波

波は物質そのものを移動させずに、ある場所から別の場所へエネルギーを運ぶ。媒質の粒子は固定された平衡位置の周りに振動するのみで、唯有その乱れ（とエネルギー）が伝播する。例：ロープ上の横波、スプリング上の縦波、水面の波紋、空気中の音。移動しながらエネルギーを運ぶ波を進行波という。

波動運動とは、媒質の粒子の一連の振動のことで、各粒子が乱れを次の粒子に受け渡していく現象である。ロープの片端を揺らしたり、スプリングの片端を押したり、リプルタンク内の水面に触れたりすると、振動は発生した地点から遠ざかって伝わる。1点問の定義としては、進行波はある場所から別の場所へエネルギーを運ぶものであり、物質自体は移動せず、粒子は平衡位置の周りに振動するだけである。

重要用語

• 変位 $y$ — 特定の瞬間において、ある粒子が平衡位置からどれだけ離れているかを示す量。ベクトルである。
• 振幅 $A$ — 平衡位置からの最大変位。
• 波長 $\lambda$ — 波の進行方向において、位相が同じ2点（例えば隣り合う2つの山）の間の最小距離。
• 周期 $T$ — 1つの完全な振動にかかる時間。
• frequency $f$ — the number of full oscillations per second; $f = 1/T$. Unit: hertz, $\text{Hz}$.
• 波速 $v$ — 山が媒質内を移動する速さ。
• 位相差 — 1つの振動が他方に対して周期の何分のいくつだけ先行するか、あるいは遅れるかを示す割合。ラジアンで表される（完全な周期は $2\pi$）か、度で表される（完全な周期は $360°$）。

波長分だけ離れた2点は位相が同じ（位相差が 0 または $2\pi$）。半波長分だけ離れた2点は位相が正反対（位相差が $\pi$）。

変位-距離グラフから2点の位相差を求めるには、その2点間の距離を波長で割り、$360°$（または $2\pi$）をかける。波長が $2.0\ \text{m}$ の波において、$0.50\ \text{m}$ だけ離れた2点の位相差は $0.25 \times 360° = 90°$ となる（$v = 600\ \text{m s}^{-1}$，$f = 300\ \text{Hz}$）。周期の分数部分のみが重要であるため、$450°$ は $90°$ と等価である。変位-時間グラフからは、山と山の間の時間シフトを周期に対する分数として読み取る。グラフの示す瞬間に、ある点はどのように動いているか？全体のプロファイルが進行するため、各点は波の来ている側の隣接点の現在の変位を取り込む。山や谷にある点は一時的に静止している。

** worked example.** 弦上の点RとTは$0.62\ \text{cm}$離れており、位相が¼周期異なる。波速は$0.27\ \text{m s}^{-1}$である。周波数を求めよ。

A quarter of a cycle is a quarter of a wavelength, so $\lambda = 4 \times 0.62 = 2.5\ \text{cm}$ and $f = v / \lambda = 0.27 / 0.025 = 11\ \text{Hz}$.

波動方程式

1周期 $T$ で、波は1波長 $\lambda$ だけ進行する。したがって、速さ $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$ ：

これは速さ、周波数、波長の定義から直接導かれ、進行波すべてに適用される。2点満点の問題では両方の手順を書くこと：1周期 $T$ で波は1波長 $\lambda$ 進むため、$v = \lambda / T$ ；また $f = 1/T$ 因此 $v = f\lambda$ 。媒質によって $v$ が固定されるため、周波数が高いほど波長は短くなる。周期に関する問題は同じ式を逆順に用いる：波長が $460\ \text{nm}$ の光は $f = c / \lambda = 6.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ および $T = 1/f = 1.5 \times 10^{-15}\ \text{s}$ を持つ。

CROトレースの読み取り

陰極線オシロスコープ (CRO) は、電圧信号（音の場合はマイク出力など）を時間軸に対して描く。2つのコントロールが重要：

• タイムベース（秒/目盛）: スクリーンの水平距離を時間に換算します。 $T$ の周期は、隣り合う2つの山間の距離として読み取ります。次に $f = 1/T$ 。
• Yゲイン（ボルト/目盛上向き）: 垂直距離を電圧に換算します。振幅（ボルト）は中心線からの山の最高点の高さです。

タイムベースが $5\ \text{ms}/\text{div}$ で、1周期が $4$ 目盛りにわたる場合、 $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$ であり、 $f = 50\ \text{Hz}$ となる。

