이 시트에는 Topic 2: 순수 수학(Pure Mathematics) 2이 다룹니다. 절대값 및 다항대수, 로그함수와 지수함수, 추가 삼각함수, 그리고 미분 및 적분의 새로운 방법을 포함합니다.
순수 수학 2
A-Level 수학 · 주제 2
12:32
순수 수학 2
2011년, 일본 앞바다에서 리히터 규모 9의 지진이 발생했다. 작은 지진은 규모 6을 나타낼 수 있다. 단 3점之差 — 하지만 첫 번째…
영어 내레이션 · 영어 + 중국어 자막 burned-in
2.1
대수학
Syllabus
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the meaning of $|x|$, sketch the graph of $y = |ax + b|$ and use relations such as $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ and $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ when solving equations and inequalities | Graphs of $y = |f(x)|$ and $y = f(|x|)$ for non-linear functions $f$ are not included. e.g. $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| divide a polynomial, of degree not exceeding 4, by a linear or quadratic polynomial, and identify the quotient and remainder (which may be zero) | |
| use the factor theorem and the remainder theorem. | e.g. to find factors and remainders, solve polynomial equations or evaluate unknown coefficients. Including factors of the form $(ax + b)$ in which the coefficient of $x$ is not unity, and including calculation of remainders. |
출처: Cambridge International syllabus
절대값
절대값 $|x|$은 부호를 제거한 수의 크기이므로, $|x| \geqslant 0$는 항상 양수입니다. $y = |ax + b|$의 그래프는 $x$-축에서 튀어 오르는 'V'자 형태입니다. 방정식과 부등식을 푸는 데 유용한 두 가지 규칙은 다음과 같습니다.
$$|a| = |b| \;\Leftrightarrow\; a^2 = b^2, \qquad |x - a| < b \;\Leftrightarrow\; a - b < x < a + b.$$
풀이 예제. $|3x + 8| < 9$을 풀이하시오.
두 번째 규칙을 inequality를 $-9 < 3x + 8 < 9$로 작성하여 적용합니다:
$$-9 < 3x + 8 < 9 \;\Rightarrow\; -17 < 3x < 1 \;\Rightarrow\; -\tfrac{17}{3} < x < \tfrac13.$$
다항식 나눗셈 및 약수 정리와 나머지의 정리
다항식은 $x$의 거듭제곱들의 합으로, 예시로 $2x^4 + 3x^2 - 5$가 있습니다. 차수(degree) 는 가장 높은 거듭제곱입니다. 하나의 다항식을 다른 다항식으로 나누면 비(quotient) 와 나머지(remainder) 를 얻습니다.
- 나머지의 정리: $p(x)$을 $(x - a)$로 나눈 나머지는 $p(a)$입니다.
- 약수 정리: $(x - a)$이 $p(x)$의 약수인 것은 $p(a) = 0$일 때뿐입니다.
작업 예시. 다항식 $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$에 약수 $(x + 2)$이 있습니다. $k$를 구하십시오.
약수 정리에 의해 $p(-2) = 0$:
$$2(16) + k(-8) + k(4) + 17(-2) + 18 = 0 \;\Rightarrow\; 16 - 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = 4.$$
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절댓값 함수
y = a|x − b| + c
절댓값은 V자 모양을 만든다. 꼭짓점을 b와 c로 이동시키고, 팔의 경사도를 a로 변경한다.
어휘
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| English | 한국어 |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 순수 수학(Pure Mathematics) |
| logarithms/ˈlɒɡərɪθəmz/ | 로그(logarithms) |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | 지수 함수 |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 절댓값(모듈러스) |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 다항함수 |
| degree/dɪˈɡriː/ | 차Unless degree (polynomial) or 각도Unless angle. Given mathematical list, likely polynomial degree. |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | 상수항Unless context implies quotient in division. In math context with remainder, it's quotient. |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 나머지 |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | 餘定理(나머지 정리) |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | 인수 정리 |
2.2
로그함수와 지수함수
Syllabus
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the relationship between logarithms and indices, and use the laws of logarithms (excluding change of base) | |
| understand the definition and properties of $e^x$ and $\ln x$, including their relationship as inverse functions and their graphs | Including knowledge of the graph of $y = e^{kx}$ for both positive and negative values of $k$. |
| use logarithms to solve equations and inequalities in which the unknown appears in indices | e.g. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| use logarithms to transform a given relationship to linear form, and hence determine unknown constants by considering the gradient and/or intercept. | e.g. $y = kx^n$ gives $\ln y = \ln k + n \ln x$ which is linear in $\ln x$ and $\ln y$ $y = k(a^x)$ gives $\ln y = \ln k + x \ln a$ which is linear in $x$ and $\ln y$. |
출처: Cambridge International syllabus
로그함수는 "어떤 지수인가?"라는 질문에 답합니다. $a^x = y$이면 $x = \log_a y$입니다. 로그함수와 지수(indices, 거듭제곱) 은 서로 반대되는 개념입니다. 로그의 법칙은 다음과 같습니다.
