עיוות של מוצקים

כאשר כוח פועל על מוצק לאורך אורכו, הגוף משנה צורה (עיוות). שני מקרים (הטווחים כאחד-מימדי כאן):

• כוח מתיחה מתיח את הגוף — הוא גורם הארכה $x$,
• כוח דחיסה דוחס את הגוף — והוא גורם ל-דחיסה, המוגדרת כמתיחה שלילית.

הכוח המופעל הוא ה-עומס. השינוי מאורך הטבעי הוא המתיחה (או הדחיסה).

שניהם נמדדים מאורך הטבעי (הבלתי מתוח), לעולם לא מאורך העומס: בתרשים של קפיץ תחת קופסה, המרחק שבו הקפיץ התקצר הוא הדחיסה שלו. מסת הקפיץ עצמו נחשבת לרוב ל-זניחה, כך שהכוחות היחידים הפועלים עליה הם העומס והמתיחה שהוא מספק.

לחומרים רבים בטווחי מתיחה קטנים, המתיחה פרופורציונלית לעומס — זהו חוק הוק. הקבוע המקשר ביניהם הוא קבוע הקפיץ $k$:

יחידה של $k$: $\text{N m}^{-1}$.

דוגמה מפורטת. קפיץ מתיחה ב-$4.0\ \text{cm}$ כאשר תלו בו עומס של $2.0\ \text{N}$. מצא את קבוע הקפיץ.

המרת ההתארכות למטרים ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):

עבור שאלת ה-"ציינת חוק הוק" בעלת נקודה אחת, כתוב אותה במילים: ההתארכות פרופורציונלית ישירות לכוח המופעל (העומס), בתנאי שלא נחצה הגבול הפרופורציונליות. קבוע הקפיץ הוא כוח ליחידת התארכות; האפשרויות המבלבלות בבחירה רב-בחירתית הן "התארכות ליחידת כוח" (כלומר $1/k$) ו$\tfrac{1}{2}Fx$ (האנרגיה הארוחה).

קריאת גרף:

• גרף כוח–התארכות ($F$ מול $x$) בעל שיפוע $k$ באזור חוק הוק.
• גרף התארכות–כוח ($x$ מול $F$) בעל שיפוע $1/k$ באזור חוק הוק.

פתח נפוץ: אם הגרף מצייר אורך $L$ מול כוח, עדיין ניתן למצוא את קבוע הקפיץ מהשיפוע (שכן $L = L_{0} + F/k$, השיפוע הוא $1/k$ — קרא אותו בקפדנות).

דוגמה פותרת. לקפיץ אורך $90\ \text{mm}$ תחת כוח של $0.80\ \text{N}$ ואורך $115\ \text{mm}$ תחת כוח של $1.30\ \text{N}$. מצאו את קבוע הקפיץ והאורך בלא מתיחה.

הכוח הנוסף $0.50\ \text{N}$ מייצר הארכה נוספת $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, ולכן $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. ב$0.80\ \text{N}$ ההארכה היא $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, ולכן האורך ללא מתיחה הוא $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. בגרף של אורך מול כוח החיתוך עם ציר האורך הוא $L_{0}$, השיפוע הוא $1/k$, ועבודת המתיחה היא המשולש בין הקו לבין הרמה L$L = L_{0}$, לא כל השטח עד ציר הכוח: המלבן מתחת ל$L_{0}$ הוא האורך ללא מתיחה כפול הכוח, שזהו דבר ללא משמעות.

גבול הפרופורציונליות

חוק הוקק מתקיים רק עד גבול היחסיות. מעבר לנקודה זו, הקו בין $F$ ל$x$ מתעקם ואינו נשאר ישר. החומר עשוי להיות אלסטי (חוזר לאורכו המקורי כשהעומס מוסר) עוד מעט, ולאחר מכן הופך לפלסטי.

קפיצים בסדרה ובמקביל

ייתכן שתצטרכו לשלב קבועי קפיץ:

• סדרה (קפיץ תלוי על קפיץ אחר): אותו עומס עובר בשניהם, ההתארכות הכוללת היא הסכום, ולכן $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
• מקביל (שני קפיצים בצדדים זה לזה מחזיקים אותו עומס): כל אחד נושא מחצית מהעומס (אם הם זהים), ההתארכות שווה, ולכן $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.

