直流回路

起電力と電位差

電源の起電力（e.m.f.）$\varepsilon$とは、電源が電荷を完全な回路内を移動させる際に、各単位電荷に与えるエネルギーのこと。単位：ボルト。

素子の両端電位差（p.d.）とは、電荷がその素子を通る際に、単位電荷あたり電気エネルギーから他の形へ変換されるエネルギーのこと。

どちらもボルトで表されますが、エネルギーの流れが異なります：

• e.m.f. — 電源によって回路に投入されるエネルギー（バッテリーでは化学→電気、発電機では機械→電気）。
• p.d. — 電気エネルギーから取り出されるエネルギー（抵抗器では電気→熱、ランプでは電気→光、モーターでは電気→運動）。

出題者の表現は固定されています。e.m.f.は「電源が電荷を完全な回路内で移動させる際、単位電荷あたり転移されるエネルギー」；p.d.は「単位電荷あたり電気エネルギーから他の形へ転移されるエネルギー」です。どちらも単位電荷あたりのエネルギーであるため、ボルトはクーロンあたりのジュール（$1\ \text{V} = 1\ \text{J C}^{-1}$）です。電源について常に正しい文：電流が流れない時の端子電位差は起電力である；ある電荷に与えられる全エネルギー$Q$は$\varepsilon Q$である。名称は罠である：「力」という言葉がついているが、それは力ではなく、ニュートンで測定されない。

** worked example.** 起電力$\varepsilon$、内部抵抗$r$の電池が、端子電位差が$V$である回路内で電荷$Q$を移動させます。電池が転移するエネルギーと、外部で消費されるエネルギーを比較してください。

電池は合計$\varepsilon Q$を転移し、外部回路は$VQ$を受け取ります。電流が流れるときは$V = \varepsilon - Ir < \varepsilon$であるため、$VQ < \varepsilon Q$ — その差$(\varepsilon - V)Q = IrQ$は、電池内部で熱に変換されたエネルギーです。

実験室では、通常、ブロードボード（部品をはんだ付けせずに穴の列で接続する基板）上で回路を組み、マルチメータで電流や電位差を測定します。

内部抵抗

実際の電源には内部抵抗$r$が存在する — 一般的には、電池における電解質の抵抗や、発電機におけるコイルの抵抗である。電流$I$が流れると、内部抵抗によって$Ir$の電圧が「消失」し、外部回路にかかる端子電圧はそれだけ低下する。

したがって：

• 電流ゼロ（開回路、$I = 0$）：端子間電圧は起電力に等しくなります。
• 電流が大きい場合：端子間電圧は低下します。
• 短絡状態（$R_{\text{external}} \to 0$）：$I = \varepsilon / r$（大きな電流）が流れ、全エネルギーが電源内部で熱に変換されます。

$r$を測定するには、外部抵抗を変化させて、$V_{\text{terminal}}$を$I$に対してプロットする。得られる直線は、$y$切片が$\varepsilon$、傾きが$-r$となる。

** worked example.** 起電力$1.5\ \text{V}$、内部抵抗$0.50\ \Omega$の電池に、$2.5\ \Omega$の抵抗器をつないだとき、電流と端子間電圧を求めよ。

起電力は両方の抵抗器を通じて電流を駆動するため：$I = \dfrac{\varepsilon}{R + r} = \dfrac{1.5}{2.5 + 0.50} = 0.50\ \text{A}$。したがって

外部負荷に供給される出力は$P_{\text{ext}} = (\varepsilon - Ir) I$、内部で失われる損失は$P_{\text{int}} = I^{2} r$、電源からの全出力は$\varepsilon I$です。

電源の効率は$\dfrac{P_{\text{ext}}}{\varepsilon I} = \dfrac{VI}{\varepsilon I} = \dfrac{V}{\varepsilon} = \dfrac{R}{R + r}$：負荷抵抗が大きいほど、電源内部でのエネルギー消費は少なくなります。

** worked example.** 起電力$2.0\ \text{V}$、内部抵抗$0.40\ \Omega$の電池が、$1.5\ \text{A}$の電流を導線に流しています。端子間電圧が$1.4\ \text{V}$であることを示し、導線への電力供給効率のパーセンテージを求めよ。

