דף זה מכסה נושא 3: מתמטיקה טהורה 3. נושאים משנה 3.1–3.6 מבוססים על האלגברה, הלוגריתמים, הטריגונומטריה, הגזירה, האינטגרציה והשיטות המספריות של מתמטיקה טהורה 2, ולכן דף זה מסביר מה חדש ב- Pure 3 ולאחר מכן מכסה שלושה אזורי חדשות גדולים: וקטורים, משוואות דיפרנציאליות ומספרים מרוכבים.
מתמטיקה נקודתית 3
מתמטיקה A-Level · נושא 3
13:36
מתמטיקה נקודתית 3
למאות שנים, מתמטיקאים נתקלו בקיר: מהו השורש הריבועי של מינוס אחד? לא מספר רגיל, כשהוא מורבע, נותן תוצאה שלילית. הם כינו זאת בלתי אפשרי, ו…
קריאת קול באנגלית · תרגום אנגלי + סינית שרוף בתוך הסרטון
3.1
אלגברה
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| • להבין את משמעות $|x|$, לשרטט את הגרף של $y = |ax + b|$ ולשמש בקשרים כגון $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ ו-$|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ בפתרון משוואות ואי-שוויונות | גרפים של $y = |\text{f}(x)|$ ו-$y = \text{f}(|x|)$ לפונקציות לא-ליניאריות $\text{f}$ אינם כלולים. לדוגמה: $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • לחלק פולינום בעל דרגה שאינה עולה על 4 בפולינום ליניארי או ריבועי, ולהזהות את ה-מכפיל וה-שארית (שעשויה להיות אפס) | |
| • להשתמש במשפט המכפיל ובמשפט השארית | לדוגמה למציאת מכפילים ושאריות, פתרון משוואות פולינומיות או חישוב מקדמים נעלמים. כולל מכפילים מהצורה $(ax + b)$ שבהם המקדם של $x$ אינו אחד, וחישוב שאריות. |
| • להזכיר צורה מתאימה לביטוי פונקציות רציונליות בשוברים חלקיים, ולבצע את הפירוק, במקרים שבהם המכנה אינו מורכב יותר מ- – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | אי-כלול מקרים שבהם דרגת המונה עולה על דרגת המכנה |
| • להשתמש בפיתוח $(1 + x)^n$, כאשר $n$ הוא מספר רציונלי ו$|x| < 1$. | מציאת האיבר הכללי בפיתוח אינה כלולה. התאמת הסדרה הסטנדרטית לפיתוח, למשל $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$, כלולה, כמו גם קביעת תחום הערכים של $x$ עבורו הפיתוח תקף במקרים אלו. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
כלי חדשים שניים מצטרפים לאלגברה ממתמטיקה טהורה 2.
שברים חלקיים
שבר יחיד עם מכנה מפוקטל ניתן לפצל לסכום של שברים פשוטים יותר. זה קרוי כתיבה בצורת שברים חלקיים, וזה הופך פונקציה רציונלית (שבר של פולינומים) לקלה לאינטגרציה או לפיתוח. התאם את הצורה למכנה:
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
תחילה בדוק שהחלק העליון הוא דרגה נמוכה יותר מהחלק התחתון. אם זה לא כן ("כבד למעלה"), חלק את הפולינום תחילה: החילוק נותן מנה פלוס שארית על החלק התחתון המקורי, ותפרק רק את השבר הפרופרי שנותר.
דוגמה מופת. הביע $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ בשברים חלקיים.
כתוב $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, כך $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. הצב $x = 2$: $6 = 3B$, ולכן $B = 2$. הצב $x = -1$: $3 = -3A$, ולכן $A = -1$. מכאן
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
דוגמה פותרת: גורם חוזר. ביטוי $\dfrac{5x+4}{(x-1)(x+2)^2}$ בשברים חלקיים.