$$\log(mn) = \log m + \log n, \qquad \log\!\frac{m}{n} = \log m - \log n, \qquad \log(m^k) = k\log m.$$
지수함수 $e^x$과 자연로그 $\ln x$는 역함수이므로, $\ln(e^x) = x$이고 $e^{\ln x} = x$입니다. 미지수가 지수에 있는 경우 양변의 로그를 취합니다.
풀이 예제. $4^x < 0.05$을 풀이하시오.
$$4^x < 0.05 \;\Rightarrow\; x\ln 4 < \ln 0.05 \;\Rightarrow\; x < \frac{\ln 0.05}{\ln 4} = -2.16 \ (\text{ 유효숫자 3자리}).$$
선형 형태: $y = Ax^n$과 같은 관계에서 로그를 취하면 직선이 됩니다: $\ln y = \ln A + n\ln x$. $\ln y$를 $\ln x$에 대해 plot하면 기울기가 $n$이고 절편이 $\ln A$인 직선이 되므로, 미지수 상수를 찾을 수 있습니다.
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지수 성장
y = a·bˣ
근본 b를 변경하면: b > 1일 때 곡선은 성장하고, 0 < b < 1일 때는 감소하며, 항상 (0, a)를 지나간다.
어휘
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| English | 한국어 |
|---|---|
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | 지수 |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | 로그의 법칙 |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | 자연 로그 |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | 선형 형태 |
2.3
삼각함수
Syllabus
| 지원자는 다음을 할 수 있어야 한다: | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 코사인, 코세cant 및 코타젱트 함수가 코사인, 사인, 탄젠트 함수와 어떤 관계가 있는지 이해하고, 임의의 크기의 각에 대한 6가지 삼각함수의 성질과 그래프를 사용한다. | |
| 식의 단순화와 정확한 평가를 위해, 그리고 방정식을 풀 때 삼각함수 항등식을 사용하고, 문맥에 적합한 항등식을 선택하며, 특히 다음 사용에 익숙함을 보여준다: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ 및 $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ 및 $\tan(A \pm B)$의 전개식 – $\sin 2A$, $\cos 2A$ 및 $\tan 2A$의 공식 – $a \sin \theta + b \cos \theta$를 $R \sin(\theta \pm \alpha)$ 및 $R \cos(\theta \pm \alpha)$ 형태로 표현함. | 예: $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$을 단순화함. 예: $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$를 풀이함. |
출처: Cambridge International syllabus
더러운 세 개의 함수가 있으며, 모두 아는 함수의 역함수입니다: 세컨트(secant) $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, 코세cant(cosecant) $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, 그리고 코탄젠트(cotangent) $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$입니다.
이 삼각함수 항등식들을 기억하고 각 문제에 맞는 것을 선택해야 합니다:
$$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta, \qquad \csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta.$$
또한 $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$, $\tan(A \pm B)$에 대한 합각 공식과 이중각 공식을 사용합니다.
$$\sin 2A = 2\sin A\cos A, \quad \cos 2A = 2\cos^2 A - 1, \quad \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A},$$
그리고 R공식 $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, 여기서 $R = \sqrt{a^2 + b^2}$이고 $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$입니다.
해설 예제. $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$에 대한 $-180^\circ < \theta < 180^\circ$의 해를 구하시오.