$V = \varepsilon - Ir = 2.0 - 1.5 \times 0.40 = 2.0 - 0.60 = 1.40\ \text{V}$。導線への電力$= VI = 1.4 \times 1.5 = 2.1\ \text{W}$、電池からの全電力$= \varepsilon I = 2.0 \times 1.5 = 3.0\ \text{W}$。効率$= 2.1 / 3.0 = 0.70$、すなわち$70\%$。「示せ」問題では、与えられた数値の前に、四捨五入していない値（$1.40\ \text{V}$）を含め、すべての計算過程を記述すること。

外部回路が変わったときは、電流の変化について論じよ。 第2の抵抗器を並列に追加するスイッチを閉じると、全体の外部抵抗が下がり、電池を流れる電流が増加する。そのため、内部で「失われる電圧」$Ir$は増加し、端子間電圧$\varepsilon - Ir$は低下する。元の抵抗器にかかる電圧（＝端子間電圧）も低下するため、電池の全電流は増大したにもかかわらず、その抵抗器を流れる電流も減少する。この「抵抗 → 電池電流 → $Ir$ → 端子間電圧」という一連の流れは、本分野の「状態を述べ、その影響を説明せよ」という問題に対する標準的な解答モデルである。

電池の組み合わせ。 直列接続の場合、起電力は加算され、内部抵抗も加算される。起電力$\varepsilon$、内部抵抗$r$の電池が3つあると、$3\varepsilon$と$3r$となる。逆接された電池则有効起電力を減らす（10個の$1.5\ \text{V}$電池のうち1つを逆接続すると$8 \times 1.5 = 12\ \text{V}$になる）。同一の電池を並列接続すると、同じ起電力$\varepsilon$を得られるが、内部抵抗$r/N$は小さくなるため、より大きな電流を供給できる。

回路記号

カリキュラムに記載されている標準的な回路記号を認識して描くことができる必要がある：電池、バッテリー、スイッチ、抵抗器、可変抵抗器、アンメータ、電圧計、ランプ、ダイオード（およびLED）、コンデンサ、コイル、サーミスタ、光抵抗素子、ヒューズ、アース、接点。理想的なアンメータは抵抗がゼロであり、直列に接続する。理想的な電圧計は無限大の抵抗を持ち、並列に接続する。

回路図を描くこと。 記号のミスで点数が失われるので、物理的な理解を示すことが重要。定規を使ってまっすぐな線を引き、標準的な記号を使用すること。アンメータは測る電流の部品の直列に、電圧計は測る電圧の部品の並列（両端に）に接続する。内部抵抗を持つ電池は、理想電池と抵抗器の直列結合として描く$r$。可変抵抗器は以下のように2つの方法で使用できる。「回路図を完成させよ」という問題は通常、この測定配置を正確に求める：電源、アンメータ、可変抵抗器を1つの直列ループに、電圧計を試品 Across に接続する形。

オーディオ機器の記号

buzzers と electric bells は電気エネルギーを音に変換し、loudspeakers は変化する電気信号を音に変換し、microphones は音を電圧信号に変換します。それぞれの固有の記号と回路図上の接続方法を確認してください。平らな上面と2本のリード線を持つカップ型記号はAS試験で用いられるbuzzerです。装置の機能だけでは記号を特定できません。

第1法則（節点則）

At any junction, the total current flowing in equals the total current flowing out. This follows from conservation of charge — charge cannot build up at a point in a steady circuit, so charge in per second equals charge out per second.