גורם מועלה לריבוע דורש שניים שברים, אחד על $(x+2)$ ואחד על $(x+2)^2$:
$$\frac{5x+4}{(x-1)(x+2)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2},$$
ולכן $5x+4 = A(x+2)^2 + B(x-1)(x+2) + C(x-1)$. הכנס $x = 1$: $9 = 9A$, ולכן $A = 1$. הכנס $x = -2$: $-6 = -3C$, ולכן $C = 2$. אין ערך $x$ שמסיר גם $A$ וגם $C$, ולכן השווה את המקדמים ב➀ $x^2$ במקום זאת: $0 = A + B$, ולכן $B = -1$. מכאן
$$\frac{5x+4}{(x-1)(x+2)^2} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2} + \frac{2}{(x+2)^2}.$$
בדוק עם $x = 0$: הצד שמאלי הוא $\dfrac{4}{(-1)(4)} = -1$ והצד הימני הוא $-1 - \tfrac12 + \tfrac12 = -1$.
שגיאות נפוצות. השארת מקדם ה-$\dfrac{B}{x+2}$ לגורם מועלה לריבוע, וחלוקת שבר כבד למעלה ללא חלוקה קודמת.
ההתפתחות הדו-איברית לחזקה רציונלית
ההתפתחות הדו-איברית עובדת גם כאשר החזקה היא שבר או שלילית, כל עוד $|x| < 1$:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
למשל $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ עבור $|x| < 1$.
דוגמה פותרת. הרחב $(4 - x)^{-1/2}$ עד לתור ב-$x^2$, וצין את הערכים של $x$ עבורם ההרחבה תקפה.
הנוסחה דורשת $1$ בפניו, ולכן יש להוציא את ה-$4$ תחילה, מועלה לאותו חזקה:
$$(4 - x)^{-1/2} = 4^{-1/2}\left(1 - \frac{x}{4}\right)^{-1/2} = \frac12\left(1 - \frac{x}{4}\right)^{-1/2}.$$
עכשיו השתמש ב-$n = -\tfrac12$ עם $-\tfrac{x}{4}$ במקום $x$:
$$\left(1 - \frac{x}{4}\right)^{-1/2} = 1 + \left(-\tfrac12\right)\left(-\frac{x}{4}\right) + \frac{\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{2!}\left(-\frac{x}{4}\right)^2 + \cdots = 1 + \frac{x}{8} + \frac{3x^2}{128} + \cdots$$
כפול ב-$\tfrac12$: $(4 - x)^{-1/2} = \dfrac12 + \dfrac{x}{16} + \dfrac{3x^2}{256} + \cdots$. זה תקף כאשר $\left|\tfrac{x}{4}\right| < 1$, כלומר $|x| < 4$.
טעויות נפוצות. כתיבת $4(1 - \tfrac{x}{4})^{-1/2}$ (ה-$4$ חייב גם כן להיות מורם לחזקה $-\tfrac12$); איבוד סימן החסר בתוך $\left(-\tfrac{x}{4}\right)^2$ במונחים מאוחרים; והגדרת תחום ההגדרה כ-$|x| < 1$ במקום $|x| < 4$.
חקור
עקומים היפוכיים
y = a/(x − b) + c
פירוק למשברים פרטיים מפצל שבר מורכב לחלקים היפוכיים פשוטים — לכל אחד מהם יש אסימפטורה אנכית ואסימפטורה אופקית.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | מתמטיקה נקיה |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | שוברים חלקיים |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה רציונלית |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | מנה |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | שארית |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | פיתוח בינומי |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | שינוי סימן |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | נוסחה איטרטיבית |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | הפוכים |
| secant/ˈsiːkənt/ | סקאנס |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | קוסקאנס |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | קוטנג'נס |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | מתכנס |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | טנגנס הפוך |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | אינטגרציה בחלקים |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | אינטגרציה בהצבה |
3.2 3.3 3.6
לוגריתמים, טריגונומטריה ושיטות מספריות (מתוך Pure 2)
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להבין את הקשר בין לוגריתמים לבין מעריכים, ולשמש בחוקי הלוגריתמים (למעט שינוי בסיס) | |
