\lambda = 660.9 - 656.3 = 4.6\ \text{nm}$이므로, $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(4.6/656.3) = 2.1 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$입니다. 거리: $d = v/H_{0} = 2.1 \times 10^{6}/2.3 \times 10^{-18} = 9.1 \times 10^{23}\ \text{m}$ (약 $100$ 백만 광년). 방출된 (실험실) 파장으로 나누고, 비례식 내에서 나노미터 단위가 일관되도록 유지하십시오.

해설 예시 (반대 방향). 코로나 보레알리스에 있는 은하가 $21\,400\ \text{km s}^{-1}$ 속도로 멀어지고 있습니다. 이 은하의 $656.3\ \text{nm}$ 수소 스펙트럼 선은 어떤 파장에서 관측됩니까?

$\Delta\lambda = \lambda v/c = 656.3 \times (2.14 \times 10^{7}/3.00 \times 10^{8}) = 46.8\ \text{nm}$이므로, 해당 선은 빨간색 영역에서 거의 적외선 영역으로 이동한 $703\ \text{nm}$에 나타납니다. 모든 선과 전체 연속 스펙트럼은 동일한 인자 $(1 + v/c) = 1.071$만큼 늘어나게 됩니다.

시험에서 자주 출제되는 함정. 멀어지는 은하의 스펙트럼 피크 파장을 그대로 윤의 법칙에 대입하면, 관측된 $\lambda_{\text{max}}$이 방출된 것보다 길기 때문에 온도가 너무 낮게 나옵니다. 먼저 피크를 수정해야 합니다: $\lambda_{\text{emitted}} = \lambda_{\text{observed}}/(1 + v/c)$. 방출된 스펙트럼과 같은 축에 관측된 스펙트럼을 스케치하라는 요청이 있다면, 형태는 동일하게 하되 더 긴 파장 쪽으로 이동시킨 후(피크 포함) 그려야 합니다.

"적색 편이가 우주의 팽창을 어떻게 시사하는지 설명하시오 (3점)." (1) (거의) 모든 원거리 은하의 스펙트럼 선들은 더 긴 파장으로 이동하므로, (2) 도플러 효과에 의해 은하들이 우리로부터 멀어지고 있음을 알 수 있으며, (3) 은하가 더 멀리 있을수록 더 큰 적색 편이와 속도를 보입니다. 이는 모든 은하 사이의 공간이 팽창하고 있다면 어느 은하에서 보아도 나타나는 현상이므로, 우주가 지구로부터 단순히 멀어지는 것이 아니라 전체적으로 팽창하고 있음을 의미합니다.

허블의 법칙

후퇴 속도 $v$과 거리 $d$ 사이의 관계는 허블의 법칙입니다:

여기서 $H_{0}$은 허블 상수 ($\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$)입니다. 항상 SI 단위를 사용하십시오. 예시: $1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ 속도로 멀어지는 은하는 $d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$ 거리에 위치합니다.

"허블의 법칙을 서술하시오 (2점)." 은하의 후퇴 속도는 그 은하와 지구(관측자) 사이의 거리에 (직접) 비례한다: $v = H_{0}d$, 여기서 $v$는 후퇴 속도, $d$는 거리, $H_{0}$는 허블 상수입니다. 문제에서 기호를 지시할 때는 반드시 식별하십시오. $H_{0}$의 값은 시험에서 SI 단위 ($\text{s}^{-1}$)로 제시되므로, $v$는 반드시 $\text{m s}^{-1}$ 단위로, $d$는 미터 단위로 표현되어야 하며, 킬로미터/초/메가파섹 단위는 절대 사용하면 안 됩니다.

해설 예시. 원거리 은하에 있는 별이 강도 피크가 $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$인 복사를 방출합니다. 지구에서 수신된 빛의 피크는 $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$에 위치합니다. 이 별의 표면 온도, 은하의 후퇴 속도, 그리고 거리 ($H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$)를 구하십시오.

방출된 최대값으로부터의 온도: $T = 2.90 \times 10^{-3}/4.62 \times 10^{-7} = 6300\ \text{K}$. 속도: $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(0.29/4.62) = 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, $c$의 약 $6\%$. 거리: $d = v/H_{0} = 1.9 \times 10^{7}/2.3 \times 10^{-18} = 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$(약 $870$ 백만 광년). 온도를 구하기 위해 관측된 최대값을 사용했다면 $5900\ \text{K}$, $400\ \text{K}$이 overly 낮게 나왔을 것입니다.