3本の導線が接続する接点において: $I_{1} = I_{2} + I_{3}$ 電流2と3が流出し、電流1が流入する場合。

出題者が問う形式は2通りある。「法則を記せ」（1点：接点への流入電流の総和＝接点からの流出電流の総和）、「その背後にある保存則を記せ」（電荷）。第1法則に対して「エネルギー」、第2法則に対して「電荷」と答えてはいけない — これらの組み合わせはほぼすべてのPaper 1で出題される。

第2法則（ループ則）

いかなる閉じたループにおいても、全起電力は、そのループ内の素子間の全電位差に等しい。これはエネルギー保存則に基づくものであり、単位電荷がループを一周する際、電源から得たエネルギーは素子に与えたエネルギーに等しい。

ループ内の方向を決める。ループの進行方向が電源の−極から+極へ向かう場合、起電力は正とし、ループの進行方向が抵抗器を通る conventional current の向きと同じ場合、電位差は正とする。

記号を用いて、任意の閉じたループについて $\sum \varepsilon = \sum IR$。$+$から$-$へ通過する電源は負の起電力として扱う（充電中であるか、他の電源に逆らっているため）、電流の向きに逆らって通過する抵抗器は負の電位差として扱う。

** worked example.** 起電力が互いに反対向きになる2つの電池が一つのループ内にある：内部抵抗$1.0\ \Omega$を持つ$12.0\ \text{V}$と、内部抵抗$0.50\ \Omega$を持つ$8.0\ \text{V}$。電流を求めよ。

ループを一周したときの正味起電力は $12.0 - 8.0 = 4.0\ \text{V}$ で、全抵抗は $1.0 + 0.50 = 1.5\ \Omega$ （内部抵抗は直列接続）なので、$I = 4.0 / 1.5 = 2.7\ \text{A}$ 。電流はより大きな起電力によって駆動される方向に流れる。

抵抗器の合成

直列接続の抵抗器。 キルヒホッフの法則による導出: 抵抗器間に接点がないので、第1法則により、同じ電流 $I$ が各抵抗器を流れる。第2法則により、ループ内の起電力は電位差の総和に等しい:

したがって $R_{\text{series}} = R_{1} + R_{2} + \ldots$ 。

並列接続の抵抗器。 導出: 第2法則により、各抵抗器は電源と独自のループを形成するため、同じ電位差 $V$ を持つ。第1法則により、接点への流入電流は枝電流の総和に等しい:

したがって $\dfrac{1}{R_{\text{parallel}}} = \dfrac{1}{R_{1}} + \dfrac{1}{R_{2}} + \ldots$ 。

2個の等しい抵抗器 $R$ を並列にすると $R/2$ になり、$N$ 個の等しい抵抗器なら $R/N$ になる。並列結合は常に個々の抵抗器より小さく、直列結合は常に大きい。

** worked example **。 $4.0\ \Omega$ の抵抗器と $12\ \Omega$ の抵抗器を並列に接続する。合成抵抗を求める。

抵抗器ネットワークと消費電力

混合ネットワークを1ステップずつ簡略化する：直列の鎖をその総和で置き換え、並列のペアを $\dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ （「積÷和」の形、2個の抵抗器のみ有効）で置き換え、再描画して、1個の抵抗器が残るまで繰り返す。どの抵抗器が最も多くの電力を消費するかを決定する法則は計算不要である：同じ電流を流す素子は、大きい抵抗でより多くの電力を消費する（$P = I^{2}R$ ）；同じ電位差を持つ素子は、小さい抵抗でより多くの電力を消費する（$P = V^{2}/R$ ）。直列-並列混合では、全電流を流す単一の抵抗器が通常最も多くの電力を消費する。なぜなら、並列枝は電流の一部しか通らないからである。

** worked example.** 抵抗値がすべて$R$の3つの抵抗器があり、そのうち2つを直列にし、その組み合わせを第3の抵抗器と並列に接続している。両端間の全抵抗は$8.0\ \Omega$である。$R$を求めよ。

The series pair is $2R$; in parallel with $R$: $R_{\text{T}} = \dfrac{2R \times R}{2R + R} = \dfrac{2R}{3}$. So $\dfrac{2R}{3} = 8.0$, giving $R = 12\ \Omega$. Check: the single resistor $R$ carries twice the current of the pair (same p.d., half the resistance), so it dissipates the most power.