| הבנת ההגדרה והמאפיינים של $e^x$ ו-$\ln x$, כולל הקשר ביניהם כפונקציות הפוכות וגרפים שלהן | כולל ידע לגבי הגרף של $y = e^{kx}$ גם לערכים חיוביים וגם לערכים שליליים של $k$. |
| להשתמש בלוגריתמים לפתרון משוואות ואי-שוויונים שבהם הנעלם מופיע במעריכים | לדוגמה: $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| להשתמש בלוגריתמים כדי להמיר קשר נתון לצורה ליניארית, ומכאן לקבועים לא ידועים על ידי שיקול השיפוע ו/או החיתוך. | לדוגמה: $y = kx^n$ נותן $\ln y = \ln k + n \ln x$ שהוא ליניארי ב$\ln x$ וב$\ln y$. $y = k(a^x)$ נותן $\ln y = \ln k + x \ln a$ שהוא ליניארי ב$x$ וב$\ln y$. |
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להבין את הקשר בין פונקציות הסקנט, הקוסקנט והקוטנגנס לפונקציות הקוסינוס, הסינוס והטנגנס, ולהשתמש בתכונות ובגרפים של כל שש הפונקציות הטריגונומטריות עבור זוויות בכל גודל | |
| שימוש בזהויות טריגונומטריות לפישוט ולחישוב מדויק של ביטויים, ובמהלך פתרון משוואות, ובחירת זהות או זהויות המתאימות להקשר, תוך הצגת היכרות בפרט עם השימוש ב-: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ ו-$\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – הרחבות של $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ ו-$\tan(A \pm B)$ – הנוסחאות עבור $\sin 2A$, $\cos 2A$ ו-$\tan 2A$ – הביטוי של $a \sin \theta + b \cos \theta$ בצורות $R \sin(\theta \pm \alpha)$ ו-$R \cos(\theta \pm \alpha)$. | לדוגמה: פישוט $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. לדוגמה: פתרון $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| • למצוא בקירוב שורש של משוואה, על ידי שיקולים גרפיים ו/או חיפוש אחר שינוי סימן | לדוגמה: מציאת זוג של מספרים שלמים עוקבים שביניהם נמצא השורש. |
| • להבין את רעיון ההתכנסות ולשתמש בסימון עבור סדרת קירובים הנכנסת לשורש של משוואה | |
| • להבין כיצד נוסחת איטרציה פשוטה נתונה מהצורה $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ קשורה למשוואה הפתורה, ולהשתמש באיטרציה נתונה, או באיטרציה המבוססת על פירוק מחדש של משוואה, כדי לקבוע שורש בדיוק הנדרש. | ידע בתנאי ההתכנסות אינו נכלל, אך מצופה הבנה שאיטרציה עשויה לא להתכנס. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
התת-נושאים 3.2, 3.3 ו-3.6 הם אותו סוג מיומנויות שפגשת ב-Pure 2: חוקי הלוגריתמים עם $e^x$ ו-$\ln x$; הזהויות $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ ו-$\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, נוסחאות הזווית הכפולה והסכום, והצורה $R$ של $a\sin\theta + b\cos\theta$; ופתיחת משוואה מספרית באמצעות שינוי סימן ונוסחה איטרטיבית $x_{n+1} = F(x_n)$. השתמש בהם בדיוק כמו קודם.
שלושת הפונקציות הטריגונומטריות החדשות הן הופכים של המוכרות: סיסקנט $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, קוססקנט $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, וקוטנגנס $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ עבור $\sin\theta\ne0$. הוא שווה ל➀ $1/\tan\theta$ בכל מקום שבו שתי הביטויים מוגדרים. (עזר זיכרון: התאם את האות השלישית — sec מתאים ל➀ cosine.) זהויות הפיתגורס מעלה שניביטובים מגיעות ישירות מחלוקת $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ ב➀ $\cos^2\theta$ או $\sin^2\theta$. עבור שיטה מספרית, איטרציה $x_{n+1}=F(x_n)$ מתכנסת אם ערכיה שואפים לגבול סופי. שינויים רצופים קטנים יותר לבדם אינם מוכיחים התכנסות; כאשר $F$ רציף בגבול זה, הגבול הוא נקודת יציבות. בדוק זאת במשוואה המקורית.
חקור
המעגל היחידתי
(cos θ, sin θ)
הנוסחת R מכתבת ביטוי a sin θ + b cos θ כגל אחד — והכל נמצא על המעגל הזה.