דוגמה מופעלת. קפיצים בעלי קבועי קפיץ $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ ו$4.0\ \text{N cm}^{-1}$ מחוברים קצה לקצה, וממם תלוי עומס של $80\ \text{N}$. חשב את ההתארכות הכוללת.

כל קפיץ נושא את העומס המלא $80\ \text{N}$, ולכן ההתארכויות הן $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ ו$80/4.0 = 20\ \text{cm}$: סך הכל $33\ \text{cm}$ (האותו דבר כמו $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ מ$1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). שלושה קפיצים זהים נותנים את הקבוע המשולב הגדול ביותר כאשר כולם מקבילים ($3k$) והקטן ביותר כאשר כולם בסדרה ($k/3$). כאשר עומס מחולק בין שני קפיצים זהים במקביל, כל אחד נושא חצי מהכוח ואגור רבע מהאנרגיה של קפיץ אחד שמחזיק את העומס כולו; השניים יחד אגרו חצי מכמות האנרגיה שנקשרה בקפיץ הבודד. קבוע קפיץ ב$\text{N cm}^{-1}$ הוא $100$ פעמים קטן יותר מאותו קבוע ב$\text{N m}^{-1}$; תן את היחידה שהשאלה מבקשת.

לחווט בעל חתך רוחב אחיד תחת עומס מתיחה:

• מתח $\sigma = \dfrac{F}{A}$, כאשר $F$ הוא העומס ו$A$ היא שטח החתך. יחידה: $\text{Pa}$.
• עיוות $\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, כאשר $x$ הוא ההתארכות ו$L_{0}$ הוא האורך המקורי. לעיוות אין יחידה (זהו יחס בין אורכים).

להגדרות בשער אחת: מתח הוא הכוח ליחידת שטח חתך (הכוח הפועל אנכי לשטח); עיוות הוא ההתארכות ליחידת אורך מקורי. היחידה של מתח, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, היא $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ ביחידות בסיס. שטחו של חוט עגול נובע מקוטרו $d$: $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, השימוש ב$d$ במקום $r$ גורם לשטח להיות גדול פי ארבע. ממיר $\text{mm}^{2}$ ל$\text{m}^{2}$ באמצעות $10^{-6}$.

דוגמה מופעלת. כוח מתיחה של $18\ \text{N}$ פועל על חוט בעל שטח חתך של $3.2\ \text{mm}^{2}$. חשב את המתח.

$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. אותו כוח פועל לאורך כל החוט, ולכן בולה whose diameter is $2d$ בקצה אחד ו$d$ בקצה השני יש ארבע פעמים יותר מאמץ בקצה הצר ($\sigma \propto 1/d^{2}$), וחוט בעל רדיוס פי שלושה נושא אחת מתוך תשע מאמץ.

מודול Young הוא היחס בין מתח לעיוות באזור חוק הוק:

יחידה: $\text{Pa}$ (כ־$10^{11}$ למתכות; לדוגמה פלדה $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).

דוגמה מופעלת. חוט פלדה באורך $2.0\ \text{m}$ ושטח חתך $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ מתארך ב$1.0\ \text{mm}$ תחת עומס של $15\ \text{N}$. חשב את מודול Young.

מודול Young הוא תכונה של החומר — הוא אינו תלוי בצורת או בגודל החוט. קבוע הקפיץ $k$ תלוי גם בחומר וגם בגודל: $k = EA/L_{0}$.

להגדרה בשער אחת: מודול Young הוא היחס בין מתח לעיוות (לחומר שנעוות בתוך גבול הפרופורציונליות שלו). מכיוון שהוא משתייך לחומר, לחוט עבה יותר מאותו מתכת יש אותו מודול Young: הוא מתארך פחות תחת עומס זהה כי שטחו גדול יותר, לא כי המתכת קשיחה יותר. שאלת "הראה ש$k = EA/L_{0}$" דורשת שתי שורות: $k = F/x$ ו$E = FL_{0}/(Ax)$, ולכן $E = kL_{0}/A$. שתי מסקנות נובעות מכך: קבוע הקפיץ של חוט נשאר קבוע כל עוד חוק הוק תקף, ללא קשר לכוח, וחוט מאותו מתכת עם קוטר פי שניים יש לו קבוע קפיץ פי ארבע.