タイムベースはスクリーン上で1目盛り（または1cm）あたりに表される時間のことで、$\text{s}\ \text{div}^{-1}$である。特定の信号に対して設定するには逆算する。周波数$2000\ \text{Hz}$の音には周期$T = 0.50\ \text{ms}$があり、1周期が$2.5\ \text{cm}$にまたがるようにするためにはタイムベースを$0.50 / 2.5 = 0.20\ \text{ms cm}^{-1}$に設定する。振幅については、目盛りのピーク高さをyゲインで掛ける：$2.0$目盛りが$3.5\ \text{mV cm}^{-1}$の場合、振幅は$7.0\ \text{mV}$である。同じ周波数で音の強さが¼になった場合、トレースは周期を保ち、ピークの高さは半減する。なぜなら$I \propto A^{2}$だからである。

波の強度

波はエネルギーを運ぶ。強度とは、進行方向に垂直な単位面積を通過する電力のこと：

単位：$\text{W m}^{-2}$ 。

強度は振幅の二乗に比例する：

点源が全方向に均等にエネルギーを放出する場合、波面は球となり、距離 $r$ における表面積は $4\pi r^{2}$ なので、

Doubling the distance cuts the intensity to a quarter, which means the amplitude is halved (since $I \propto A^{2}$).

worked example. ランプが全方向に均等に $60\ \text{W}$ の光を放射している。光が $2.0\ \text{m}$ 離れた地点での強度を求めよ。

worked example. 電力 $750\ \text{W}$ の光が、辺長 $1.2\ \text{m}$ の正方形太陽電池に垂直に入射する。強度を求めよ。

$I = P/A = 750 / 1.2^{2} = 520\ \text{W m}^{-2}$ 。より小さなパネルは同じ光を受けて同一の強度を受けるが、面積に比例して電力は少ない。逆に、半径 $r$ の拡大鏡は電力 $I \times \pi r^{2}$ を集めて小さな点に集中させる。

選択式問題の2つのルールがある。$I \propto A^{2}$であるため、2つの強さの比は振幅の比の二乗となる。振幅$3.0\ \text{cm}$と$2.0\ \text{cm}$の波の強さの比は$2.25$であり、振幅が半分になると強さは¼になる。点源に対して、$I \propto 1/r^{2}$は$A \propto 1/r$を意味するため、$A/A_{0}$対$d/x_{0}$のグラフは直線ではなく$1/d$のように減少する曲線となる。解答例が求める1行の文：「強さは振幅の二乗に比例する」。

横波

粒子の振動方向はエネルギーの伝搬方向に対して垂直である。ロープ上の波、すべての電磁波、および地震のS波は横波である。

縦波

粒子の振動方向はエネルギーの伝搬方向に対して平行である。あらゆる媒体中の音、地震のP波、スプリングの圧縮部は縦波である。この波は密部（圧力が高く、粒子が密集している）と稀部（圧力が低く、粒子が広がっている）から構成される。

波のグラフ

ある瞬間における「粒子の変位対位置」のグラフは、どちらの波でも正弦曲線のように見える。違いは、横波では変位軸が実際の左右の変位を表すのに対し、縦波では移動方向に沿った小さな前後の変位を表すことである（正の方向と負の方向）。

縦波において、右向きを変位を正とする。グラフが正から負へとゼロを横切る地点では、両側の粒子がその点へ向かって移動しているため、それは密部である。逆に、負から正へとゼロを横切る地点では粒子が離れているため、稀部である。隣り合う2つの密部の間隔は1波長であり、密部と次の稀部の間隔は半波長である。粒子の運動方向は横波と同じ規則に従う：波の来ている側にある隣りの粒子の変位の方向へ移動する。

空間内の一点における「変位対時間」のグラフも、どちらの波でも正弦曲線となる。このグラフから周期$T$を読み取る。

エネルギー伝搬の方向に言及した2点比較問題：横波では振動がエネルギー伝搬方向に対して垂直、縦波では平行である。どちらも物質を移動させずにエネルギーを伝搬し、反射・屈折・回折を起こすことができ、定常波（トピック8）を形成できる。偏光できるのは横波のみであり、真空中を伝搬できるのもすべて横波である電磁波のみである。音には媒質が必要である。2つのグラフを併せて読む場合：変位-距離グラフから$\lambda$、変位-時間グラフから$T$、そして$v = \lambda / T$が読み取れる。

