電気回路

電流とは、電荷運搬体の流れのことである。金属中では、電荷運搬体は負の伝導電子であり、電解液中では正と負のイオンである。半導体中では、電荷運搬体は電子または「ホール」である可能性がある。慣用電流の方向とは、正の電荷が流れるべき方向であり、実の電子の流れとは逆である。

電荷

電荷は量子化されている：最小の自由電荷単位は素電荷である

このシラバス上のすべての自由電荷は、$e$の整数倍である。電荷の単位はクーロンであり、$\text{C}$である。

したがって、粒子は$4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$（電子3個分）または$-2.4 \times 10^{-18}\ \text{C}$（15個分）の電荷を運ぶことができるが、$1.1 \times 10^{-19}\ \text{C}$や$6.4 \times 10^{-20}\ \text{C}$はあり得ない。電荷運搬体に$2.5 \times 10^{-19}\ \text{C}$を与える測定セットは正しくない。なぜなら、それは$e$の倍数ではないからである。1点定義問題については：「電流とは電荷運搬体の流れである」「クーロンとは、電流が1アンペアのとき、1秒間に一点を通過する電荷量である（アンペア×秒）」「電荷運搬体は電子、陽子、イオン、または$\alpha$粒子である可以是，但中性子はあり得ない。」

電荷の流量としての電流

時間$t$で電荷$Q$が一点を通過する場合、電流は

電流の単位：アンペア、$\text{A}$ ($= \text{C s}^{-1}$)。変化する電流の場合、ある時間内に流れた電荷量は、$I$–$t$グラフの下面積である。

** worked example.** 電流$0.50\ \text{A}$が$2.0$分間流れています。通過する電荷量と、それが何個の電子に相当するかを求めなさい。（$e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$。）

同じ2つの式は、「$10$時間に$4.0\ \text{mA}$で通過する電子数」（時間を秒に変換：$N = It/e = 4.0 \times 10^{-3} \times 36\,000 / (1.60 \times 10^{-19}) = 9.0 \times 10^{20}$）と、「$6.0 \times 10^{23}$時間が$24$で通過したときの平均電流」（$I = Ne/t = 1.1\ \text{A}$）を答えるのに使えます。$\alpha$粒子のビームも電流を運ぶ：各粒子は$2e$を運ぶため、ビーム電流が$6.9 \times 10^{-9}\ \text{A}$である場合、一秒あたりの粒子数は$6.9 \times 10^{-9} / (2 \times 1.60 \times 10^{-19}) = 2.2 \times 10^{10}$である。$1 \times 10^{20}$個の電子を$30\ \mu\text{s}$で移動させる雷は、電流$Ne/t = 5.3 \times 10^{5}\ \text{A}$である。

ドリフト速度の式

断面積$A$の一様な導体において、単位体積あたりの移動電荷キャリア数が$n$（数密度）、それぞれが電荷$q$を持ち、平均ドリフト速度$v$で移動する場合、

** worked example.** 断面積$1.0 \times 10^{-6}\ \text{m}^{2}$の銅線に電流$5.0\ \text{A}$が流れている。銅は$\text{m}^{3}$あたり$n = 8.5 \times 10^{28}$個の自由電子を持っている。ドリフト速度を求めなさい。（$e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$。）

$I = Anvq$を変形すると $v = \dfrac{I}{Anq}$となる：

The electrons drift very slowly — less than a millimetre per second.

Two "show that" steps that often precede this calculation. The number density of a metal with one free electron per atom is $n = \dfrac{\text{density} \times N_{\text{A}}}{\text{molar mass}}$: for copper, $8.9 \times 10^{3} \times 6.02 \times 10^{23} / 0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\ \text{m}^{-3}$. And the time for an electron to drift the length of a wire is $t = L / v$: at $3.7 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ a $2.0\ \text{m}$ wire takes $5\,400\ \text{s}$, an hour and a half, even though the current is established almost instantly. Between them, the equation $I = Anvq$ is used as a ratio far more often than as a calculation:

• two wires in series carry the same current; if wire Y has twice the diameter of X (four times the area) and the same metal, its electrons drift at a quarter of the speed. Two wires of the same length and diameter but different metals have drift speeds in the inverse ratio of their number densities.
• 細くなる線（楔形、テーパー棒、太い strand と細い strand のケーブルなど）は、どの断面でも同じ電流を流すため、断面積が小さくなる場所ではドリフト速度が上がる：$v \propto 1/A \propto 1/r^{2}$。テーパーする線上の距離に対して$v$をプロットした図は、細い端に向かってより急勾配に上昇する曲線であり、直線ではない。
• 一定電流下、一様な導線の両端電圧は長さの比例である。なぜなら、$V = IR = I\rho L / A$が$I$、$\rho$、$A$に依存するためである。