3.4
גזירה
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להשתמש בגזירות של $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\tan^{-1} x$, יחד עם כפלים קבועים, סכומים, הפרשים וקומפוזיציות | גזירות של $\sin^{-1} x$ ו-$\cos^{-1} x$ אינן נדרשות. |
| לגזור מכפלות ו-מנה | לדוגמה: $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1-x^2}$. |
| למצוא ולהשתמש בגזירה הראשונה של פונקציה המוגדרת פרמטרית או איפלטית. | לדוגמה: $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. לדוגמה: $x^2 + y^2 = xy + 7$. כולל שימוש בבעיות הקשורות למשיקים ונירמלים. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
השיטות הן אלו של Pure 2 (כלל המכפלה, המנה והשרשרת, עם עקומים פרמטריים ואיפוציים). מוסיפים גזירה אחת — ה-טנגנס ההפוך:
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
דוגמה מופת. גזור $y = \tan^{-1}(3x)$.
השתמש בכלל השרשרת עם התוצאה למעלה: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
חקור
השיפוע בנקודה
שיפוע = dy/dx
לא משנה האם הגזירה היא גזירה מפורשת או סמויה, ה-גזירה עדיין מייצגת את שיפוע המשיק — הזיזו את הנקודה כדי לראות זאת.
3.5
אינטגרציה
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| להרחיב את הרעיון של 'גזירה הפוכה' כדי לכלול את אינטגרציה של $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ ו-$\frac{1}{x^2 + a^2}$ | כולל דוגמאות כמו $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| להשתמש בקשרים טריגונומטריים בביצוע אינטגרציה | לדוגמה: שימוש בנוסחות זווית כפולה לאינטגרציה של $\sin^2 x$ או $\cos^2(2x)$. |
| לבצע אינטגרציה של פונקציות רציונליות באמצעות פירוק לשוברים חלקיים | מוגבל לסוגי שברים חלקיים כפי שנקבע בנושא 3.1 לעיל. |
| לזהות אינטגרנד מהצורה $\frac{k f'(x)}{f(x)}$, ולבצע אינטגרציה של פונקציות כאלה | לדוגמה: אינטגרציה של $\frac{x}{x^2 + 1}$, $\tan x$. |
| לזהות מתי פונקציית אינטגרציה יכולה לשמש כמכפלה, ולבצע אינטגרציה בחלקים | לדוגמה: אינטגרציה של $x \sin 2x$, $x^2 e^{-x}$, $\ln x$, $x \tan^{-1} x$. |
| להשתמש בהצבה הנתונה לפישוט וחישוב של אינטגרל גבולי או לא-גבולי. | לדוגמה: אינטגרציה של $\sin^2 2x \cos x$ באמצעות ההצבה $u = \sin x$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
Pure 3 מוסיף מספר שיטות חזקות.
- אינטגרל סטנדרטי חדש: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- שברים חלקיים: פצל פונקציה רציונלית תחילה, ואז אינטגרל כל חלק כלוגריתם.
- הדפוס $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: האינטגרל שלו הוא $k\ln|f(x)| + C$. לדוגמה $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
- אינטגרציה בחלקים, משמשת למכפלה: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- אינטגרציה בהצבה: שינוי משתנה נתון הופך אינטגרל קשה לאינטגרל קל.
דוגמה מפורטת. מצא $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
השתמש באינטגרציה בחלקים עם $u = x$ ו-$\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, ולכן $\dfrac{du}{dx} = 1$ ו-$v = \sin x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
דוגמה פותרת: הצבה. השתמש בהצבה $u = x + 1$ כדי למצוא $\displaystyle\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$.
שנה את שלושת החלקים: $x = u - 1$, $dx = du$, וגם הגבולים $x = 0$ ו-$x = 3$ הופכים ל-$u = 1$ ו-$u = 4$:
$$\int_1^4 \frac{u-1}{\sqrt u}\,du = \int_1^4 \left(u^{1/2} - u^{-1/2}\right)du = \Big[\tfrac23 u^{3/2} - 2u^{1/2}\Big]_1^4 = \left(\tfrac{16}{3} - 4\right) - \left(\tfrac23 - 2\right) = \frac83.$$
הטעות הנפוצה היא לשמור על הגבולים הישנים $0$ ו-$3$ לאחר מעבר ל-$u$.
דוגמה פותרת: פירוק לשברים חלקיים. הראה כי $\displaystyle\int_3^4 \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \ln\frac{16}{5}$.