回路の解法

1. 全ての電流に記号と選んだ方向をラベル付けする。
2. 各接点においてキルヒホッフの第1法則を用いて電流をつなぐ。
3. 各ループについてキルヒホッフの第2法則を用い、電位差に関する方程式を立てる。
4. 各抵抗器について**$V = IR$** を用いる。
5. 方程式を連立させて解く。

対称的な抵抗器ネットワークについては、対称性を利用して同じ電流を流す枝を見つけ出す — 最も多くの電流を流す枝が最も多くの電力を消費する（$P = I^{2}R$ ）。

** worked example **。上記の回路で $\varepsilon = 12\ \text{V}$ （無視できる内部抵抗）、$R_{1} = 2.0\ \Omega$ 、$R_{2} = 6.0\ \Omega$ 、$R_{3} = 3.0\ \Omega$ がある。3つの電流を求める。

キルヒホフの解法. 接点：$I_{1} = I_{2} + I_{3}$。ループ1（$\varepsilon$、$R_{1}$、$R_{2}$を通る）：$12 = 2.0 I_{1} + 6.0 I_{2}$。ループ2（$R_{2}$と$R_{3}$を通り、電源なし）：$0 = 6.0 I_{2} - 3.0 I_{3}$、よって$I_{3} = 2 I_{2}$。次に$I_{1} = 3 I_{2}$および$12 = 6.0 I_{2} + 6.0 I_{2}$を用いて$I_{2} = 1.0\ \text{A}$、$I_{3} = 2.0\ \text{A}$、$I_{1} = 3.0\ \text{A}$を求める。

*簡略計算。$6.0\ \Omega$と$3.0\ \Omega$を並列にすると$2.0\ \Omega$になり、これに$R_{1}$を加えると合計は$4.0\ \Omega$となる。したがって$I_{1} = 12 / 4.0 = 3.0\ \text{A}$となり、並列部分の電圧降下は$3.0 \times 2.0 = 6.0\ \text{V}$である。これにより$I_{2} = 6.0/6.0 = 1.0\ \text{A}$と$I_{3} = 6.0/3.0 = 2.0\ \text{A}$が得られる。両方の手法で結果は一致するはずであり、電流に対して負の値が出た場合、単にその方向を誤って推測しただけである。

分圧回路とは、電源 across に直列接続された2つ（またはそれ以上）の抵抗器のことである。各抵抗器に生じる電圧降下は、その抵抗値に比例する：

出力（$R_{1}$と$R_{2}$の間から取り出す）は、抵抗値选择合适的ことで、$0$から$V_{\text{in}}$までの任意の電圧に設定できる。ポテンシオメータ（均一な抵抗線軌道上のスライダー付き）を3つの端子すべてに接続して使用すれば、滑らかに可変可能な分圧回路が得られる。同じ部品を2つの端子のみで使用すれば、_AESOPHOBIA（リオスタット）となり、単に電流を変化させるだけである。

** worked example.** $6.0\ \text{V}$の電源が、直列に接続された$2.0\ \text{k}\Omega$抵抗器と$4.0\ \text{k}\Omega$抵抗器 across に接続されている。$4.0\ \text{k}\Omega$抵抗器 across の出力電圧を求めよ。

マークSchemeが示すことが多くある「電流優先」ルートでも同じ答えが得られる：$I = V_{\text{in}} / (R_{1} + R_{2}) = 6.0 / 6000 = 1.0\ \text{mA}$、次に$V_{2} = I R_{2} = 1.0 \times 10^{-3} \times 4000 = 4.0\ \text{V}$。rememberしておくべき2つの重要な点がある。まず、大きい抵抗値の方が電圧降下の大きい割合を占めること。次に、比率式は**出力から電流を引取らない（open circuit）**場合にのみ成立すること——$R_{2}$ with parallelに接続された負荷（または低抵抗の電圧計）は$R_{2}$の有効抵抗を下げるため、$V_{2}$も低下する。

センサー回路

固定抵抗器の代わりに、物理量に応じて抵抗値が変化するセンサーに置き換える：

• サーミスタ（NTC）：温度上昇に伴い$R$が減少する。分圧回路では、出力電圧は一定の方向に温度に応じて変化する。
• 光依存抵抗器（LDR）：光強度の上昇に伴い$R$が減少し、明るさに応じた出力を得る。

出力をトランジスタのベースやコンパレータに接続し、温度や光が閾値を超えたときに負荷をON/OFFする。

出力はどのように変化するか？ 出力はセンサー across または固定抵抗器 across から取り出せるが、2つの選択は逆向きに応答する。次の順序で電流について議論すれば、満点（3点）の回答になる：

