固体の変形

固体に長手方向に力が作用すると、物体は形状を変化させる（変形）。ここでは一次元的な2つのケースとして扱う：

• 引張力 は物体を引き伸ばす — 伸び $x$ を生じさせる。
• 圧縮力が物体を押し潰し、圧縮を生じさせる（負の伸びとして扱われる）。

加えられた力は荷重と呼ばれる。自然長からの変化が伸び（または圧縮）である。

どちらも自然長（未伸長時）から測定され、荷重をかけた後の長さからは測定されない。箱を載せたバネの図では、バネが短くなった距離が圧縮である。バネ自身の質量は通常**無視できる（negligible）**とされるため、バネに働く力は荷重とバネが示す張力のみである。

多くの材料において小規模な伸びでは、伸びは荷重に比例する。これをフークの法則という。これらをつなぐ定数がバネ定数 $k$ である：

$k$ の単位：$\text{N m}^{-1}$。

** worked example. ** バネに $2.0\ \text{N}$ の荷重をかけると $4.0\ \text{cm}$ 伸びる。このバネのバネ定数を求めよ。

伸びをメートルに変換する（$4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$）：

1点「フークの法則を述べる」問題では、言葉で記述する：「比例限界を超えない限り、伸びは加えた力（荷重）に直接比例する。」 バネ定数は「単位伸びあたりの力」であり、選択肢の紛らわしい正解（distractors）には「単位力あたりの伸び」（つまり $1/k$）や $\tfrac{1}{2}Fx$ （蓄積されたエネルギー）がある。

グラフの読み取り：

• 力-伸び（$F$ 対 $x$）グラフの、フークの法則領域における傾きは $k$ である。
• 伸び-力（$x$ 対 $F$）グラフの、フークの法則領域における傾きは $1/k$ である。

よくある罠：グラフが力に対して長さ $L$ をプロットしている場合でも、傾きからバネ定数を求めることができる（なぜなら $L = L_{0} + F/k$ 、傾きは $1/k$ であるため、注意して読み取ること）。

** worked example. ** バネに $0.80\ \text{N}$ の力をかけると $90\ \text{mm}$ の長さになり、$1.30\ \text{N}$ の力をかけると $115\ \text{mm}$ の長さになる。バネ定数と未伸長時の長さを求めよ。

追加の力 $0.50\ \text{N}$ が追加の伸び $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$ を生じるので、$k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$ 。$0.80\ \text{N}$ のとき、伸びは $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$ であるため、未伸長時の長さは $90 - 40 = 50\ \text{mm}$ となる。長さ対力のグラフにおいて、長さ軸との切片は $L_{0}$ 、傾きは $1/k$ であり、バネを伸ばす際にした仕事は力軸までの全体の面積ではなく、レベル $L = L_{0}$ と直線の間の三角形である。レベル $L_{0}$ 以下の長方形は未伸長時の長さ×力であり、物理的な意味を持たない。

比例限界

フークの法則は比例限界までしか成立しない。この点を過ぎると、 $F$ 対 $x$ の直線は曲がり、それ以上直線的ではなくなる。荷重を外した時に元の長さに戻ることがあるため、まだ弾性体であることが多少先にあるかもしれないが、その後塑性変形となる。

直列・並列のバネ

バネ定数の合成が必要なことがある：

• 直列（一つのバネがもう一つのバネの下に吊り下げられている）：同じ荷重が両方のバネを通り、合計の伸びは和となるため、 $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$ 。
• 並列（二つのバネが横並びで同じ荷重を支えている）：バネが同一であれば各々が荷重の半分を受け持ち、伸びは等しいため、 $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$ 。

** worked example. ** バネ定数が $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ と $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ のバネを端同士につなぎ、その下に $80\ \text{N}$ の荷重を吊り下げた。合計の伸びを求めよ。

各ばねは完全な $80\ \text{N}$ を受け持っており、その伸びは $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ と $80/4.0 = 20\ \text{cm}$ である。合計は $33\ \text{cm}$ （$1/k = 1/6.0 + 1/4.0$ による $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ と同じ値）。同一の三つのばねにおいて、最も大きな合成ばね定数はすべて並列の場合（$3k$）、最も小さいのはすべて直列の場合（$k/3$）である。二つの同一のばねが並列に配置され荷重を分担する場合、各ばねは力の半分を受け持ち、したがって全荷重を支える単一のばねのエネルギーの四分の一を蓄える。ペア全体では単一ばねの半分分のエネルギーを蓄える。$\text{N cm}^{-1}$ におけるばね定数は、$\text{N m}^{-1}$ の同じ定数の $100$ 倍小さい。問題が求めている単位を付記すること。