השתמש בשברים החלקיים שנמצאו קודם, ואז אינטגרל כל חלק כלוגריתם:
$$\int_3^4 \left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \Big[2\ln(x-2) - \ln(x+1)\Big]_3^4 = (2\ln 2 - \ln 5) - (0 - \ln 4).$$
זהו $2\ln 2 + 2\ln 2 - \ln 5 = \ln 16 - \ln 5 = \ln\dfrac{16}{5}$. מכיוון שהתשובה נתונה, הראה את חוקי הלוגריתמים צעד אחר צעד.
חקור
השטח תחת העקומה
שטח = ∫ f(x) dx
כל שיטת אינטגרציה מדד בעצם שטח זה — גרור את הגבולות כדי לחשב אותו כולו.
3.7
וקטורים
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| • להשתמש בסימונים סטנדרטיים לוקטורים, כלומר $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{a}$ | |
| • carry out addition and subtraction of vectors and multiplication of a vector by a scalar, and interpret these operations in geometrical terms | e.g. ‘$OABC$ is a parallelogram’ is equivalent to $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$. The general form of the ratio theorem is not included, but understanding that the midpoint of $AB$ has position vector $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ is expected. |
| • לחשב את הגודל של וקטור, ולהשתמש בווקטורים יחידה, ווקטורי הזזה וווקטורי מיקום | בממדים 2 או 3. |
| • להבין את המשמעות של כל הסמלים כאשר משוואת קו ישר מוצגת בצורה $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$, ולמצוא את משוואת הקו בהינתן מספיק מידע | לדוגמה: מציאת משוואת קו בהינתן וקטור מיקום של נקודה על הקו ווקטור כיוון, או וקטורי מיקום של שתי נקודות על הקו. |
| • לקבוע האם שני קווים הם מקבילים, נחתכים או זרים, ולמצוא את נקודת החיתוך שלהם אם היא קיימת | אינה נדרשת חשיבת המרחק הקצר ביותר בין שני קווים זרים. מציאת משוואת המאונך המשותף לשני קווים זרים אינה נדרשת גם כן. |
| • להשתמש בנוסחאות לחישוב המכפלה הסקלרית של שני וקטורים, ולהשתמש במכפלות סקלריות בבעיות הקשורות לקווים ונקודות. | לדוגמה: מציאת הזווית בין שני קווים, ומציאת הרגל המאונך מנקודה לקו; שאלות עשויות לכלול אובייקטים בתלת-ממד (3D) כגון קוביות, טטרהדרונים (פירמידות), ועוד. ידע במכפלה וקטורית אינו נדרש. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
וקטור הוא בעל גודל וכיוון. ניתן לכתוב אותו כעמודה, או כ$x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, או כ$\overrightarrow{AB}$.
- ה-גודל (אורך) של $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ הוא $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- ווקטור יחיד בעל גודל $1$; חלק וקטור שאינו אפס בגודלו כדי לקבל אחד.
- וקטור מיקום נותן את מקומו של נקודה ביחס למקור; וקטור הזזה $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ עובר מנקודה אחת לשנייה. כפל ב-סקאלר (מספר רגיל) מתיח וקטור.
קווים ומכפלה סקאלרית
קו ישר העובר דרך הנקודה $\mathbf{a}$ בכיוון $\mathbf{b}$ בעל משוואה וקטורית $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. שני קווים עשויים להיות מקבילים, להסתך ב➀ נקודה, או להיות קווים אל-מחלקים (לא מקבילים ולא נפגשים לעולם).
המכפלה הסקלרית (מכפלת נקודתית) של $\mathbf{a}$ ו-$\mathbf{b}$ היא
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
כאן $\theta$ הוא הזווית ביניהם. לכן $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ אומר שהווקטורים מאונכים זה לזה.
דוגמה פותרת. מצא את הזווית בין $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ ל-$\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3.$$
לכן $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, מה שמניב $\theta = 27.3^\circ$.
דוגמה פותרת: האם שני קווים נפגשים? הקו $l$ הוא $\mathbf{r} = \mathbf{i} + 3\mathbf{j} + t(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k})$ והקו $m$ הוא $\mathbf{r} = -\mathbf{j} + \mathbf{k} + s(3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k})$. הראה שהם נחתכים ומצא את הנקודה.