1. 光が強くなる（または温度が上がる）ため、LDR（またはサーミスタ）の抵抗は減少します；
2. 直列回路の全抵抗が減少するため、電流が増加します（$I = \varepsilon / R_{\text{total}}$）；
3. 固定抵抗器$= IR$ across の電圧降下が増加するため、センサー$= \varepsilon - IR$ across の電圧降下は減少します。

したがって、固定抵抗器 across の出力は光や温度の上昇に伴い増加し、センサー across の出力は減少します。電源に内部抵抗がある場合は、さらに1つの要素を追加します。大きな電流は$Ir$を増加させるため、端子電圧はわずかに低下する。

** worked example.** EMFが$9.0\ \text{V}$で内部抵抗が無視できるバッテリーが、LDRと$1200\ \Omega$抵抗器と直列に接続されている。光中でのLDRの抵抗は$1800\ \Omega$である。LDR across の電圧降下を計算し、光強度が減少した際に何が起こるか述べて説明せよ。

$V_{\text{LDR}} = 9.0 \times \dfrac{1800}{1800 + 1200} = 5.4\ \text{V}$。光が減る → LDRの抵抗が増加する → 全抵抗が増加し電流は減少する → $1200\ \Omega$抵抗器（$IR$）across の電圧降下が減少する → LDR（$9.0 - IR$）across の電圧降下は増加する。

** worked example.** $5800\ \Omega$抵抗器と直列に接続されたサーミスタが、$6.0\ \text{V}$の電源 across に接続されており、抵抗器 across の電圧降下は$2.9\ \text{V}$である。サーミスタの抵抗を求めよ。

電流$= 2.9 / 5800 = 5.0 \times 10^{-4}\ \text{A}$。サーミスタは残りの$6.0 - 2.9 = 3.1\ \text{V}$を担うため、$R = 3.1 / (5.0 \times 10^{-4}) = 6200\ \Omega$となる（あるいは比率によって$R = 5800 \times 3.1/2.9$）。

ポテンシオメータとニュル法

ポテンシオメータとは、長さが$L_{0}$の均一な抵抗線と、スライド接点（ジョッキー）からなる装置である。単位長さあたりの抵抗は均一であるため、一端からジョッキーまでの電圧降下は長さに比例する：

2つのEMFを比較する（未知の電池と標準電池との比較）には、ジョッキーを通じてガルバノメータにそれぞれ順次接続する。ガルバノメータがゼロを示すまでジョッキーをスライドさせる（ニュル状態——測定中の電池には電流が流れず、ポテンシオメータの電圧がその地点で電池のEMFとちょうど打ち消し合うため）。平衡位置におけるwire length（平衡時の一端からジョッキーまでの距離）をバランスレングスと呼び、これは測定中のEMFに比例するため、2つの長さの比はEMFの比となる：

これは**零点法（ニュル・メソッド）**です。電流の値を測定する代わりに、釣り合い点（電流ゼロ）を見つける方法です。その利点は、釣り合い点では未知の電池から電流が流れないため、内部抵抗が結果に影響しないことです。

零点法が電圧計より優れている理由。 釣り合い点では測定対象の電池から電流が取り出されないため、内部に$Ir$降下が生じません。したがって、釣り合い点は起電力を測定しており、端子間電位差ではありません。電圧計は常に一定の電流を消費するため、起電力よりわずかに低い値を示します。

釣り合い点の読み取り。 導線の単位長さあたりの電位差は、ドライバー電池と導線の抵抗によって固定されます。釣り合わせる電位差を大きくすると、釣り合い点は導線上で遠ざかります。一方、単位長さあたりの電位差を大きくすると（起電力の大きいドライバー電池を使用する場合や、ドライバーの電位差の大きな割合を導線が負担する場合）、釣り合いの長さは短くなります。導線を同じ長さだが太いものに交換すると、抵抗が低下します（$R = \rho L / A$）。ドライバー電池の内部抵抗が無視できる場合や、直列に他の抵抗がない場合は、導線にかかる電位差は依然として完全な起電力となり、釣り合いの長さは変化しません。ただし、ドライバー電池に内部抵抗がある場合や直列抵抗がある場合は、導線が担う起電力の割合が減少し、メートルあたりの電位差も低下するため、釣り合いの長さは伸びます。ご自身の状況がどのケースに該当するかを説明してください。