これを使って電流を比較できる：

• 同じ$I$において、より細い線（より小さな$A$）は、より速いドリフト$v$を必要とする。
• 半導体は金属に比べて自由電荷運搬体数がはるかに少ない（$n$が小さい）ため、同じ$I$に対してドリフト速度ははるかに大きくなる。
• 直列接続の部品では、$I$はどこでも同じである。したがって、$A$が変わらずに材料が変わると、$nv$は逆に変化します。

部品の両端間の電位差（p.d.）とは、その電荷が部品を通過する際に単位電荷あたりに移転されるエネルギーである：

単位: ボルト、$\text{V}$ ($= \text{J C}^{-1}$)。

電荷$1\ \text{C}$が部品を通過する際、電気エネルギー$1\ \text{J}$が熱、光、運動エネルギー…などの他の形態に変化する場合、その両端間の電位差は$1\ \text{V}$である。

電源の起電力（e.m.f.）とは、電源が単位電荷あたりに与えるエネルギーのことです。式は電圧降下（p.d.）と同じですが、方向が異なります。起電力は電源が電荷に与えるエネルギーであり、電圧降下は電荷が素子に提供して失うエネルギーです。

試験官が認める定義：ある素子に印加される**電位差（p.d.）**とは、その素子を通る単位電荷あたりに移動するエネルギー（電気エネルギーから他の形へ）を指します。起電力（e.m.f.）とは、電源（電池の場合、化学エネルギーなど）から電気エネルギーへ変換されるエネルギーで、単位電荷あたり一連の回路を周回させるために供給されるものです。1ボルトは1ジュール/クーロンです。したがって、「$9.0\ \text{V}$」と表示されたバッテリーは、全回路に対して各クーロンあたり$9.0\ \text{J}$分の電気エネルギーを提供し、電荷と電位差の積は移動したエネルギーに等しくなります。

$V = W/Q$ と $I = Q/t$ を組み合わせると：

オームの法則 $V = IR$ を用いて:

既知の物理量を含む式を選択してください。例：

• 抵抗値が等しい2つのヒーター — 電流の大きい方がより大きな電力を持つ（$P = I^{2}R$）。
• 同じ電圧に接続された2つの抵抗器を並列に配置する場合、より小さい$R$を持つ方がより大きな電力を消費する（$P = V^{2}/R$）。
• 「$2.4\ \text{kW}, 240\ \text{V}$」と表示されたポットは、$I = P/V = 10\ \text{A}$の電流を消費し、抵抗は$R = V^{2}/P = 24\ \Omega$である。

時間$t$間に移動するエネルギーは$E = P t$である。

** worked example.** 定格$250\ \text{V}$、$50\ \text{W}$のランプPと、定格$250\ \text{V}$、$200\ \text{W}$のランプQを、$250\ \text{V}$の電源に直列に接続した。どちらが明るいか？

定格電圧におけるそれぞれの抵抗値は$R = V^{2}/P$：Pで$1250\ \Omega$、Qで$313\ \Omega$である。直列回路では同じ電流が流れるため、$P = I^{2}R$により抵抗値が大きいランプPの方がより大きな電力を消費し、「暗い」ランプほど明るくなる。一方、並列では両方の素子に同じ電圧がかかるため、$P = V^{2}/R$により抵抗値が小さいQの方が有利となる。「どの抵抗器がより大きな電力を消費するかを述べよ」という問いに対する解答は、2つの素子が共有する物理量（直列なら電流、並列なら電圧）と、それを用いる電力の式を指定することである。

** worked example.** 電源が2本のケーブル（それぞれ抵抗$0.10\ \Omega$）を通じてポットに$2.4\ \text{kW}$の電力を$240\ \text{V}$で供給している。ケーブルで失われる電力を求めよ。

電流は$I = P/V = 10\ \text{A}$なので、ケーブルは$I^{2}R = 10^{2} \times 0.20 = 20\ \text{W}$の電力を消費し、ポットには$2380\ \text{W}$が届く。ある素子を動かすための回路の効率とは、その素子の電力を電源からの総電力で割った値である。$6.0\ \text{V}$の電位差が$0.86\ \Omega$の直列抵抗にかかり、同じ電流で素子に$4.5\ \text{V}$のかかる場合、効率は$4.5 / (6.0 + 4.5) = 43\%$となる。一定電位差に接続されたサーミスタは、温度上昇に伴い$P = V^{2}/R$が低下すると同時に、$R$が増加することで電力が増加する。ポットは$250\ \text{V}$の電源から約$10\ \text{A}$の電力を消費するが、携帯電話充電器は数分の一アンペア程度である。