$\tan^2\theta$을 $\sec^2\theta - 1$로 치환하여 하나의 함수를 얻습니다:
$$2(\sec^2\theta - 1) + 3\sec\theta = 18 \;\Rightarrow\; 2\sec^2\theta + 3\sec\theta - 20 = 0 \;\Rightarrow\; (2\sec\theta - 5)(\sec\theta + 4) = 0.$$
따라서 $\sec\theta = \tfrac52$이거나 $\sec\theta = -4$이므로, $\cos\theta = \tfrac25$이거나 $\cos\theta = -\tfrac14$입니다. 해는 $\theta = \pm 66.4^\circ$과 $\theta = \pm 104.5^\circ$입니다.
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단위원
각도를 드래그하여 $\sin$, $\cos$, $\tan$ 간의 관계를 확인하세요. 이는 삼각방정식을 푸는 데 핵심적인 요소입니다.
어휘
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| English | 한국어 |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | 할선 |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | 코세cant함수 |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | 코탄젠트함수 |
| trigonometric identities/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk aɪˈdentɪtiz/ | 삼각 항등식(trigonometric identities) |
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | 합각(formula for compound angle) |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | 이중 각 |
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | R-공식 |
2.4
미분법
Syllabus
| 지원자는 다음을 할 수 있어야 한다: | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$의 미분을 사용하고, 상수배, 합, 차, 합성함수를 처리한다. | |
| 곱함수와商的함수의 미분을 수행한다. | 예시: $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| 매개변수 또는 암묵적으로 정의된 함수의 첫 번째 미분식을 구하고 사용한다. | 예: $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. 예: $x^2 + y^2 = xy + 7$. 접선과 수직선에 관한 문제에서 사용 포함. |
출처: Cambridge International syllabus
이 표준 미분식을 암기하십시오:
$$\frac{d}{dx}e^x = e^x, \quad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.$$
두 함수의 곱이나 비에 대해서는 다음을 사용하십시오:
- 곱의 미분법(product rule): $(uv)' = u'v + uv'$;
- 비의 미분법(quotient rule): $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
곡선이 매개변수 방정식 $x = x(t)$, $y = y(t)$로 주어졌을 때 기울기는 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$입니다. $y$가 명시되지 않고 암묵적으로 정의되었을 때, $x$에 대해 각 항을 미분하고 $y$항에 대해 연쇄 법칙을 적용한 뒤, $\dfrac{dy}{dx}$에 대해 풀이하십시오.
작업 예시. $y = 6x\cos(x^2 + 1)$이 주어졌을 때, $\dfrac{dy}{dx}$을 구하십시오.
$u = 6x$과 $v = \cos(x^2 + 1)$에 대해 곱의 미분법을 사용하고($v$에 대해서는 체인룰을 사용):
$$\frac{dy}{dx} = 6\cos(x^2 + 1) + 6x\cdot\big(-2x\sin(x^2 + 1)\big) = 6\cos(x^2 + 1) - 12x^2\sin(x^2 + 1).$$
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접선과 기울기
y = ax³ + bx² + cx + d
점을 이동하세요: 접선은 해당 x값에서의 미분값입니다. 곡선이 방향을 바꾸는 곳에서는 기울기가 0입니다.
어휘
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| English | 한국어 |
|---|---|
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 곱의 법칙 |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 비율의 법칙 |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | 매개변수 방정식 |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | 암묵적으로 |
2.5
적분법
Syllabus
| 지원자는 다음을 할 수 있어야 한다: | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| '미분의 역과정'이라는 아이디어를 확장하여 $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$ 및 $\sec^2(ax + b)$의 적분을 포함시킨다. | 대입법에 의한 적분의 일반적인 방식에 대한 지식이 필요하지는 않다. |
| 적분 수행 시 삼각함수 관계를 활용한다. | 예시: 이중각 공식을 사용하여 $\sin^2 x$ 또는 $\cos^2(2x)$을 적분하는 경우. |
| 사다리꼴 법칙을 이해하고 활용하여 정적분의 값을 추정한다. | 간단한 경우 스키치 그래프를 사용하여 사다리꼴 법칙이 과소평가인지 과대평가인지 판별하는 데 활용한다. |
출처: Cambridge International syllabus
적분은 미분의 역연산(reverse differentiation) — 새로운 미분식을 모두 거꾸로 하십시오. 복잡한 적분에는 치환법(integration by substitution) (순수 수학 3에서 다룸)이 필요할 수 있습니다. 내부 함수가 선형 $(ax + b)$인 경우:
$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C,$$
$$\int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C, \qquad \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sec^2(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C.$$
$\sin$ 또는 $\cos$의 거듭제곱을 적분하려면, 먼저 항등식을 사용하여 거듭제곱을 제거하십시오. 정확히 적분할 수 없는 경우 사다리꼴 규칙은 정적분의 값을 근사합니다:
$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})\big].$$
해설 예제. $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$를 구하세요.