** worked example（演習例）。** 長さ$2.0\ \text{m}$のポテンシオメータ導線XYには、電位差$1.50\ \text{V}$がかかっています。起電力$E$の電池を釣り合わせるとき、ジョッキーはXから$1.6\ \text{m}$の位置にあります。$E$を求め、ドライバー電池を起電力の大きいものに交換した場合、釣り合いの長さがどうなるかを述べよ。

$E = 1.50 \times \dfrac{1.6}{2.0} = 1.2\ \text{V}$。ドライバー起電力が大きくなるとメートルあたりの電位差が大きくなるため、同じ$1.2\ \text{V}$に達するための長さは短くなります。つまり、ジョッキーはX側へ移動させなければなりません。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• キルヒホッフの法則を適用する：分岐点への流入電流 $=$ 流出電流（電荷保存）；ループ内では $\sum \text{e.m.f.} = \sum \text{p.d.}$ （エネルギー保存）。問題文に「キルヒホッフの法則を用いる」とある場合、使用している法則の名前を明記すること。
• 抵抗器を合成する：直列 $R = R_1 + R_2$；並列 $1/R = 1/R_1 + 1/R_2$。並列合成抵抗は、その中で最小の抵抗値よりも常に小さい。
• ポテンシャルディバイダーは、抵抗比に応じて電圧を分割する。したがって、大きい抵抗の方が大きな電位差を担う。
• 内部抵抗を含む: $\text{e.m.f.} = I(R + r)$ — 「失われた電圧」は$Ir$である。回路が変化する際は、抵抗 → 電池内の電流 → $Ir$ → 端子間電位差 の順で論理を展開すること。
• 「無視できる内部抵抗」とは、いかなる電流であっても端子間電位差が起電力そのものであることを意味する。計算を開始する前にこの表現を探そう。
• 電源の$V$–$I$グラフを読む際、これを $V = \varepsilon - Ir$ として解釈する：切片が $\varepsilon$ 、傾きが $-r$ であり、$V = 0$ における電流が最大（短絡）電流 $\varepsilon / r$ となる。
• Paper 5では、プロットする前に回路式を$y = mx + c$の形に変形する。起電力$\varepsilon$、内部抵抗$r$を持つ電池が、並列に$R$個の等しい抵抗$n$を駆動する場合、$\varepsilon = I\left(\dfrac{R}{n} + r\right)$に従う。したがって$\dfrac{1}{I} = \dfrac{R}{\varepsilon} \cdot \dfrac{1}{n} + \dfrac{r}{\varepsilon}$ — $1/I$対$1/n$のグラフは、傾き$R/\varepsilon$、切片$r/\varepsilon$となる。

一般的なミス

• $V = IR$に起電力と外部抵抗のみを書き、$r$を忘れる。$\varepsilon = I(R + r)$を使用すること。
• 起電力を「電荷を押し出す力」と言う。これは単位電荷あたりのエネルギーであり、ボルトはジュール毎クーロンである。
• 法則と異なる保存則を組み合わせる。第1法則は電荷、第2法則はエネルギーに対応する。
• 3つの並列抵抗に対して「積÷和」を使う。2つまでしか有効ではない。それ以上は逆数の和を足すこと。
• センサー回路を「抵抗が変わるから電圧が変わる」と説明する。得点のポイントは連鎖構造にある：抵抗 → 全抵抗 → 電流 → 固定抵抗器の$IR$ → その残りがセンサーに掛かる、という流れを述べる。
• 釣り合い状態のポテンシオメータが「ドライバー電池から電流を取り出さない」と主張する。実際には、測定対象の電池からは電流を取り出さないだけであり、ドライバー電池は常に導線の電流を供給している。
• 最終行以前に「証明せよ」の値を四捨五入するape。$1.40\ \text{V}$と書き、その後それが$1.4\ \text{V}$であると述べる。