ある素子の抵抗$R$とは、

単位：オーム、$\Omega$ ($= \text{V A}^{-1}$)。抵抗は測定時の条件（温度など）に依存する。

オームの法則

導体がオームの法則に従うのは、条件（特に温度）が一定に保たれている限り、通じる電流が両端の電位差に比例する場合である。このような導体では$R$が一定であり、$I$–$V$グラフは原点を通る直線となる。

オームの法則は実験結果であり、定義ではない。定義$R = V/I$はあらゆる素子に適用可能だが、定数$R$を持つのはオーム的導体のみである。

採点基準：抵抗とは、素子の両端の電位差とそれに流れる電流の比を指す。オームとは、1ボルトの電位差で1アンペアの電流を生ずる素子の抵抗のこと（ボルト/アンペア）。オームの法則とは、金属導体に流れる電流は、その温度（および他の物理的条件）が一定であれば、両端の電位差に直接比例することを示す。いくつかの$I$–$V$グラフの中で、原点を通る直線だけがオームの法則に従い、原点を通らない直線や曲線はいずれも従わない。

$I$–$V$特性

これらをスケッチできるようになるべきである：

• 一定温度の金属線 — 原点を通る直線（一定の$R$）。電位差の向きを変えると電流の向きも逆になり、両方向で直線となる。
• 白熱ランプ — 原点を通り、当初は急勾配だが、$V$（および$I$）が大きくなるにつれて緩やかになる。理由：電流が増加してフィラメントが加熱され、抵抗が上昇するため、傾き$1/R$が減少する。
• 半導体ダイオード — 負の$V$や小さい正の$V$に対してほぼ電流は流れない。「オン」電圧（シリコンで約$0.7\ \text{V}$）を超えると、電流は急激に増加する。

フィラメントランプの線の形状を説明する（3点）：電流が増加すると、フィラメントの温度が上昇します。格子イオンの振動振幅が大きくなり、自由電子がそれらとより頻繁に衝突します。各衝突で電子からエネルギーが奪われるため、抵抗は増加します。グラフでは $V/I$ の比が大きくなり、勾配は低下します。「電流が減少する場合」逆に行います：温度が下がるため、抵抗も下がります。特性曲線から読み取るべき2つの要素があります。ある点における抵抗は、その点の $V/I$ であり、曲線の勾配ではありません。したがって、ダイオードの抵抗はスイッチオン電圧まで非常に大きく（実用上は無限大）、$V$ がさらに上昇するにつれて急激に低下します。また、同じ電圧にある4つのコンポーネントの中で、最小の電流を持つものが最大の抵抗を持ちます。さらに、ランプ（またはダイオード）と抵抗器が直列接続されている場合、両者は同じ電流を通し、その電圧の和になります。まずコンポーネントの曲線から自身の電圧に対応する電流を読み取り、次に $V = IR$ を用いて抵抗器の電圧を求め、電源電圧はその和となります。

比抵抗

長さ $L$ 、断面積 $A$ の均質導体において、

$\rho$ is the resistivity, a property of the material, with unit $\Omega\ \text{m}$. Doubling the length doubles $R$; doubling the area halves it; halving the diameter quarters the area and so makes $R$ four times bigger.

** worked example。** 長さ $2.0\ \text{m}$ 、断面積 $1.7 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ の銅線があり、比抵抗は $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$ です。この抵抗を求めよ。

代表的な値：室温の銅 $\rho \sim 1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$；絶縁体 $\rho \sim 10^{15}\ \Omega\ \text{m}$ 以上。

金属の比抵抗は温度の上昇とともに増加する（格子振動が増加して電子を散乱させるため）。これがフィラメントランプの$I$–$V$ 線が湾曲する理由である。

ほとんどの比抵抗問題は比率に関する問題である。ワイヤーを引き伸ばすと体積（$A \times L$）は一定であるため、長さが $k$ 倍になると、断面積は $k$ 倍小さくなり、$R = \rho L / A$ は $k^{2}$ 倍大きくなる。質量や金属種が同じで長さが3倍のワイヤーは、抵抗が9倍になる。また、直径が元の $0.940$ になったワイヤーでは、断面積は $0.884$ 倍され、長さは $0.884$ 分され、抵抗は $1/0.884^{2} = 1.28$ 倍される。