波源が静止する****観測者に対して相対的に動くとき、聞こえる周波数は波源の周波数と異なる。これをドップラー効果という。

• 観測者に近づく波源: 前方の波面が圧縮されるため波長は短くなり、聞こえる周波数は高くなる。
• 観測者から遠ざかる波源: 後方の波面が広がるため波長は長くなり、聞こえる周波数は低くなる。

公式（波源が観測者に向かう直線上に速度$v_{\text{s}}$で移動、波速$v$、波源周波数$f_{\text{s}}$、聞こえる周波数$f_{\text{o}}$）:

物理的な状況に合わせた符号を選ぶ：

• 波源が観測者に近づく場合は分母にマイナス符号（$f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$）、
• 波源が遠ざかる場合はプラス符号（$f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$）。

静止する観測者のケースのみが必要である。

** worked example.** 車 horn が $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ にあり、静止した聴き手に向かって $30\ \text{m s}^{-1}$ で移動している。音の速さ $v = 340\ \text{m s}^{-1}$ ：

Moving away at the same speed, the listener hears $340 \times 800 / (340 + 30) = 735\ \text{Hz}$: the frequency is constant while the car approaches, drops as it passes, and is constant again, lower, as it recedes. A sketch of observed frequency against time for a source passing at constant speed is two level lines joined by a fall. Working backwards, a source of $1200\ \text{Hz}$ heard as $960\ \text{Hz}$ is moving away ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$): $960 = 1200 \times 340 / (340 + v_{\text{s}})$ gives $v_{\text{s}} = 85\ \text{m s}^{-1}$. A buzzer swung in a horizontal circle at $25\ \text{m s}^{-1}$ while emitting $846\ \text{Hz}$ is heard between $846 \times 330 / 355 = 786\ \text{Hz}$ (moving directly away) and $846 \times 330 / 305 = 915\ \text{Hz}$ (moving directly towards), once each per revolution. If the period of a CRO trace of the sound rises continuously, the observed frequency is falling: the source is moving away with increasing speed. The Doppler effect happens for all waves, light included (topic 25); only the sound formula is examined here.

すべての電磁波（EM波）は横波であり、真空中を同じ速さで進行する：

電磁スペクトルには、无线电波、マイクロ波、赤外線、可視光、紫外線、X線 X および $\gamma$-線 γ が含まれる。

自由空間における概略的な波長の範囲（桁数を暗記すること）：

• 无线电波：$> 10^{-1}\ \text{m}$ （最大何kmにも達する）。
• マイクロ波：$10^{-3}\ \text{m}$ から$10^{-1}\ \text{m}$ 。
• 赤外線：$\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ から$10^{-3}\ \text{m}$ 。
• 可視光：$400\ \text{nm}$ （紫）から$700\ \text{nm}$ （赤）、つまり$4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ から$7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 。
• 紫外線：$\sim 10^{-8}\ \text{m}$ から$4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ 。
• X線：$\sim 10^{-11}\ \text{m}$ から$10^{-8}\ \text{m}$ 。
• $\gamma$-線：$< 10^{-11}\ \text{m}$ 。

領域間の境界は明確ではない。 $c = f\lambda$ を用いて波長と周波数の間を変換できる。波長が $400$–$700\ \text{nm}$ の光のみが可視光である。

領域を識別するには、$\lambda = c / f$ を用いて波長に変換して範囲と比較する：$2.1\ \text{cm}$ はマイクロ波であり、$138\ \text{pm} = 1.4 \times 10^{-10}\ \text{m}$ はX線であり、$30\ \text{THz}$ は$\lambda = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}$ 、赤外線を与え、$3.0 \times 10^{16}\ \text{Hz}$ は$1.0 \times 10^{-8}\ \text{m}$ 、紫外線を与える。可視光は約$4.3 \times 10^{14}$ から$7.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ の周波数範囲を占めるため、$5.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ の波は見えるが、波長$5.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$ （赤外線）の波は見えない。赤色光は緑色光より波長が長く、周波数が低い。「波長が増加する順」のリストは、$\gamma$-線、X線、紫外線、可視光、赤外線、マイクロ波、无线电波となる。壁から反射される光パルスが$150\ \text{m}$ 離れて返ってくるまでには$2 \times 150 / (3.00 \times 10^{8}) = 1.0\ \mu\text{s}$ かかる。

偏光とは、横波を単一平面でのみ振動させることを意味する。

• 横波のみが偏光できる——振動は進行方向に垂直であるため、異なる垂直な平面が実在する選択肢となる。
• 縦波（音）は偏光できない——振動は進行方向に沿うため、他の平面は存在しない。