引張荷重を受ける均一断面積のワイヤーについて：

• 応力 $\sigma = \dfrac{F}{A}$、ここで $F$ は荷重、$A$ は 断面積 です。単位：$\text{Pa}$。
• ひずみ $\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$、ここで $x$ は伸び、$L_{0}$ は元の長さです。ひずみには単位がありません（長さの比だからです）。

1点定義式については：応力は単位断面積あたりの力（面に垂直に働く力）、ひずみは単位元の長さあたりの伸びです。応力の単位 $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$ は基本単位で $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ です。丸いワイヤーの断面積は直径 $d$ から導かれます：$A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$。$d$ に $r$ を代入すると、断面積が4倍大きくなります。$\text{mm}^{2}$ を $\text{m}^{2}$ に変換するには $10^{-6}$ を用います。

** worked example（例題）。** 断面積が $3.2\ \text{mm}^{2}$ のワイヤーに $18\ \text{N}$ の引張力が働いています。応力を求めよ。

$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$。同じ力がワイヤー全体に作用するため、片側直径が $2d$ 、もう片側が $d$ のボルトでは、細い端で4倍の応力（$\sigma \propto 1/d^{2}$ ）が生じ、半径が3倍のワイヤーでは応力が9分の1になります。

ヤング係数 はフークの法則領域における応力とひずみの比です：

単位：$\text{Pa}$ （金属については約 $10^{11}$ ；例：鉄 $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa）。

** worked example（例題）。** 長さが $2.0\ \text{m}$ 、断面積が $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ の鉄線に $15\ \text{N}$ の荷重がかかり、$1.0\ \text{mm}$ 伸びました。ヤング係数を求めよ。

ヤング係数は 材料 の性質であり、ワイヤーの形状やサイズには依存しません。ばね定数 $k$ は材料とサイズの両方に依存します：$k = EA/L_{0}$ 。

1点問の定義として：ヤング率とは、比例限度内で変形した材料における応力とひずみの比である（材料に固有の値であるため、同じ金属の太いワイヤーでもヤング率は等しい）。負荷が同じでも断面積が大きいため伸びが小さいのは、金属自体が硬いからではない。"$k = EA/L_{0}$を示せ"という問題では2行の式$k = F/x$と$E = FL_{0}/(Ax)$を導き、$E = kL_{0}/A$とする。なお、フークの法則が成立する限り、ワイヤーのばね定数は力の大きさに関わらず一定であり、また同じ金属で直径が2倍のワイヤーはばね定数が4倍になる。

** worked example（例題）。** 長さが $1.7\ \text{m}$ 、直径が $0.64\ \text{mm}$ でヤング係数が $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$ の銅線があります。ばね定数を求めよ。

$A = \pi (0.32 \times 10^{-3})^{2} = 3.2 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ 、したがって $k = EA/L_{0} = 1.2 \times 10^{11} \times 3.2 \times 10^{-7} / 1.7 = 2.3 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ 。

応力-ひずみグラフにおいて、直線部分の傾きは $E$ である。したがって、同じ軸上に描かれた二つの材料のうち、傾きが急な線ほど硬い材料であり、ヤング率が二倍のワイヤーは原点を通る傾きの二倍の線で描かれる。力-伸びグラフにおいて、傾きは $EA/L_{0}$ であり、ヤング率は傾きに $L_{0}/A$ を掛けたものである。傾きが$E$ そのものとなるのは応力-ひずみグラフのみである。

金属線のヤング係数を求める実験

標準的なセットアップ：

1. 長い細いワイヤーの一端を固定台にクランプする。ベンチ端にある プーリ を通してワイヤーをまっすぐ下に垂らす。
2. メートル定規を用いて、クランプとプーリ付近の目盛りとの間の元の長さ $L_{0}$ を測る。
3. マイクロメータを用いて、ワイヤーの 直径 $d$ を複数の位置で測り平均を取る。$A = \pi d^{2}/4$ を計算する。
4. 砝码を一つずつ吊るす。荷重 $F$ と伸び $x$ （固定スケールに対する目盛りの移動距離）を記録する。
5. Plot $F$ against $x$. In the straight region the gradient is $EA/L_{0}$, so $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.