הכיוונים אינם כפולים אחד לשני, ולכן הקווים אינם מקבילים. השתמש באות שונה לכל פרמטר של קו והשווה את המרכיבים:
$$x:\ 1 + t = 3s, \qquad y:\ 3 - t = -1 + 2s, \qquad z:\ 2t = 1 + 3s.$$
הוסף את המשוואות $x$ ו-$y$: $4 = -1 + 5s$, ולכן $s = 1$ ולאחר מכן $t = 2$. כעת בדוק את המשוואה השלישית: $2(2) = 4$ ו-$1 + 3(1) = 4$. המשוואה מתקיימת, ולכן הישרים נפגשים בנקודה $\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k}$, הנקודה $(3, 1, 4)$.
אילו המשוואה השלישית לא התקיימה, הישרים היו קטנים (skew). תמיד השתמש במשוואה שלא פתרתי בבדיקה.
חקור
חיבור וקטורים ומכפלה נקודתית
גרור את שני הווקטורים. ראה את ה-ווקטור התוצא (משוף-לראש) ואת המכפלה הנקודתית, המוגדרת כאפס כאשר הם מאונכים זה לזה.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | ווקטור |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | גודל |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | ווקטור יחיד |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | וקטור מיקום |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | וקטור העתק |
| scalar/ˈskeɪlə/ | סקאלר |
| parallel/ˈpærəlel/ | מקביל |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | מתחבר |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | ישרים זרים |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | כפלה סקלרית |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | משוואה דיפרנציאלית |
| separable/ˈsepərəbl/ | ניתן להפרדה |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | פתרון כללי |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | תנאי התחלה |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | פתרון פרטי |
3.8
משוואות דיפרנציאליות
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| לניסוח ביטוי פשוט המעורב בקצב שינוי כמשוואה דיפרנציאלית | ההקדמה והחישוב של קבוע פרופורציונליות, כאשר נדרש, נכללים. |
| למצוא באינטגרציה צורה כללית של פתרון עבור משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון שבה המשתנים ניתנים להפרדה | כולל כל אחת מטכניקות האינטגרציה מתחום 3.5 לעיל. |
| להשתמש בתנאי התחלתי כדי למצוא פתרון פרטי | |
| לפרש את הפתרון של משוואה דיפרנציאלית בהקשר של בעיה המודל על ידי המשוואה. | כאשר משוואה דיפרנציאלית משמשת למודל מצב 'מעשי', אין נדרשת ידע ספציפי בהקשר. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
משוואה דיפרנציאלית מקשרת בין גודל לבין קצב השינוי שלו. כדי לפתור משוואה מסדר ראשון בעלת משתנים ניתנים להפרדה, הצב את כל האיברים $y$ בצד אחד ואת כל האיברים $x$ בצד השני, ולאחר מכן אינטגרל שני האגפים. זאת תני את הפתרון הכללי, הכולל קבוע. תנאי התחלה (ערך ידוע) קובע את הקבוע ומניב את הפתרון הפרטי.
דוגמא פותרת. פתור $\dfrac{dy}{dx} = xy$, נתון כי $y = 1$ כאשר $x = 0$.
הפרדת המשתנים ובצעו אינטגרציה:
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}.$$
שימוש ב$y = 1$ בנקודה $x = 0$ נותן $A = 1$, ולכן $y = e^{x^2/2}$.
דוגמא פותרת: בניית המשוואה. מים דולפים ממכל. העומק $h$ ס"מ יורד בקצב פרופורציונלי ל-$\sqrt h$. ב-$t = 0$ דקות העומק הוא $16$ ס"מ, וב-$t = 10$ הוא $9$ ס"מ. מתי המכל יתרוקן?
"יורד בקצב פרופורציונלי ל-$\sqrt h$" נותן $\dfrac{dh}{dt} = -k\sqrt h$, עם $k > 0$. הפרד ואינטגרל:
$$\int h^{-1/2}\,dh = \int -k\,dt \;\Rightarrow\; 2\sqrt h = -kt + c.$$
ב➀ $t = 0$: $2\sqrt{16} = c$, ולכן $c = 8$. ב➀ $t = 10$: $2\sqrt9 = -10k + 8$, ולכן $k = 0.2$. המכל ריק כאשר $h = 0$: $0 = -0.2t + 8$, ולכן $t = 40$ דקות.
