天文学と宇宙論

The luminosity $L$ of a star is the total power of radiation it gives out — the energy radiated per second in all directions. Unit: watt (W).

1点定義。 星の光度とは、その星が放射する全放射エネルギーの合計（または単位時間あたりの放射総エネルギー）である。 星固有の性質であり、地球から見た明るさは距離にも依存する。なぜ一部の星が他の星より明るく見えるかという質問に対しては、正確に次の2点を答えること： 高い光度と、短い距離（フラックスは $1/d^{2}$ に反比例して減少する）。

距離 $d$ において、このエネルギーは面積 $4\pi d^{2}$ の球面上に広がっている。距離 $d$ における放射フラックス強度 $F$（単位面積あたりのエネルギー）は以下の通りである。

計算例。 太陽の光度は $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$ である。太陽からの距離 $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$ に位置する地球における放射フラックス強度を求めよ。

Unit: $\text{W m}^{-2}$. This is the inverse-square law for flux: doubling the distance cuts the flux to a quarter. A telescope measures $F$; if $L$ is known, the distance follows:

グラフの読み取り。 単一星について $F$ を横軸、$1/d^{2}$ を縦軸にとってプロットすると、傾き $L/4\pi$ の原点を通る直線となり、$L = 4\pi \times \text{gradient}$ となる。より高い光度の星では、より急な直線になる。銀河が後退している星であっても逆二乗則に従うが、私たちが受信する光は赤方偏移を受けているため、各波長でのフラックスはスペクトル上でシフトし、ある帯域に敏感な検出器では異なる割合のエネルギーを検出することになる。

計算例。 太陽の半径は $6.96 \times 10^{8}\ \text{m}$ 、表面温度は $5780\ \text{K}$ である。$2.0\ \text{m}^{2}$ 太陽電池を搭載した宇宙探査機が太陽中心から $4.5 \times 10^{10}\ \text{m}$ の距離にある。太陽を向いたときの太陽電池に当たるエネルギーを求めよ。

光度：$L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4} = 4\pi(5.67 \times 10^{-8})(6.96 \times 10^{8})^{2}(5780)^{4} = 3.85 \times 10^{26}\ \text{W}$。探査機におけるフラックス：$F = L/(4\pi d^{2}) = 3.85 \times 10^{26}/[4\pi(4.5 \times 10^{10})^{2}] = 1.5 \times 10^{4}\ \text{W m}^{-2}$、地球におけるフラックスの11倍。太陽電池に当たるエネルギー：$P = FA = 1.5 \times 10^{4} \times 2.0 = 3.0 \times 10^{4}\ \text{W}$。フラックスは放射に垂直な単位面積あたりのエネルギーであるため、傾斜した太陽電池では $FA\cos\theta$ が得られる。

標準ろうそくとは、その種類から光度が既知である天体のこと。遠方銀河内でそれを見つけ、そこから届くフラックス $F$ を測定すれば、$d = \sqrt{L/(4\pi F)}$ よりその距離が求められる。

例：

• セフェイド変光星（脈動する星）— 脈動周期は光度と密接に関連しており、周期から $L$ が得られる。

超新星は強力な恒星爆発である。標準ろうそくとして使用できるのは適切なタイプのみである。

• Ia型超新星 Ia — 白矮星を伴う爆発であり、その最大光度を距離推定のために標準化できる。

標準ろうそくは、まず距離を知る必要なく $L$ を与えるため、視差法よりも遥かに遠方の銀河まで到達できる。

定義。 標準ろうそくとは、既知の光度を持つ天体（恒星や超新星）のこと。 光度は、どの距離からでも測定可能な性質によって固定されているため既知である：セフェイド変光星の脈動周期、または超新星の種類などである。

「標準ろうそくを用いて銀河までの距離を決定する方法を説明せよ」（3点）。 (1) 銀河内の標準ろうそく（セフェイド変光星であり、周期から光度が得られる、またはIa型超新星）を同定することで、その光度 $L$ が既知となる。(2) 光が地球に到達する際の放射フラックス強度 $F$ を測定する。(3) 逆二乗則 $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$ より、距離が求められる。順序は重要である：光度はろうそくの種類から得られ、距離（＝求めるもの）からではない。

計算例。 最大光度 $1.0 \times 10^{36}\ \text{W}$ のIa型超新星が観測され、そのピークフラックスは $2.0 \times 10^{-14}\ \text{W m}^{-2}$ であった。この銀河までの距離はいくらか？