なぜ 長く細い ワイヤーなのか？ 伸びを十分に大きくして正確に測定するためである。なぜ複数回読み取り、複数の位置で $d$ を測るのか？ ランダム誤差 を減らし、ワイヤーが均一であることを確認するためである。

"実験を説明する"回答では、測定した物理量とその方法（$L_{0}$でメーター定規を用いる；$d$でマイクロメータを複数の点で用いる；質量からの荷重またはニュートンメータ；固定スケールに対するマーカーの読み取り、あるいはバーニエ目盛りによる伸長）、グラフ（$F$対$x$、傾き$EA/L_{0}$、または応力対ひずみ、傾き$E$）および注意事項（ワイヤが切断した場合に備めた安全ゴーグル、くびれを直すための小荷重、およびワイヤが弾性域内に留まっていたか確認するため、加荷時だけでなく減荷時の读数も取得すること）において点数を獲得します。

荷重が増加するにつれて：

1. 弾性かつ直線（フックの法則に従う） — 比例限界まで。荷重を除去すると物体は元の長さに戻る。
2. 弾性だが曲線状 — 比例限界と弾性限界の間。荷重に対する伸長は直線でなくなるが、減荷時に物体は依然として元の長さに戻る。
3. 塑性 — 弾性限界を超えた後。減荷時に物体は元の長さに戻らず、永久な伸長が残る。

フックの法則は直線的な弾性領域でのみ成立する。

言葉で説明すると：弾性変形とは荷重を除去した際に物体が元の長さ（または形状）に戻ることを意味し、塑性変形とはそうではなく、永久な伸長が残ることを意味する。弾性限界は変形がまだ弾性である最大荷重（または伸長）であり、比例限界はそれを超えると伸長が荷重に比例しなくなる点である。グラフ上で比例限界とは、線が直線を失う地点である。弾性限界はそれより少し先にあり、加荷曲線だけでは読み取れない。したがって「どの記述が必ず正しいか」の問題において、直線部分の終端は比例限界であるが、それ以降の点が弾性限界か破断点かは加荷曲線の形状からは判断できない。

材料を塑性領域まで引張って減荷した際の力-伸長グラフにおいて、加荷曲線と減荷曲線は異なる。減荷曲線は最初のフックの直線と平行であるが、右へシフトしており（荷重がゼロになったときに残る永久伸長）、加荷曲線と減荷曲線の間の面積は材料内で熱エネルギーに変換されたエネルギーである。

ゴムバンドもまた異なる加荷・減荷曲線を持つが、元の長さに戻る：その変形は弾性である。2つの曲線の間の面積もまた熱エネルギーとして散逸したエネルギー（弾性ヒステリシス）であり、減荷時に回復されるエネルギーは下側の曲線下の面積である。2点満点の「なぜワイヤを引き伸ばす際に行われた仕事は、力が除去された際に回復されるエネルギーと等しくないか」の解答では、ワイヤが弾性限界を超え、一部の変形が塑性となり永久な伸長が残ったこと、および行われた仕事の一部分がワイヤ内で熱エネルギーとなったことを述べる。

材料を$0$から伸長$x$まで引き伸ばし、荷重が$0$から$F$まで増加する際に行われた仕事は、力-伸長曲線下の面積である。

なぜ面積か：仕事は力×移動距離であるが、ここでは材料が伸びるにつれて力が増加するため、仕事は多数の小さな伸長における$F\,\Delta x$の総和、つまり曲線下の面積となる。比例限界内では力は$0$から$F$まで均等に上昇するため、平均力は$\tfrac{1}{2}F$、仕事は$\tfrac{1}{2}Fx$となる。力-伸長グラフにおける傾きはばね定数である。

フックの法則に従う材料

フークの法則が成り立つ場合、$F$ 対 $x$ のグラフは原点を通る直線となる。$0$ から $x$ までの下の面積は三角形である。

これは比例限界内で引き伸ばされたばねやワイヤに蓄えられる弾性ポテンシャルエネルギーである。同等の形式：

** worked example.** ばね定数$50\ \text{N m}^{-1}$のばねを比例限界内で$0.20\ \text{m}$だけ引き伸ばした。蓄えられた弾性ポテンシャルエネルギーを求めよ。

** worked example.** ばね定数$2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$のワイヤーが既に$2.0\ \text{mm}$だけ伸びている。その伸びを$3.0\ \text{mm}$まで増やすために必要な仕事量を求めよ。