דוגמה מופעלת. חוט נחושת באורך $1.7\ \text{m}$ וקוטר $0.64\ \text{mm}$ בעל מודול Young של $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. חשב את קבוע הקפיץ שלו.

$A = \pi (0.32 \times 10^{-3})^{2} = 3.2 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, ולכן $k = EA/L_{0} = 1.2 \times 10^{11} \times 3.2 \times 10^{-7} / 1.7 = 2.3 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$.

בגרף מתיחה–עיוות, השיפוע של החלק הישר הוא $E$, ולכן מבין שני חומרים המוצגים על אותו ציר, הקו תלול יותר מייצג את החומר הקשיח יותר, וחווט בעל מקדם יאנג כפול מהארץ יהיה מוצג כקו העובר דרך המקור עם שיפוע כפול. בגרף כוח–הארכה, השיפוע הוא $EA/L_{0}$ ומקדם יאנג שווה לשיפוע כפול $L_{0}/A$; רק בגרף מתיחה–עיוות השיפוע שווה ל$E$ עצמו.

ניסוי למציאת מקדם יאנג של חוט מתכת

התקנה סטנדרטית:

1. הצמד קצה אחד של חוט ארוך ודק לתמיכה קבועה. העבר את החוט מעל גלגלת בקצה השולחן כך שתלוי אנכית למטה.
2. מדוד את האורך המקורי $L_{0}$ בין הצמיד לסמן קרוב לגלגלת, באמצעות סרגל מטר.
3. מדוד את ה-קוטר $d$ של החוט במקומות שונים עם מיקרומטר וחשב את הממוצע. חשב $A = \pi d^{2}/4$.
4. תלו משקלים אחד אחד. רשמו את העומס $F$ וההארכה $x$ (כמה הסמן זז מול סולם קבוע).
5. צייר גרף של $F$ נגד $x$. באזור הישר השיפוע הוא $EA/L_{0}$, ולכן $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.

מדוע חוט ארוך ודק? כדי שההארכה תהיה מספיק גדולה למדידה מדויקת. מדוע לחזור על קריאות ולמדוד $d$ במקומות שונים? כדי להקטין שגיאה אקראית ולוודא שהחוט אחיד.

תשובה "תיאר ניסוי" מוכרת נקודות על הכמויות שנמדדות ועל איך ($L_{0}$ עם סרגל מטר; $d$ עם מיקרומטר במספר נקודות; המטען ממסה או מד כוח; הארכה מתוך קריאה עם סימן מול סקאלה קבועה, או סקאלה ורנרה), הגרף ($F$ מול $x$, שיפוע $EA/L_{0}$, או מאמץ מול עיוות, שיפוע $E$) והאמצעי הזהירות: משקפי מגן במקרה החוט נקרע, מטען קטן תחילה כדי ישרת קמרים, וקריאות נלקחות גם בהורדת מטען וגם בהעמסת מטען כדי לוודא שהחוט נותר אלסטי.

ככל שהעומס גדל:

1. אלסטי וישר (חוק הוק נשמר) — עד לגבול ההתאמה. הסרת העומס מחזירה את האובייקט לאורכו הראשון.
2. אלסטי אך מעוגל — בין גבול ההתאמה לבין הגבול האלסטי. ההארכה אינה יותר ישרה ביחס לעומס, אך בפריקה האובייקט עדיין חוזר לאורכו הראשון.
3. פלסטי — לאחר הגבול האלסטי. בפריקה, האובייקט אינו חוזר לאורכו הראשון; נשארת הארכה קבועה.

חוק הוק מתקיים רק באזור האלסטי הישר.

במילים: עיוות אלסטי פירושו שהגוף חוזר לאורכו (או לצורתו) המקורי כאשר העומס מוסר; עיוות פלסטי פירושו שהוא אינו עושה זאת, ונשאר מאריך נצחי; הגבול האלסטי הוא העומס (או המאריך) המקסימלי שעבורו העיוות עדיין אלסטי; נקודת היחסיות היא הנקודה מעבר לה המאריך אינו פרופורציונלי לעומס. בגרף, נקודת היחסיות היא שם הקו מפסיק להיות ישר. הגבול האלסטי נמצא מעט מעבר לה ואינו ניתן לקריאה ישירות מקו העומס בלבד. לכן, בפריט "איזה טענה חייבת להיות נכונה", סוף החלק הישר הוא נקודת היחסיות, אך אין לדעת האם נקודה מאוחרת יותר היא הגבול האלסטי או נקודת השבירה仅 על בסיס צורת קו העומס.