$d = \sqrt{L/(4\pi F)} = \sqrt{1.0 \times 10^{36}/(4\pi \times 2.0 \times 10^{-14})} = 2.0 \times 10^{24}\ \text{m}$、約 $210$ 百万光年（$1\ \text{ly} = 9.5 \times 10^{15}\ \text{m}$）。セフェイド変光星（光度のオーダーが $10^{30}\ \text{W}$ ）は、そのような距離では観測できない；超新星こそが、遠方宇宙のための標準ろうそくである。

ウィーンの変位則

高温の物体は、その温度によって決まるある波長 $\lambda_{\text{max}}$ で最大となる連続スペクトル（(黒体)スペクトル）を放射する。ウィーンの変位則:

** worked example.** ある星の黒体スペクトルのピークが $\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$ のとき、その表面温度を求めよ。($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$。)

より熱い星ほど短い波長でピークに達する: 冷たい赤色星 ($\sim 3000\ \text{K}$) は赤外線でピークに達し、太陽 ($\sim 5800\ \text{K}$) は $500\ \text{nm}$ 付近でピークに達し、熱い青白色星 ($\sim 20{,}000\ \text{K}$) は紫外線でピークに達する。 $\lambda_{\text{max}}$ を測定することで表面温度が求められる。

「ウィーンの変位則を述べよ」（2点）。 黒体からの放射の強度が最大となる波長は、その熱力学的温度に反比例する: $\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$、または $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$ ($2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$)。単なる「波長」と言うのではなく「最大強度の波長」と言わなければならず、温度は必ずケルビン単位で表すこと。この法則は連続的な黒体の曲線のピークについて述べるものであり、スペクトル線については述べていない。

ステファン・ボルツマンの法則

半径 $r$、表面温度 $T$ の黒体球とみなせる星の光度は

ここで $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$ は ステファン・ボルツマン定数 (ステファン・ボルツマンの法則) である。2つの強い依存関係：

• $L \propto r^{2}$ — twice the radius, four times the luminosity (same $T$).
• $L \propto T^{4}$ — twice the temperature, sixteen times the luminosity (same $r$).

** worked example.** 半径が $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$、表面温度が $T = 5800\ \text{K}$ の星がある。その光度を求めよ。($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$。)

星の半径の推定

2つの法則を組み合わせる：

1. $\lambda_{\text{max}}$ を測定 → ウィーンの変位則から $T$ を求める。
2. $L$ を求める（例：フラックス $F$ と距離 $d$ から: $L = 4\pi d^{2} F$）。
3. ステファン・ボルツマンの法則を $r$ について解く: $r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$。

これが天文学者が、円盤として見えない星の半径を推定する方法である。

** worked example（太陽の半径）。** 太陽光の放射フラックス強度は地球において $1370\ \text{W m}^{-2}$、距離が $1.50 \times 10^{11}\ \text{m}$ のとき、また太陽のスペクトルピークが $500\ \text{nm}$ のとき、太陽の半径を推定せよ。

光度: $L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(1.50 \times 10^{11})^{2}(1370) = 3.87 \times 10^{26}\ \text{W}$。温度: $T = b/\lambda_{\text{max}} = 2.90 \times 10^{-3}/(500 \times 10^{-9}) = 5800\ \text{K}$。半径: $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^{4})} = \sqrt{3.87 \times 10^{26}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(5800)^{4}]} = 6.9 \times 10^{8}\ \text{m}$。3ステップ、各々1行の式； $L$ と $T$ の完全な有効数字は最終計算まで維持すること。なぜなら $T$ は4乗されているからである。

** worked example.** 遠方の銀河にある星があり、地球からの放射フラックス強度が $2.52 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}$、距離が $4.16 \times 10^{17}\ \text{m}$、表面温度が $9500\ \text{K}$ のとき、その半径を求めよ。

$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(4.16 \times 10^{17})^{2}(2.52 \times 10^{-8}) = 5.48 \times 10^{28}\ \text{W}$。次に $r = \sqrt{5.48 \times 10^{28}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(9500)^{4}]} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{m}$、これは太陽の半径の約4倍である。検算：太陽よりも光度が $140$ 倍で、かつ温度が $1.6$ 倍しかない星は、$L \propto r^{2}T^{4}$ であるため、明らかに大きくなければならない。

** $T^{4}$ が重要である理由。** 同一の半径で $3000\ \text{K}$ と $6000\ \text{K}$ の2つの星は、光度が $2^{4} = 16$ 倍異なる。温度のわずかな誤差は光度の大きな誤差につながるため、ピーク波長は注意深く読み取り、後退する銀河については赤方偏移を補正する必要がある（以下参照）。