$\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$를 사용하십시오:
$$\int 6\sin^2 x\,dx = \int (3 - 3\cos 2x)\,dx = 3x - \tfrac32\sin 2x + C.$$
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곡선 아래의 면적
면적 = ∫ f(x) dx
적분은 여전히 면적을 나타냅니다. a와 b를 드래그하여 곡선 아래의 막대 영역을 합산하십시오.
어휘
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| English | 한국어 |
|---|---|
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | 사다리꼴 규칙 |
| root/ruːt/ | 근(루트) |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 대입적분법 |
2.6
방정식의 수치 해법
Syllabus
| 지원자는 다음을 할 수 있어야 한다: | 참고 사항 및 예시 |
|---|---|
| 그래프적 고찰 및/또는 부호 변경 검색을 통해 방정식의 근을 대략적으로 locating한다. | 예시: 근이 존재하는 두 연속 정수 쌍을 찾는 경우. |
| 방정식의 근에 수렴하는 근사 수열의 개념을 이해하고, 그 표기법을 사용한다. | |
| 주어진 단순 반복 공식 $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$가 해결하려는 방정식과 어떻게 관련되는지 이해하고, 주어진 반복 또는 주어진 방정식의 변형에 기반한 반복을 사용하여 지정된 정확도까지 근을 구할 수 있다. | 수렴 조건에 대한 지식은 포함되지 않지만, 반복이 수렴하지 않을 수 있다는 이해는 요구된다. |
출처: Cambridge International syllabus
많은 방정식은 정확히 풀리지 않습니다. 두 가지 아이디어가 근(해)을 찾는 데 도움이 됩니다.
- 부호 변화: $f(a)$와 $f(b)$의 부호가 서로 다르고(그래프 사이에 단절이 없는 경우), 근은 $a$과 $b$ 사이에 존재합니다.
- 반복법: 방정식을 $x = F(x)$ 형태로 변형한 뒤, 반복 공식 $x_{n+1} = F(x_n)$을 사용합니다. 첫 추정치 $x_0$에서 시작하여 반복하십시오. 값들이 수렴하면 안정화되어 근으로 수렴합니다. 요청된 정밀도까지 답이 일정해질 때까지 계속 하십시오.
해설 예제. 방정식의 근 $\beta$이 $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$과 $-1.4 < \beta < -1.0$을 만족한다. 반복 공식 $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$에 $x_0 = -1.2$를 사용하여 구하시오.
$$x_1 = \sqrt[3]{-2(-1.2) - 4.5} = \sqrt[3]{-2.1} = -1.281, \qquad x_2 = \sqrt[3]{-2(-1.281) - 4.5} = -1.247, \quad \ldots$$
값들이 $-1.26$ 근처에서 안정화되므로, 답은 (유효숫자 3개) $\beta = -1.26$입니다.
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근(root)은 어디에 있습니까?
y = ax³ + bx² + cx + d
근은 곡선이 0을 가로지르는 지점입니다. f(x)의 **부호 변화(sign change)**는 두 x값 사이에 근이 존재함을 의미합니다.
어휘
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| English | 한국어 |
|---|---|
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | 부호 변화 |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 반복(iteration) |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | 반복 공식 |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | 수렴 |
2.6
시험 팁
- 로그의 법칙을 사용하여 방정식을 풀고, $\ln$와 $e^x$이 역함수임을 기억하십시오.
- 수치 방법에서는 근을 찾기 위해 부호 변화를 보여주고, 반복법을 명확히 정리하며, 명시된 정밀도에 따라 답을 제시하십시오.
- 연쇄, 곱 및 나눗의 법칙을 외우고, 함수에 어떤 법칙이 필요한지 식별하십시오.
- 절댓값 방정식 $|f(x)| = g(x)$를 풀 때는 양수 및 음수 경우를 모두 고려하고, 스킷을 그려 확인하십시오.
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