הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.
מטרת לימוד FUN-3.C: לחשב נגזרות של הרכבות של פונקציות הניתנות לגזירה.
- FUN-3.C.1 חוק השרשרת מספק דרך לגזור פונקציות מורכבות.
גזירה: פונקציות מורכבות, איplcit ופונקציות הפוכות
קלקולוס BC - AP · נושא 3
7:58
חוקק השרשרת
חשוב על שני גלגלי שיניים המחוברים זה לזה. סובב את הראשון, והוא מניע את השני. אם השני מסתובב בשלוש פעמים מהר יותר מהראשון, והראשון מסתובב…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
3.1
כלל השרשרת
סיילבוס
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
יחידה 2 גזרה פונקציות יחידות. יחידה 3 גזרה פונקציות בנויות בתוך פונקציות אחרות. כלל השרשרת גוזר פונקציה מורכבת $f\big(g(x)\big)$:
$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$
"נגזרת הפונקציה החיצונית (בהשארת הפנים ללא שינוי), כפול נגזרת הפנים." הנגזרת הפנימית $g'(x)$ היא החלק ש学生 forgets, ולכן תמיד שאלו "מה הפנים, ומה הנגזרת שלה?" דוגמה:
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$
בסימון ליבניץ', עם $y=f(u)$ ו-$u=g(x)$, הכלל נקרא $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – הביניים $du$ נראה כמו "מסתר." שאלות במבחן לעיתים נותנות טבלה עבור $f$, $g$, $f'$, $g'$ ושואלות על $h'(a)$ כאשר $h(x)=f\big(g(x)\big)$; הערכו $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ על ידי קריאת ערכים.
דוגמה פתורה. גזור $h(x)=(2x^2+1)^5$. הפונקציה החיצונית היא "(משהו)$^5$" והפונקציה הפנימית היא $2x^2+1$:
$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | כלל שרשרת |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה מורכבת |
| Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | גזירה איזומית |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה הפוכה |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | הופכי |
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | פונקציות טריגונומטריות הפוכות |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | גזירה שנייה |
| concavity/kənˈkævɪti/ | קעירות |
3.2
גזירה אי-מפורשת
סיילבוס
הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.
מטרת לימוד FUN-3.D: לחשב נגזרות של פונקציות המוגדרות אינפליסיטית.
- FUN-3.D.1 חוק השרשרת הוא הבסיס לגזירה אינפליסיטית.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
חלק מעקומות מוגדרות אינפורמלית – על ידי משוואה ב-$x$ ו-$y$ שלא פותרה לגבי $y$, כמו $x^2+y^2=25$. נגזרות אינפורמליות מוצאות את $\dfrac{dy}{dx}$ מבלי לפתור קודם לכן עבור $y$. זהו פשוט כלל השרשרת, כאשר מתייחסים ל-$y$ כפונקציה של $x$.
השיטה: נגזור שני האגפים ביחס ל-$x$; בכל פעם שנגזור איבר המכיל $y$, נכפול ב-$\dfrac{dy}{dx}$ (כלל השרשרת); ולאחר מכן נפתור אלגברית עבור $\dfrac{dy}{dx}$. עבור $x^2+y^2=25$:
$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$
דוגמה פתורה. מצא את המשיק ל$x^2+y^2=25$ בנקודה $(3,4)$. כאן $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, ולכן המשוואה של המשיק היא $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – מאונך למשמע, כפי שמתוכנן בגיאומטריה.
מיומנות אמחן – "הראו כי $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". הניסוח המדויק הזה מופיע בשנת אמחן רוב השנים (למשל "הראו כי $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). מכיוון שהיעד נתון, עליכם להראות כל שלב אלגברי בצורה ברורה: נגזרו שני אגפים, השתמשו בכלל הכפלה/שרשרת על איברים מעורבים של $xy$, אספו את כל האיברים עם $\dfrac{dy}{dx}$ בצד אחד, פקטרו, וחלקו. שורה סופית נכונה שעוברת על האלגברה תזכה בנקודות מעטות. חלקים המשלימים יבקשו לאחר מכן משיק, או מיקום שבו המשיק אופקי ($\tfrac{dy}{dx}=0$, ולכן המונה הוא $0$) או אנכי (המכנה הוא $0$).
3.3
גזירת פונקציות הפוך
סיילבוס
הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.
מטרות למידה FUN-3.E: חשבנו נגזרות של פונקציות הפוכות ופונקציות טריגונומטריות הפוכות.
- FUN-3.E.1 ניתן להשתמש בכלל השרשרת ובהגדרה של פונקציה הפוכה כדי לחשב את הנגזרת של פונקציה הפוכה, בתנאי שהנגזרת קיימת.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
אם $g$ היא הפונקציה ההפוכה של $f$ (כלומר $f(g(x))=x$), כלל השרשרת מקשר בין הנגזרות שלהן:
$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$
במילים: הנגזרת של ההפוכה בנקודה היא ה-הפוך לנגזרת של הפונקציה המקורית בנקודה המתואמת. סידור מבחן נפוץ נותן טבלה ונקודה $(a,b)$ ב-$f$ (ולכן $(b,a)$ נמצאת ב-$g$), ולאחר מכן מבקשים לחשב $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.