שגיאות נפוצות. השמרת סימן החיסור עבור ירידה, והוספת הקבוע רק לאחר עריכה (כך שכותבים $y = e^{x^2/2} + c$ במקום $y = Ae^{x^2/2}$ בדוגמה למעלה).
חקור
שדה שיפועים
כל קו קטן מייצג את השיפוע $\frac{dy}{dx}$ בנקודה זו. עקומת פתרון עוקבת אחרי החצים — שינה את נקודת ההתחלה כדי לראות עקומה אחרת.
3.9
מספרים מרוכבים
סיילבוס
| המועמדים אמורים להיות מסוגלים: | הערות לדוגמאות |
|---|---|
| הבנת רעיון של מספר מרוכב, זיכרון משמעות המונחים חלק ממשי, חלק מדומה, מודולוס, ארגומנט, צמוד, והשתמש בעובדה ששני מספרים מרוכבים שווים אם ורק אם גם החלק הממשי וגם החלק המדומה שלהם שווים | יש להכיר את הסימונים $\text{Re } z$, $\text{Im } z$, $|z|$, $\arg z$, $z^*$. הארגומנט של מספר מרוכב יתייחס בדרך כלל לזווית $\theta$ כך ש$-\pi < \theta \leqslant \pi$, אך במקרים מסוימים התחום $0 \leqslant \theta < 2\pi$ עשוי להיות נוח יותר. תשובות עשויות להשתמש בתחום כלשהו אלא אם כן השאלה ציינה אחרת. |
| לבצע פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק בין שני מספרים מרוכבים המופיעים בצורת קרטזית $x + \text{i}y$ | עבור חישובים הכוללים כפל או חילוק, יש להציג את כל פרטי הפעולה. |
| להשתמש בתוצאה לפיה, במשוואה פולינומית בעלת מקדמים ממשיים, שורשים לא-ממשיים מופיעים תמיד בזוגות צמודים | לדוגמה: בפתרון משוואה מעריכית או רביעית כאשר נתון אחד השורשים המרוכבים. |
| לייצג מספרים מרוכבים גיאומטרית באמצעות דיאגרמת ארגנד | |
| לבצע פעולות של כפל וחילוק בין שני מספרים מרוכבים המופיעים בצורה קוטבית $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | כולל התוצאות $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ ו$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$, והתוצאות המקבילות לחילוק. |
| למצוא את שני השורשים הריבועיים של מספר מרוכב | לדוגמה: השורשים הריבועיים של $5 + 12\text{i}$ בצורת קרטזית מדויקת. יש להציג את כל פרטי הפעולה. |
| להבין בפשטות את ההשפעות הגיאומטריות של הצמדת מספר מרוכב, ושל חיבור, חיסור, כפל וחילוק בין שני מספרים מרוכבים | |
| להמחיש משוואות ואי-שוויונות פשוטים הקשורים למספרים מרוכבים באמצעות מקומות גיאומטריים בדיאגרמת ארגנד | לדוגמה: $|z - a| < k$, $|z - a| = |z - b|$, $\arg(z - a) = \alpha$. |
מקור: הסיילבוס הבינלאומי של קמבריד'ג'
A complex number has the form $z = x + iy$, where $i^2 = -1$. Here $x$ is the real part and $y$ is the imaginary part. This $x + iy$ is the Cartesian form. Two complex numbers are equal only when their real parts match and their imaginary parts match.
- ה-ליווי של $z = x + iy$ הוא $z^* = x - iy$. לפולינום עם מקדמים ממשיים, כל השורשים שאינם ממשיים מגיעים בזוגות ליווי.
- המודולוס הוא $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (המרחק שלו מהראשית), ועבור $z e0$, הארגומנט הוא הזווית שהנקודה יוצרת, הנמדדת מהציר הממשי החיובי. לאפס אין ארגומנט.
- ניתן למפות את $z$ כנקודה על דיאגרמת ארגנד (המישור המרוכב).