蓄えられるエネルギーは $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ から $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$ に増加する：

これは2つの延長線間の直線下の台形であり、 $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$ ではありません。 $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ が固定された $k$ の場合、ワイヤーの伸びを倍にするとエネルギーは4倍になります（ $0.65\ \text{J}$ は $2.6\ \text{J}$ へ）。保存されたエネルギーから伸び $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$ を求めると、 $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ のバネが $0.32\ \text{J}$ を保存する場合、 $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$ だけ圧縮されます。両端をつなげた2本のワイヤーでは張力が等しいため、各ワイヤーの伸びを用いた総保存エネルギーは $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ です。

フークの法則に従わない材料

グラフが直線でない場合（伸長されたゴム紐や、比例限度を超えたばねなど）、格子目分の正方形の数を数えるか、**台形（trapezia）**を用いて面積を求める。基本的な考え方は同じ：力–伸びグラフの下の面積は、材料に対して行われた仕事量である。破断点までの仕事量を推定するには、曲線全体の下の正方形の数を数える（半分の正方形は半分として扱う）。その合計に、1マス分が表すエネルギー（力のステップ×伸びのステップ）を掛けて計算する。「正方形の数を数えて面積を求めた」と述べることは、「根拠を説明せよ」の採点ポイントとなる。

蓄えられたエネルギーの比較

よく出題される多肢選択問題：二つの材料を、同じ力または同じ伸びで変形させた場合、$E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$を用いて次のように考える。

• 同じ$F$、小さい$k$（剛性が低い）→ 大きい$x$ → 蓄えられるエネルギーが多い。
• 同じ$x$、大きい$k$（剛性が高い）→ 小さい$F$ → 蓄えられるエネルギーが少ない。

$E_{\text{P}}$を対角線上に取ったグラフは原点を通る曲線となり、傾きが急になっていく（$E_{\text{P}} \propto x^{2}$）。直線にはならない。同じ長さおよび断面積を持ち、同じ荷重を受ける二つのワイヤーでは、ヤング係数が小さい方がより大きく伸び、したがってより多くのエネルギーを蓄える。

伸長されたばねを質量体上に解放すると、弾性位置エネルギーは運動エネルギー（質量体が上昇すれば重力位置エネルギーも含まれる）に変換される。速度または高さを求めるため、$\tfrac{1}{2} k x^{2}$と$\tfrac{1}{2} m v^{2}$（必要に応じて$mgh$を含む）を等置する。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• **フークの法則（$F = kx$）**は比例限度までしか成立しない。
• 応力 $= F/A$ 、ひずみ $= x/L$ 、ヤング率 $=$ 応力$/$ひずみ（応力-ひずみグラフの直線部分の傾き） — 単位（Pa）に注意すること。
• 蓄えられたエネルギー $=$ 力-伸びグラフ下の面積 $= \frac{1}{2}Fx$ は比例限界（線が直線となる点）まで。
• 弾性変形（形状に戻る）と塑性変形（永久的）を区別すること。

一般的なミス

• $A = \pi r^{2}$ において直径を半径として用いる、または $\text{mm}^{2}$ において断面積を残しておく。まず直径を半分にします；$1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$ 。
• 長さ-力グラフから、軸までの全面積として仕事量を読み取る誤り。$L_{0}$より上の三角形部分のみが仕事である。
• 蓄えられたエネルギーを伸びに比例すると誤解する。実際には$x^{2}$に比例する：伸びを倍にするとエネルギーは四倍になり、二つの伸び間での仕事量は二つの$\tfrac{1}{2}kx^{2}$値の差となる。
• フークの法則を条件なしに述べる。「比例限度を超えない限り（provided the limit of proportionality is not exceeded）」は法則の一部である。
• 比例限度（直線の終点）と弾性限度（弾性挙動の終点、それより少し先）を混同する。
• 太いワイヤーの方がヤング係数が大きいと誤認する。ヤング係数は材料固有の性質であり、太いワイヤーの方が大きいのはばね定数である。