** worked example。** 抵抗 $9.6\ \Omega$ 、長さ $20\ \text{m}$ の銅製雷撃防止棒があり、比抵抗は $1.7 \times 10^{-8}\ \Omega\ \text{m}$ です。半径を求めよ。

$A = \rho L / R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20 / 9.6 = 3.5 \times 10^{-8}\ \text{m}^{2}$, and $r = \sqrt{A / \pi} = 1.1 \times 10^{-4}\ \text{m}$. Doubling the radius (same length) quarters the resistance. The other standard ratios: strands in parallel — seven identical strands share the current, so the cable's resistance is one seventh of one strand's; two wires of the same resistance where one metal has twice the resistivity need the second wire to have twice the area (a diameter $\sqrt{2}$ times larger) for the same length; a wire's resistance per unit length, $0.92\ \Omega\ \text{m}^{-1}$, multiplied by its area, $5.3 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, is its resistivity, $4.9 \times 10^{-7}\ \Omega\ \text{m}$; and a cylinder of conducting putty $60\ \text{mm}$ long and $20\ \text{mm}$ across, or a cube of side $a$ ($R = \rho a / a^{2} = \rho / a$), uses the same $R = \rho L / A$ with the shape's own length and end area. When the wire is held under tension, $R_{0} = \rho L / A$ still gives its resistance, and a stretch that lengthens it and thins it raises $R$ for both reasons. Because $\rho = RA/L = R\pi d^{2}/(4L)$, the percentage uncertainty in a measured resistivity is the sum of the percentage uncertainties in $R$ and $L$ plus twice that in $d$.

光依存抵抗素子（LDR）とは、光強度が増加するにつれて抵抗が低下する半導体です。明るい光の下では $R$ が数数百 $\Omega$ 程度になることがあり、暗所ではメガオーム単位数になることもあります。LDRは光検出回路（街灯、カメラの露光計など）に使用されます。ここでは光強度が抵抗を制御します。

このカリキュラムにおいて、サーミスタは負の温度係数を持ちます。つまり、温度が上昇するにつれて抵抗が低下するという性質です。これは温度検知に有用であり、電圧分割回路に組み込むことで、出力電圧が温度に応じて変化します。

これは金属とは逆です。半導体では、熱エネルギーが増えることでより多くの電荷キャリアが遊離し、これが余分な散乱よりも影響が大きくなります。

サーミスタの抵抗と温度の関係の概略図は、$R_{0}$から$0\ °\text{C}$始まり、平坦化する曲線を描いて下降します。この下降は直線的ではないため、サーミスタを温度計として使う際の欠点となります（スケールが均一でないため、校正が必要です）。LDRの照度が上がったり、サーミスタが温まったりすると、その抵抗は低下し、回路内の電流は増加します。また、固定抵抗器と直列接続されている場合、その両端電位差（p.d.）は低下しますが、抵抗器側の電位差は増加します。一定温度の固定抵抗器や金属線は抵抗を変えず、フィラメントランプの抵抗は電流とともに上昇します。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• $I = Q/t$、$V = W/Q$（単位電荷あたりのエネルギー）、$P = VI = I^2 R = V^2/R$を使用すること。
• オームの法則（$V = IR$） は、一定温度のオーム性導体にのみ適用されます。フィラメントランプは非オーム性です。
• 抵抗器、フィラメントランプ、ダイオードの $I$-$V$特性 を描き、解釈すること。
• LDR の抵抗は光に対して低下し、サーミスタ の抵抗は温度上昇に対して低下します。

一般的なミス

• 曲線の$I$–$V$グラフの傾きから抵抗を求める。抵抗は点における$V/I$であり、原点を通る直線の場合に限り、傾きの逆数となる。
• 時間を分や時間単位で$Q = It$のまま残さないこと。まず秒に変換すること。
• フィラメントランプの抵抗が「電圧のために」上昇すると述べるのは誤り。因果関係は「電流→温度→イオン振動→衝突増加→抵抗増加」の順である。
• 伸びた導線が2つの変化をすることを忘れないこと。体積一定であれば、長さが増加するにつれて断面積は減少するため、$R \propto L^{2}$となる。
• $A = \pi r^{2}$において直径を半径として使用したり、$\text{mm}^{2}$の変換を行わなかったりする。
• 異なる形式のパワーを比較する。直列接続の素子は電流を共有するため$I^{2}R$を使用し、並列接続の素子は電位差を共有するため$V^{2}/R$を使用する。