したがって偏光はテストとなる：ある波が偏光できるなら、それは必ず横波である。

マルスの法則

強度 $I_{0}$ の平面偏光光が、偏光面に対して角度 $\theta$ で透過軸を持つ偏光フィルターを通過する。透過された強度はマルスの法則によって与えられる：

• $\theta = 0°$ ：フィルターが偏光方向と揃っており、$I = I_{0}$ 、すべて透過する。
• $\theta = 90°$ ：フィルターが直角に配置され、$I = 0$ 、すべて遮断される。
• $\theta = 60°$: $I = I_{0} \cos^{2} 60° = I_{0} \cdot 0.25 = I_{0}/4$.

** worked example.** 強度 $12\ \text{W m}^{-2}$ の平面偏光光が、偏光面に対して $30°$ の軸を持つ偏光フィルターに出会う。透過された強度を求めよ。

For two filters in a row, use Malus's law twice with the angle between each pair. Be careful with the angle each time — after the first filter the polarisation is along that filter's axis, and the second filter's angle is measured from there.

（非偏光波に対する偏光フィルターの影響を計算する必要はない。）

偏光板を平面偏光に対して$360°$回転させると、透過強度は$\cos^{2}\theta$に従って変化します。透過軸が偏光面と平行なとき最大（$0°$および$180°$）、垂直なときゼロ（$90°$および$270°$）となり、負になることはありません。$I \propto A^{2}$であるため、透過振幅は$A_{0}\cos\theta$です：$45°$で強度は半減し、振幅はその値の$0.71$になります。2枚の偏光板の場合、最初の板が自身の軸に沿った偏光面を設定するため、2枚目の板の角度はこの軸から測られます。垂直偏光光が$50°$然后通过$80°$の偏光板を通り抜けると、その強度の$\cos^{2} 50° \times \cos^{2} 30° = 0.31$が残ります。1点定義問題：偏光とは、進行方向を含む単一平面での横波の振動のことです。音波の振動は進行方向に一致しているため偏光できず、選別できる平面が存在しません。

時間の経過に伴う波動運動の読み取り

• 点$-A$と$+A$の間を往復振動する粒子は、1周期あたりの移動距離の合計は**$4A$**である。$n$周期にわたって、$D=4nA$となる。これは粒子の移動であり、波の移動ではない。
• $n$ 周期の間に、波は $s=n\lambda$ を進み、時間は $t=nT=n/f$ である。
• $T/4$ 後、進行波のプロファイルは伝搬方向に $\lambda/4$ 移動する。定在波のプロファイルは節を動かさずに高さが変化する：横にずらさないこと。
• 偏光子が入射偏光に垂直な状態から$\phi$回転する場合、偏光との角度は$90^\circ-\phi$となり、$I=I_0\sin^2\phi$となる。

** worked example.** 振幅3.0 mmの粒子が4周期完了する。$D=4nA=4\times4\times3.0=48\ \text{mm}$。周波数25 Hzの波がその周期を完了するのに$t=n/f=4/25=0.16\ \text{s}$かかる。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• 変位、振幅、波長、周期、周波数を正確に定義し、**$v = f\lambda$**を使用すること。
• 横波（振動が進行方向に垂直）と縦波（平行）を区別すること；偏光できるのは横波のみである。
• ドップラー効果において、波源が近づくと観測周波数は上昇し、遠ざかると低下する。
• 電磁波スペクトルの順序を暗記すること；すべての電磁波は真空中で$c$で伝搬する。

一般的なミス

• 1サイクルを超える位相差や、ラジアンを求められたのに度数を答えるミス。重要なのはサイクルの分数だけである：$450°$は$90°$であり、$90°$は$\pi/2$である。
• 変位-時間グラフから波長を読み取る誤り。このグラフからは周期しか得られず、波長は変位-距離グラフから求める。
• 振幅を倍にして「強度も倍にする」誤り。強度は振幅の二乗に比例するため、4倍になる。
• ドップラーの符号を直感で選ぶミス。近づく場合は分母がマイナス（周波数上昇）、遠ざかる場合はプラス（周波数低下）。答えが$f_{\text{s}}$の正しい側にあるか確認すること。
• 2番目の偏光板には最初の偏光板の角度を使用します。偏光板を通過した光はその偏光板の軸に沿って偏光されるため、次の角度はそこから測られます。
• 音波が偏光できると答えるミス。横波のみが偏光できる。