*מכונה אוניברסלית (מתיחה) מודרנית מתיחה דוגמה ומתעדת כוח ומאריך

בגרף כוח–מאריך לחומר שנכנס לאזור הפלסטי ולאחר מכן נפרק, קו העומס וקו הפריקה שונים. קו הפריקה מקביל לקו הוק הראשון אך מוזז ימינה (המאריך הנצחי שנותר כאשר העומס מגיע לאפס). השטח בין קו העומס לקו הפריקה הוא האנרגיה שהפכה לאנרגיה תרמית בחומר.

גומי גם הוא בעל עקומות עומס ופריקה שונות, אך הוא חוזר לאורכו המקורי: העיוות שלו אלסטי. השטח בין שתי העקומות הוא שוב אנרגיה שפוכה כאנרגיה תרמית (היסטרזיס אלסטי), והאנרגיה המשוקמת בפריקה היא השטח מתחת לעקומה התחתונה. בתשובה לשאלה "הסבר מדוע העבודה performed במתיחת החוט אינה שווה לאנרגיה המשוקמת כאשר הכוח מוסר" נכתב כי החוט נמשך מעבר לגבול האלסטי שלו, ולכן חלק מהעיוות הוא פלסטי ונשאר מאריך נצחי, וחלק מהעבודה performed הפכה לאנרגיה תרמית בחוט.

*גומי חוזר לאורכו המקורי, אך השטח בין עומס לפריקה הוא אנרגיה שאבדה כאנרגיה תרמית

העבודה performed במתיחת חומר מ$0$ למאריך $x$, כאשר העומס גדל מ$0$ ל$F$, היא השטח מתחת לגרף כוח–מאריך.

*העבודה performed במתיחת חומר היא השטח מתחת לגרף כוח–מאריך

מדוע השטח: עבודה performed היא כוח כפול מרחק, אך כאן הכוח גדל כשהחומר נמתח, לכן העבודה היא סכום $F\,\Delta x$ על פני מאריכים קטנים רבים, שהוא השטח מתחת לקו. בתוך נקודת היחסיות הכוח עולה באופן אחיד מ$0$ ל$F$, לכן הכוח הממוצע הוא $\tfrac{1}{2}F$ והעבודה performed היא $\tfrac{1}{2}Fx$. בגרף כוח–מאריך השיפוע הוא קבוע הקפיץ.

חומר עקב חוק הוק

כאשר חוק הוק מתקיים, הגרף של $F$ מול $x$ הוא קו ישר העובר באפס. השטח מתחתיו מ$0$ ל$x$ הוא משולש:

זוהי אנרגיית פוטנציאל אלסטית מאוחסנת בקפיץ או חוט שנמתחו בתוך נקודת היחסיות שלהם. צורה שווה:

דוגמה מופת. קפיץ בעל קבוע קפיץ $50\ \text{N m}^{-1}$ נמתח ב-$0.20\ \text{m}$, בתוך גבול היחסיות שלו. מצאו את האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית המאגרת.

דוגמה מופת. חוט בעל קבוע קפיץ $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ נמתח כבר ב-$2.0\ \text{mm}$. מצאו את העבודה שנעשתה כדי להגדיל את ההתארכות ל-$3.0\ \text{mm}$.

האנרגיה המאגרת עולה מ-$\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ ל-$\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$: $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. זהו השטח התת-קווי (טרפז) מתחת לקו בין שתי ההתארכות, ולא $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. מכיוון שהאנרגיה פרוпорציונלית ל-$E_{\text{P}} \propto x^{2}$ בערך קבוע של $k$, הכפלת ההתארכות של חוט מאגרת ארבע פעמים יותר אנרגיה ($0.65\ \text{J}$ הופך ל-$2.6\ \text{J}$), ואנרגיה מאגרת נותנת את ההתארכות כ-$x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$: קפיץ בעל $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ שמאגר $0.32\ \text{J}$ מתכווץ ב-$\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. עבור שני חוטים מחוברים בקצה אחד לשני, המתיחה זהה בשניהם, ולכן האנרגיה המאגרת הכוללת היא $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ עם ההתארכות הספציפית של כל חוט.

