この資料はトピック2: 純数学2 を扱っています。絶対値と多項式の代数、対数と指数関数、より多くの三角関数、および微分・積分の新しい方法を追加します。
純数学2
A-Level 数学 · トピック 2
12:32
純数学2
二〇一一年、日本の沖合でマグニチュード9の地震が発生した。小さな地震ならマグニチュード6かもしれない。3ポイント違いだけ——だが最初の…
英語ナレーション・英語＋中文字幕 burning-in
2.1
代数
シラバス
English
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the meaning of $|x|$, sketch the graph of $y = |ax + b|$ and use relations such as $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ and $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ when solving equations and inequalities | Graphs of $y = |f(x)|$ and $y = f(|x|)$ for non-linear functions $f$ are not included. e.g. $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| divide a polynomial, of degree not exceeding 4, by a linear or quadratic polynomial, and identify the quotient and remainder (which may be zero) | |
| use the factor theorem and the remainder theorem. | e.g. to find factors and remainders, solve polynomial equations or evaluate unknown coefficients. Including factors of the form $(ax + b)$ in which the coefficient of $x$ is not unity, and including calculation of remainders. |
出典: Cambridge International シラバス
絶対値
絶対値$|x|$とは、符号を取り除いた数の大きさのことなので、$|x| \geqslant 0$は常に正またはゼロです。$y = |ax + b|$のグラフは「V」字型をしており、$x$軸で反射します。方程式・不等式を解くための有用な2つの法則があります。
$$|a| = |b| \;\Leftrightarrow\; a^2 = b^2, \qquad |x - a| < b \;\Leftrightarrow\; a - b < x < a + b.$$
** worked example（解法例）。** $|3x + 8| < 9$ を解け。
不等式を $-9 < 3x + 8 < 9$ の形に書いて二番目の規則を使う：
$$-9 < 3x + 8 < 9 \;\Rightarrow\; -17 < 3x < 1 \;\Rightarrow\; -\tfrac{17}{3} < x < \tfrac13.$$
多項式の除法と因数定理・剰余定理
多項式とは、$x$ のべき乗の和であり、例えば $2x^4 + 3x^2 - 5$ のようなものです。最高次の幂を次数と言います。ある多項式を別の多項式で割ると、商と剰余が得られます。
- 剰余定理: $p(x)$を$(x - a)$で割った余りは$p(a)$です。
- 因数定理: ⟨$(x - a)$⟩ が ⟨$p(x)$⟩ の因数となるのは、$p(a) = 0$ のときのみです。
** worked example.** 多項式 ⟨$p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$⟩ に因数 ⟨$(x + 2)$⟩ があります。$k$ を求めよ。
因数定理により ⟨$p(-2) = 0$⟩ ：
$$2(16) + k(-8) + k(4) + 17(-2) + 18 = 0 \;\Rightarrow\; 16 - 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = 4.$$
探索
絶対値関数
y = a|x − b| + c
絶対値関数は V字型を作る。頂点を b と c で移動させ、腕の勾配を a で変化させる。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 純数学 |
| logarithms/ˈlɒɡərɪθəmz/ | 対数 |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | 指数関数 |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 絶対値 |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 多項式 |
| degree/dɪˈɡriː/ | 次数 |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | 商 |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 余数 |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | 剰余の定理 |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | 因式の定理 |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | 指数 |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | 対数の法則 |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | 自然対数 |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | 線形形式 |
2.2
対数関数と指数関数
シラバス
English
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the relationship between logarithms and indices, and use the laws of logarithms (excluding change of base) | |
| understand the definition and properties of $e^x$ and $\ln x$, including their relationship as inverse functions and their graphs | Including knowledge of the graph of $y = e^{kx}$ for both positive and negative values of $k$. |
| use logarithms to solve equations and inequalities in which the unknown appears in indices | e.g. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| use logarithms to transform a given relationship to linear form, and hence determine unknown constants by considering the gradient and/or intercept. | e.g. $y = kx^n$ gives $\ln y = \ln k + n \ln x$ which is linear in $\ln x$ and $\ln y$ $y = k(a^x)$ gives $\ln y = \ln k + x \ln a$ which is linear in $x$ and $\ln y$. |
出典: Cambridge International シラバス
対数は「何乗か？」という問いに対する答えです。$a^x = y$ ならば $x = \log_a y$ です。対数と指数（べき）は逆の概念です。対数の法則は以下の通りです。