- ה-צורה הפולרית היא $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, כאשר $r = |z|$ ו$\theta$ הוא הארגומנט. הכפלה מכפילה את המודולוסים ומחברת את הארגומנטים.
- ה-מקומות הגיאומטריים של נקודות המקיימות תנאי על $z$ מצוירים על דיאגרמת ארגנד – לדוגמה $|z - a| = r$ הוא מעגל, $|z - a| = |z - b|$ אנך אמצעי, ו$\arg(z - a) = \theta$ קרן. ה-שורשים הרבעיים של מספר מרוכב מתקבלים מפתרון $w^2 = z$.
לבצע חילוק, יש להכפיל את המונה ומכנה בקבוע הליווי של המכנה.
דוגמה מוצגת. כתוב $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ בצורה $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$
דוגמא פותרת: מודולוס וארגומנט. מצא את המודולוס והארגומנט של $z = -1 + \sqrt3\,i$.
$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt3)^2} = 2$. הנקודה $(-1, \sqrt3)$ נמצאת ברביע ה-שני, ולכן צייר אותה לפני שימוש במחשבון. הזווית לציר הממשי השלילי היא $\tan^{-1}\sqrt3 = \tfrac{\pi}{3}$, ולכן $\arg z = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}$. מכאן $z = 2\left(\cos\tfrac{2\pi}{3} + i\sin\tfrac{2\pi}{3}\right)$.
ה-$\tan^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt3}{-1}\right)$ במחשבון נותן $-\tfrac{\pi}{3}$, שהוא ברביע הלא נכון. באותו אופן $\arg(-1 - i) = -\tfrac{3\pi}{4}$, ולא $\tfrac{\pi}{4}$.
דוגמא פותרת: שורש ריבועי. מצא את השורשים הרבועיים של $3 + 4i$.
נתון כי $(a + bi)^2 = 3 + 4i$ כאשר $a$ ו-$b$ ממשיים. אזי $a^2 - b^2 + 2abi = 3 + 4i$, ולכן השווה בין חלקים ממשיים ודמיוניים:
$$a^2 - b^2 = 3, \qquad 2ab = 4.$$
הצבה $b = \dfrac{2}{a}$: $a^2 - \dfrac{4}{a^2} = 3$, ולכן $a^4 - 3a^2 - 4 = 0$, שמניב $(a^2 - 4)(a^2 + 1) = 0$. מכיוון ש-$a$ ממשי, $a^2 = 4$, ולכן $a = 2$ עם $b = 1$, או $a = -2$ עם $b = -1$. השורשים הרבועיים הם $\pm(2 + i)$. בדיקה: $(2 + i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.
משוואה או אי-שוויון ב$z$ מתאר מקום גיאומטרי (מסלול או אזור) על דיאגרמת ארגנד. לדוגמה $|z - a| = r$ הוא מעגל ברדיוס $r$ שמרכזה בנקודה $a$.
חקור
דיאגרמת ארגנד
גרור את הנקודה. מספר מרוכב $a + bi$ הוא נקודה במישור; המודולוס שלו הוא המרחק מהראשית ו-הארגומנט הוא הזווית.
מילון מונחים
אימון
| English | עברית |
|---|---|
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | מספר מרוכב |
| real part/rɪəl pɑːt/ | חלק ממשי |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | חלק מדומה |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | צורת קרטזית |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | מרוכב מרוכב |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | מודולוס |
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | ארגומנט |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | דיאגרמת ארגנד |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | צורה קוטבית |
| locus/ˈləʊkəs/ | מקום גיאומטרי |
3.9
טיפים לבחינות
- לפצל פונקציה רציונלית לשברים חלקיים לפני אינטגרציה או פיתוח.
- לבחור את טכניקת האינטגרציה המתאימה (הצבה, אינטגרציה בחלקים או שברים חלקיים) בהתבסס על צורת האינטגרנד.
- השתמש במכפלה סקלרית (מכפלת נקודות) כדי למצוא את הזווית בין וקטורים ולבדוק האם הם מאונכים; כתוב משפט כ$\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- נתן מספרים מרוכבים בצורה המבוקשת (קרטזיאנית או מודולוס-ארגומנט) והצע אותם על דיאגרמת ארגנדה.
שיעורים אינטראקטיביים בנושא זה
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.