宇宙論的赤方偏移

遠方銀河からの光のスペクトル線は、既知の実験室値よりも長い波長で観測される — 全体としてスペクトルが赤方へ伸びている。これを赤方偏移という。

ドップラーシフトとして読むと、銀河は遠ざかっている。$v \ll c$ に対して：

ここで $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$ と $v$ は後退速度である。例： $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ で発せられた光が $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$ で観測されれば、$\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$ となり

赤方偏移が宇宙膨張を示す理由

ほぼすべての遠方銀河は赤方偏移しており（いくつかの近接銀河は局所運動により青方偏移している）、したがって銀河は平均して互いに離れつつある — 私たちだけでなく相互にだ。宇宙は膨張しており、銀河間の空間が伸びている。より遠方の銀河ほど赤方偏移が大きい。

「赤方偏移の意味を述べよ。」 光源からの放射（そのスペクトル線）の観測波長は、発せられた波長より長い。なぜなら光源は観測者から遠ざかっているからである。 これは光に対するドップラー効果であり、波長の相対変化率は周波数の相対変化率に等しく、$v \ll c$ に対して比率 $v/c$ となる。

** worked example.** 実験室で $656.3\ \text{nm}$ と測定された水素線が、ある銀河からの光で $660.9\ \text{nm}$ と観測された。この銀河の後退速度を求め、$H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$ を用いてその距離も求めよ。

$\Delta\lambda = 660.9 - 656.3 = 4.6\ \text{nm}$、つまり $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(4.6/656.3) = 2.1 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$。距離：$d = v/H_{0} = 2.1 \times 10^{6}/2.3 \times 10^{-18} = 9.1 \times 10^{23}\ \text{m}$（約 $100$ 百万光年）。放射された（実験室の）波長で割り、比におけるナノメートルを統一する。

** worked example (逆の場合)。** コルナ・ボレアルスに存在する銀河が $21\,400\ \text{km s}^{-1}$ で後退している。その $656.3\ \text{nm}$ 水素線はどの波長で観測されるか？

$\Delta\lambda = \lambda v/c = 656.3 \times (2.14 \times 10^{7}/3.00 \times 10^{8}) = 46.8\ \text{nm}$、したがって線は $703\ \text{nm}$ に現れ、赤からほぼ赤外線へシフトした。すべての線と連続スペクトル全体が同じ倍率 $(1 + v/c) = 1.071$ で引き伸ばされる。

試験が出題する罠。 後退する銀河のスペクトルのピーク波長をそのままWienの法則に代入すると、観測された $\lambda_{\text{max}}$ が放射されたものより長いため、温度が 低すぎる 値となる。ピークを先に補正せよ：$\lambda_{\text{emitted}} = \lambda_{\text{observed}}/(1 + v/c)$。観測スペクトルと放射スペクトルを同一の軸上にスケッチするよう求められた場合、形状は同じで longer wavelengths へシフトさせたものを描き、ピークも含めること。

「赤方偏移が宇宙の膨張という考えに至る理由を説明せよ」（3点） (1) （ほぼ）全ての遠方銀河からの分光線は longer wavelengths へシフトしているため、(2) ドップラー効果により銀河は私達から 遠ざかって移動している ことが分かり、(3) 銀河が遠いほど赤方偏移が 大きい ため速度も速い：これはあらゆる銀河から見た場合、銀河間の空間が膨張している場合に観測されるものであり、宇宙全体が膨張しており、単に地球から遠ざけているわけではないことを示す。

ハッブルの法則

後退速度 $v$ と距離 $d$ の関係は ハッブルの法則 である：

ここで $H_{0}$ は ハッブル定数（$\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$）である。常にSI単位を使用すること。例：$1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ で後退する銀河は $d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$ の位置にある。

「ハッブルの法則を述べよ」（2点） 銀河の後退速度は、その地球（観測者）からの距離に（直接）比例する：$v = H_{0}d$、ここで $v$ は後退速度、$d$ は距離、$H_{0}$ はハッブル定数を表す。問われたらすべての記号を特定せよ。$H_{0}$ の値は試験でSI単位（$\text{s}^{-1}$）で与えられるため、$v$ は $\text{m s}^{-1}$ 、$d$ はメートルで表さねばならず、キロメートル毎秒毎メガパーセックでは決して使用してはならない。

** worked example。** 遠方銀河の恒星が放射し、その強度のピークが $4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ にあるとき、地球で受け取った光のピークは $4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$ にある。この恒星の表面温度、銀河の後退速度、およびその距離（$H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$）を求めよ。