חומר שאינו הוקי

עבור גרף שלא ישר (רצועת גומי נמתחת, או קפיץ מעבר לגבול היחסיות שלו), מצאו את השטח על ידי ספירת ריבועי רשת או על ידי שימוש ב-טרפזים. אותה עיקרון חל גם כאן: השטח מתחת לגרף כוח–התארכות הוא העבודה שנעשתה על החומר. כדי להעריך את העבודה שנעשתה עד לנקודת השבר, ספרו את הריבועים מתחת לעקומה כולה (ריבועים חלקיים כחצי) והכפילו באנרגיה שריבוע אחד מייצג,即 כוח צעד כפול בהתארכות צעד; אמירה כי השטח נמצא על ידי ספירת ריבועים היא ה"הסברת הסיבות" הנדרשת.

השוואת אנרגיה מאגרת

מקרה רב-בחירתי נפוץ: שני חומרים נמתחים באותו כוח, או באותה התארכות. בשימוש ב-$E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:

• אותו $F$, $k$ קטן יותר (פחות קשיח) → $x$ גדול יותר → יותר אנרגיה מאוחסנת.
• אותו $x$, $k$ גדול יותר (קשיח יותר) → $F$ גדול יותר → אנרגיה מאגרת יותר.

שרטוט של $E_{\text{P}}$ כנגד הארכה או הדחיסה הוא עקומה העוברת דרך הראשית ומתחדדת ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), ולא קו ישר. משני חוטים באורך ובשטח חתך זהים תחת עומס זהה, זה עם המודולוס הקטן יותר יאריך יותר ואז יאחסן יותר אנרגיה.

כשקפיץ נמתח משוחרר לכדי מסה, האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית הופכת לאנרגיה קינטית (ואנרגיה פוטנציאלית כבידתית אם המסה עולה). שווּ את $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ ל-$\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (כולל כל $mgh$) כדי למצוא את המהירות או הגובה.

שאלת הגדרה מוקדמת לפי טקסט קבוע. לימודן במדויק, ותן תשובה אחת בלבד.

• חוק הוק ($F = kx$) תקף רק עד גבול הפרופורציונליות.
• מתיחה $= F/A$, עיוות $= x/L$, מודול יאנג $=$ (m=$/$) (שיפוע החלק הישר בגרף המתיחה-עיוות) – שימו לב ליחידות (Pa).
• אנרגיה מאוגרת $=$ שטח מתחת לגרף כוח-תוספת אורך $= \frac{1}{2}Fx$ באזור האלסטי.
• להבחין בין עיוות אלסטי (חוזר לצורתו) לבין עיוות פלסטי (קבוע).

טעויות נפוצות

• שימוש בקוטר כרדיוס ב-$A = \pi r^{2}$, או השארת שטח ב-$\text{mm}^{2}$. לחצו את הקוטר לפני כל דבר; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
• לקרוא את העבודה שנעשתה מגרף אורך-כוח כשטח כולל מתחת לציר. רק המשולש מעל $L_{0}$ הוא עבודה.
• טיפול באנרגיה מאוגרת כפרופורציונלית לתוספת האורך. היא תלויה ב$x^{2}$: הכפלת תוספת האורך מובילה לארבע פעמים האנרגיה; והעבודה בין שני תוספות אורך היא ההפרש של שני ערכים ב$\tfrac{1}{2}kx^{2}$.
• נוסח חוק הוק ללא התנאו. "בתנאי שלא חוצה גבול הפרופורציונליות" הוא חלק מהחוק.
• החלפת גבול הפרופורציונליות (סוף הקו הישר) עם הגבול האלסטי (סוף ההתנהגות האלסטית, מעט מעבר לו).
• אמירה שחוט עבה יותר בעל מודול יאנג גדול יותר. המודול הוא מאפיין החומר; לחוט העבה יש קבוע קפיץ גדול יותר.