דוגמה פתורה. אם $f(2)=5$ ו$f'(2)=3$, ו$g$ הוא ההופך של $f$, אזי $(5,2)$ נמצא על $g$ ועל $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
חקור
פונקציה אקספוננציאלית והופכה שלה, הלוגריתם
y = a·e^(bx) + c
פונקציות הפוכות משתקפות סביב $y=x$ והשיפועים שלהן הם הדברים ההפוכים. במקום שבו אחת תלולה, ההפוכה שלה תהיה שטוחה.
3.4
גזירת פונקציות טריגונומטריות הפוך
סיילבוס
הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.
מטרות למידה FUN-3.E: חשבנו נגזרות של פונקציות הפוכות ופונקציות טריגונומטריות הפוכות.
- FUN-3.E.2 ניתן להשתמש בכלל השרשרת בשילוב עם הגדרת פונקציה הפוכה, או בנוסחה לנגזרת של פונקציה הפוכה, כדי לחשב את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
אותה רעיון נותן את הגזירות של פונקציות הטריגונומטריות ההפוך. השלושה שחובה לדעת:
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
שלב אלו עם כלל השרשרת כאשר הקלט הוא בפני עצמו פונקציה, לדוגמה $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
3.5
בחירת הליכים לחישוב גזירות
סיילבוס
נושא זה מיועד להתמקד במיומנות בחירת הליך מתאים לחישוב נגזרות. יש לתת לסטודנטים הזדמנויות לאמן את המועד והדרך ליישום כל מטרות הלמידה הקשורות לחישוב נגזרות.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
נושא מיומנות: נגזרות ממשיות משלבות כללים שונים, ולכן קרא תחילה את מבנה הביטוי, מהחוץ לפנים.
- האם זה סכום? גזור איבר איבר.
- מכפלה או מנה? יישם את הכלל הזה, ותצפה להשתמש בכלל השרשרת בתוך כך.
- פונקציה מורכבת (דבר בתוך דבר)? כלל השרשרת.
- נתון באופן סתום? נגזרה סתומה.
שם את הפעולה החיצונית ביותר, יישם את הכלל שלה, והתחבר פנימה. סדר ונקיאות מונעים טעויות סימן ורישום שגורמות לאובדן נקודות.
3.6
חישוב נגזרות של סדר גבוה
סיילבוס
הבנה עומדת (FUN-3): זיהוי הזדמנויות ליישום כללי נגזירות יכול לפשט תהליך הנגזור.
מטרות למידה FUN-3.F: קבעו נגזרות של דרגה גבוהה לפונקציה.
- FUN-3.F.1 גזירה $f'$ מניבה את הנגזרה השנייה $f''$, בתנאי שהנגזרת של $f'$ קיימת; חזרה על תהליך זה מניבה נגזרות של דרגה גבוהה יותר של $f$.
- FUN-3.F.2 נגזרות של דרגה גבוהה מיוצגות באמצעות מגוון סימונים. עבור $y = f(x)$, הסימונים לנגזרה השנייה כוללים $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ ו-$y''$. נגזרות של דרגה גבוהה יותר יכולות להיות מסומנות ב-$\dfrac{d^n y}{dx^n}$ או $f^{(n)}(x)$.
מקור: תיאור הקורס והמבחן של College Board AP
נגזירת $f'$ מייצרת את ה-נגזרת השנייה $f''$; חזרה על כך נותנת נגזרות בעלות סדר גבוה יותר. הסימונים:
$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
הנגזרת השנייהמדדת כיצד השיפוע משתנה; היא קובעת את הכימור והאצה בפרקים מאוחרים. כדי למצוא $f''$ באופן סתום, גזור שוב את הביטוי עבור $\dfrac{dy}{dx}$ (עם כללי המנה והשרשרת), ואז הצב את $\dfrac{dy}{dx}$ בחזרה.
חקור
הנגזרת השנייה היא השיפוע של השיפוע
y = ax³ + bx² + cx + d
גזירה נוספת נותנת $f''$, קצב השינוי של השיפוע. כאשר השיפוע עולה, העקומה מתכופפת כלפי מעלה.
3.6
טיפים לבחינות
- השתמש בכלל השרשרת לפונקציות מורכבות — גזור את החלק החיצוני, ואז כפל בנגזרת של החלק הפנימי (הגורם הנשכח ביותר).
- עבור נגזירה סתומה, גזור את שני האגפים ביחס ל-$x$ וחבר את $\tfrac{dy}{dx}$ בכל פעם ש-$y$ מוגזר, ואז פתר.
- קבל את ה-נגזרת השנייה על ידי גזירה פי שתיים (מהירות → אצה).
- שלב כללים בקפידה בביטויים שכבתיים (שרשרת בתוך מכפלה, וכדומה).
- הגרף של הפונקציה ההופכת הוא היקפיפות ביחס ל-$y=x$; השיפוע שלו הוא ההופכי של המקורי בנקודה המתאימה.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.