$$\log(mn) = \log m + \log n, \qquad \log\!\frac{m}{n} = \log m - \log n, \qquad \log(m^k) = k\log m.$$
指数関数 $e^x$ と自然対数 $\ln x$ は逆関数なので、$\ln(e^x) = x$ および $e^{\ln x} = x$ です。未知数が指数にある場合は、両辺の対数を取ります。
** worked example（解法例）。** $4^x < 0.05$ を解け。
$$4^x < 0.05 \;\Rightarrow\; x\ln 4 < \ln 0.05 \;\Rightarrow\; x < \frac{\ln 0.05}{\ln 4} = -2.16 \ (\text{3 s.f.}).$$
一次式形式: ⟨$y = Ax^n$⟩ のような関係式において、両辺の対数を取ると直線になります：$\ln y = \ln A + n\ln x$ 。$\ln y$ を横軸、$\ln x$ を縦軸にとると、傾きが $n$ 、切片が $\ln A$ の直線になり、未知定数を求めることができます。
探索
指数関数的増減
y = a·bˣ
底 b を変更する：b > 1 の場合曲線は増加し、0 < b < 1 の場合減少する — また、常に点 (0, a) を通る。
2.3
三角関数
シラバス
| 受験者は以下のことをできること： | メモと例 |
|---|---|
| セカント, コセカント, コタンジェント関数がそれぞれコサイン, サイン, タンジェントとどのような関係にあるかを理解し、任意の角度に対する6つの三角関数の性質およびグラフを用いる。 | |
| 式の変形・正確な値の計算、方程式の解法に用いる三角恒等式を用い、文脈に適した恒等式を選択する。特に以下の利用に慣れていること: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ および $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$, $\tan(A \pm B)$ の展開式 – $\sin 2A$, $\cos 2A$, $\tan 2A$ の公式 – $a \sin \theta + b \cos \theta$ を $R \sin(\theta \pm \alpha)$ および $R \cos(\theta \pm \alpha)$ の形に表すこと。 | e.g. $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$ の変形。 e.g. $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$ の解法。 |
出典: Cambridge International シラバス
さらに3つの関数があります。これらは既知の関数の逆数です：セカント $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$ 、コセカント $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ 、そしてコタンジェント $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$ です。
これらの三角恒等式を暗記し、問題に応じて適切なものを選択する必要があります。
$$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta, \qquad \csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta.$$
また、$\sin(A \pm B)$ 、$\cos(A \pm B)$ 、$\tan(A \pm B)$ に対する合成角の公式や、二倍角の公式も使います。
$$\sin 2A = 2\sin A\cos A, \quad \cos 2A = 2\cos^2 A - 1, \quad \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A},$$
そして R-公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$ があり、ここで $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ および $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$ です。
** worked example.** $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$を $-180^\circ < \theta < 180^\circ$について解きます。
$\tan^2\theta$ を $\sec^2\theta - 1$ に置き換えて、1つの関数に変換します：
$$2(\sec^2\theta - 1) + 3\sec\theta = 18 \;\Rightarrow\; 2\sec^2\theta + 3\sec\theta - 20 = 0 \;\Rightarrow\; (2\sec\theta - 5)(\sec\theta + 4) = 0.$$
したがって $\sec\theta = \tfrac52$ または $\sec\theta = -4$ となり、$\cos\theta = \tfrac25$ または $\cos\theta = -\tfrac14$ が得られます。解は $\theta = \pm 66.4^\circ$ と $\theta = \pm 104.5^\circ$ です。
探索
単位円
角度をドラッグして $\sin$、$\cos$、$\tan$ の関係を見る——三角方程式を解くための鍵である。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | 正割 |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | 余割 |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | 余切 |
| trigonometric identities/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk aɪˈdentɪtiz/ | 三角恒等式 |
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | 合成角 |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | 倍角 |
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | R-公式 |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 積の法則 |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 商の法則 |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | パラメータ方程式 |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | 暗黙的 |
2.4
微分法
シラバス
| 受験者は以下のことをできること： | メモと例 |
|---|---|
| $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ の導関数、定数倍、和、差、合成関数を用いる。 | |
| 積と商の微分を行う。 | e.g. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$。 |
| パラメータ表示または暗黙的に定義された関数の第一導関数を求め、用いる。 | 例： $x = t - e^{2t}$、$y = t + e^{2t}$。例： $x^2 + y^2 = xy + 7$。接線や法線を含む問題での使用を含む。 |
出典: Cambridge International シラバス
これらの標準的な微分係数を暗記してください。
$$\frac{d}{dx}e^x = e^x, \quad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.$$
2つの関数の積や商に対しては、以下を使います。
- 積の微分法則: $(uv)' = u'v + uv'$ ;
- 商の微分法則: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .
曲線がパラメータ方程式 $x = x(t)$ , $y = y(t)$ で与えられている場合、勾配は $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ です。$y$ が明示的に解かれていない（変数として整理されていない）場合、$x$ について各項を微分し、$y$ に対して連鎖の法則を用いてから、$\dfrac{dy}{dx}$ について解きます。
worked example. ⟨$y = 6x\cos(x^2 + 1)$⟩ が与えられたとき、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
$u = 6x$ と $v = \cos(x^2 + 1)$ について積の微分法則を使い（$v$ については連鎖の法則を用いる）：
$$\frac{dy}{dx} = 6\cos(x^2 + 1) + 6x\cdot\big(-2x\sin(x^2 + 1)\big) = 6\cos(x^2 + 1) - 12x^2\sin(x^2 + 1).$$
探索
接線と勾配
y = ax³ + bx² + cx + d
点を動かす：その x における導関数は接線を表す。曲線が転換する地点では勾配はゼロである。
2.5
積分法
シラバス
| 受験者は以下のことをできること： | メモと例 |
|---|---|
| '逆微分'の概念を $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ の積分まで拡張する。置換積分の一般的な手法に関する知識は不要である。 | |
| 積分計算において三角関数的関係を用いる。 | e.g. 二重角の公式を用いて $\sin^2 x$ または $\cos^2(2x)$ を積分する場合。 |
| 台形則を理解し、用它で定積分の値を推定する。 | 簡単なケースでは概略図を用いて、台形則による推定が過大評価か過小評価かを判定する場合も含む。 |
出典: Cambridge International シラバス
積分は微分の逆操作です。新しい微分結果をすべて逆にしていきます。難しい積分には置換積分（Pure 3で発展）が必要な場合があります。内部の線形関数が $(ax + b)$ の場合：
$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C,$$
$$\int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C, \qquad \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sec^2(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C.$$
$\sin$または$\cos$の累乗を積分するには、まず恒等式を用いて累乗を取り除きます。正確に積分できない場合は、台形則で定数積分を推定します：
$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})\big].$$
** worked example.** $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$ を求める。
$\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$を使用します：
$$\int 6\sin^2 x\,dx = \int (3 - 3\cos 2x)\,dx = 3x - \tfrac32\sin 2x + C.$$
探索
曲線下の面積
area = ∫ f(x) dx
積分は依然として面積を測ります。a と b をドラッグして、曲線下の帯の合計を求めなさい。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | 台形則 |
| root/ruːt/ | 根 |
2.6
方程式の数値解法
シラバス
| 受験者は以下のことをできること： | メモと例 |
|---|---|
| 図形的考察および/または符号の変化の探索によって、方程式の根のおおよその位置を特定する。 | e.g. 根が含まれる連続する整数のペアを見つける場合。 |
| 方程式の根に収束する近似の列の概念を理解し、その表記を用いる。 | |
| $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ のような形式的の simple 反復公式が解いている方程式とどのように関連しているかを理解し、与えられた反復、または方程式の変形に基づく反復を用いて、指定された精度で根を求める。 | 収束条件に関する知識は含まれないが、反復が収束しない可能性があることを理解することが期待される。 |
出典: Cambridge International シラバス
多くの方程式は正確に解くことができません。根（解）を見つけるための2つのアイデアがあります。
- 符号の変化: $f(a)$と$f(b)$が異符号であり、かつその間にグラフの途切れがない場合、$a$と$b$の間に実根が存在します。
- 反復計算: 方程式を$x = F(x)$の形に変形し、反復公式$x_{n+1} = F(x_n)$を使用します。初期推測値$x_0$から始め、繰り返します。値が収束すれば一定になり、収束して根に近付きます。指定された精度で答えが安定するまで続けます。
** worked example.** 方程式の根$\beta$は$x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$および$-1.4 < \beta < -1.0$を満たし、反復$x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$を$x_0 = -1.2$で用います。
$$x_1 = \sqrt[3]{-2(-1.2) - 4.5} = \sqrt[3]{-2.1} = -1.281, \qquad x_2 = \sqrt[3]{-2(-1.281) - 4.5} = -1.247, \quad \ldots$$
値は$-1.26$付近で安定するため、$\beta = -1.26$（有効数字3桁）。
探索
根はどこにありますか？
y = ax³ + bx² + cx + d
根とは曲線がゼロと交差する点です。符号の変化がある場合、f(x) は2つのx値の間に根を閉じ込めます。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | 符号の変化 |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 反復 |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | 反復公式 |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | 収束 |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 置換積分 |
2.6
試験対策
- 対数の法則を使って方程式を解き、$\ln$と$e^x$が互逆関数であることを思い出してください。
- 数値方法では、根の位置を確認するために符号の変化を示し、反復計算を明確に記述し、指定された精度での答えを提示します。
- 合成関数の微分法、積の微分法、商の微分法を学び、どの規則が関数に適しているかを特定します。
- 絶対値方程式$|f(x)| = g(x)$を、正の場合と負の場合の両方を考慮して解き、概略図を描いて確認します。
このトピックのインタラクティブ授業
一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。