허블의 법칙으로부터 빅뱅까지

허블의 법칙은 과거에 은하들이 모두 한곳에 있었음을 의미합니다. 팽창을 역산하면, 모든 거리는 $t = -1/H_{0}$ 시점에 0으로 수축됩니다 — 즉, 우주는 한때 극도로 밀도가 높고 뜨거운 작은 점 상태였습니다. 이것이 바로 빅뱅입니다. (일정한 팽창을 가정할 때) 우주의 나이는 대략

우주의 팽창, 은하의 적색 편이, 우주 마이크로파 배경, 그리고 수소/헬륨의 존재 비율은 빅뱅 이론에 대한 주요 증거들입니다.

"허블의 법칙이 대폭발 이론으로 이어지는 과정을 설명하시오" (3점). (1) 은하는 거리에 비례하는 속도로 멀어지고 있으므로, (2) 시간을 뒤로 돌이면 모든 은하는 어떤 거리에도 불구하고 같은 시점에 같은 지점에 모이게 되며, 이는 $t = d/v = 1/H_{0}$ 전부터; (3) 따라서 우주는 매우 밀도와 온도가 높던 단일 지점에서 시작하여 이후로 계속 팽창해 왔어야 합니다. 나이 추정: $1/H_{0} = 1/(2.3 \times 10^{-18}) = 4.3 \times 10^{17}\ \text{s}$, 이를 연당 $3.16 \times 10^{7}\ \text{s}$로 나누면 $1.4 \times 10^{10}$년이 됩니다. 이는 팽창 속도가 일정하다고 가정했을 때의 추정치이지, 실제 측정값은 아닙니다.

거리 사다리

Astronomers combine methods, each calibrated by the one below:

1. 영각법(parallax) — 근거리 항성용.
2. 표준 양초(세페이드, Ia형 초신성) — 은하용.
3. 허블의 법칙 ($d = v/H_{0}$, 적색 편이로부터 얻은 $v$ 포함) — 매우 원거리 은하용.

*거리 사다리: 각 방법은 아래 단계에 의해 보정되어 더 먼 곳까지 도달 가능함

정의 문제는 고정된 문구로 채점합니다. 이 내용들을 정확히 외우고, 답은 하나만 제시하십시오.

• 두 가지 방법: 거리 = 양초의 $L$, measured $F$, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$; 반지름 = $T$ from $\lambda_{\text{max}}$, $L$ from $F$ and $d$, $r$ from $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$. 각 단계를 별도의 공식으로 작성한다.
• $F$는 플럭스(제곱 미터당), $L$는 전력; $L = 4\pi d^{2}F$이 이 둘을 연결하며 $4\pi$은 두 법칙 모두의 일부입니다.
• Wien: $\lambda_{\text{max}}$ in metres, $T$ in kelvin. Stefan–Boltzmann: $r^{2}$ and $T^{4}$; a $10\%$ error in $T$ is a $46\%$ error in $L$.
• 적색편이: $\Delta\lambda/\lambda_{\text{emitted}} = v/c$; SI 단위로 $d = v/H_{0}$. 윙 법칙을 사용하기 전에 후퇴하는 은하의 최대 파장을 보정하십시오.
• 세 가지 "설명" 답변(표준 촛불에서 거리로, 적색편이에서 팽창으로, 허블 법칙에서 빅뱅으로)은 문항별로 점수를 부여함: 각 3문장씩 순서대로.
• 우주의 나이는 $1/H_{0}$로, 약 $14$십억 년이다. 일정한 팽창 속도를 가정함을 명시하시오.

흔한 실수

• 발광도를 밝기로 정의하거나, 단위 면적당 힘(유량)으로 정의함; 이것이 유량(flux)이다.
• Finding a standard candle's luminosity from its distance, which is circular; the luminosity comes from its type.
• Using degrees Celsius in Wien's or Stefan's law, or forgetting the fourth power.
• 관측된 파장 대신 방출된 파장으로 $\Delta\lambda$을 나누거나, 나노미터와 미터를 하나의 비율에서 혼동함.
• $H_{0}$과 $v$을 $\text{km s}^{-1}$에 사용하여 계산함; $\text{m s}^{-1}$로 변환하십시오.
• 적색편이된 최대 파장을 윙 법칙에 대입하여 온도가 너무 낮게 산출됨.
• "비례한다"라는 표현을 누락하거나, $v$과 $d$이 무엇을 의미하는지 설명하지 않고 허블 법칙만을 서술함.
• 모든 은하가 $t = 1/H_{0}$ 이전에 한곳에 모여 있었다는 과거 시간으로의 추론 없이 빅뱅을 설명함.