放射されたピークからの温度：$T = 2.90 \times 10^{-3}/4.62 \times 10^{-7} = 6300\ \text{K}$。速度：$v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(0.29/4.62) = 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$、$c$ の約 $6\%$ 。距離：$d = v/H_{0} = 1.9 \times 10^{7}/2.3 \times 10^{-18} = 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$（約 $870$ 百万光年）。観測されたピークを用いて温度を求めた場合、$5900\ \text{K}$ となり、$400\ \text{K}$ 低すぎる値であった。

ハッブルの法則からビッグバンへ

ハッブルの法則とは、銀河たちはかつて一つだったことを意味する。膨張を遡ると、すべての距離が $t = -1/H_{0}$ でゼロになる — 宇宙はかつて微小で極めて高密度かつ高温な点であった。これが ビッグバン である。一定の膨張を仮定した場合の宇宙の年齢はおおよそ

膨張、銀河の赤方偏移、宇宙マイクロ波背景放射、そして水素/ヘリウムの存在比率が、ビッグバンの主要な証拠である。

「ハッブルの法則がビッグバン理論に至る理由を説明せよ」（3点） (1) 銀河は距離に 比例する速度 で後退しているため、(2) 時間を遡れば、どんな距離にある銀河でも 同じ時刻に同一个点 に到達する、$t = d/v = 1/H_{0}$ 前；(3) つまり宇宙は極めて高密度かつ高温な一点から始まり、それ以来膨張を続けているはずである。年齢の推定値：$1/H_{0} = 1/(2.3 \times 10^{-18}) = 4.3 \times 10^{17}\ \text{s}$、これを $3.16 \times 10^{7}\ \text{s}$ 每年で割ると $1.4 \times 10^{10}$ 年となる。これは膨張率が変化していないと仮定したものであり、測定ではなく推定である。

距離梯子

天文学者は手法を組み合わせるが、それぞれ下の手法によって較正される：

1. 視差 — 近接恒星用。
2. 標準ろうそく（セフェイド変光星、Ia型超新星）— 銀河用。
3. ハッブルの法則（$d = v/H_{0}$、$v$ は赤方偏移より算出）— 極遠方銀河用。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• 2つの手順:距離 = ろうそくの $L$ 、$F$ で測定、$d = \sqrt{L/(4\pi F)}$ ; 半径 = $T$ を $\lambda_{\text{max}}$ から求め、$L$ を $F$ と $d$ から求め、$r$ を $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ から求める。各ステップを個別の式として記す。
• $F$ は放射束（平方メートルあたり）、$L$ は電力である。$L = 4\pi d^{2}F$ はこれらをつなぎ、$4\pi$ は両方の法則に含まれる。
• ウィーン: $\lambda_{\text{max}}$ はメートル、$T$ はケルビン。ステファン・ボルツマン: $r^{2}$ と $T^{4}$ 。$T$ に $10\%$ の誤差がある場合、$L$ には $46\%$ の誤差が生じる。
• 赤方偏移: $\Delta\lambda/\lambda_{\text{emitted}} = v/c$ ; 次に $d = v/H_{0}$ をSI単位に変換する。ウィーンの変位則を用いる前に、後退している銀河の最大波長を補正すること。
• 「説明」の3つの回答（標準 Candle から距離へ、赤方偏移から宇宙膨張へ、Hubbleの法則からビッグバンへ）は、ポイントごとに採点される：3つの文を順に。
• 宇宙の年齢は$1/H_{0}$で、約$14$十億年である；一定の膨張率の仮定を明記すること。

一般的なミス

• 光度を明るさとして定義するか、あるいは単位面積あたりの電力として定義するか；すなわちフラックスのこと。
• 距離から標準 Candle の光度を求めることは循環論法であり、その光度は種類によって決まる。
• ヴィーンの法則やステファンの法則で摂氏度を使用するか、4乗の無視。
• 放射された波長ではなく観測された波長で$\Delta\lambda$を割る、あるいは1つの比の中でナノメートルとメートルを混在させる。
• $H_{0}$ を $v$ で除く際に $\text{km s}^{-1}$ を用い、$\text{m s}^{-1}$ に変換すること。
• 赤方偏移されたピーク波長をWienの法則に代入し、低すぎる温度を報告する。
• Hubbleの法則を「比例」と言わずに述べるか、$v$と$d$が何かを明言しない。
• ビッグバンを説明する際、$t = 1/H_{0}$以前にすべての銀河が一つであったという逆時間的推論を欠く。