EM.5 · RC and RL transients, impedance and resonance

La tension aux bornes d'un condensateur et le courant dans une inductance ne peuvent pas changer instantanément sous l'effet de commandes circuit finies ordinaires, mais leur comportement en régime permanent diffère.

Prérequis : 14.

• Résoudre la charge et la décharge RC avec les conditions initiales données
• Résoudre la réponse du courant RL et tenir compte de l'énergie emmagasinée
• Utiliser l'impédance complexe, la phase et la résonance dans les circuits sinusoïdaux

Pour une résistance R en série avec un condensateur C et une source continue V_s, la loi des mailles de Kirchhoff donne R dq/dt+q/C=V_s. On définit V_C=q/C et τ=RC. Après le commutage vers une source constante, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). Un condensateur initialement non chargé a donc V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) et le courant de charge I=(V_s/R)exp(−t/τ). Avec la source retirée et la résistance connectée aux bornes, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). La tension aux bornes du condensateur est continue lors du commutateur s'il n'y a pas de courant impulsionnel ; le courant dans la résistance peut changer instantanément.

Dans un circuit RL en série, la loi de Kirchhoff donne L dI/dt+RI=V_s et τ=L/R. Le courant après une excitation constante est I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Le courant inductif est continu pour une tension finie ; sa tension peut changer brusquement lorsque le commutateur modifie dI/dt. Aux temps tardifs, une inductance idéale dans un circuit continu agit comme une connexion à tension nulle, tandis qu'un condensateur idéal ne laisse passer aucun courant continu. Les énergies stockées sont LI²/2 et CV_C²/2. Lors de la décharge dans une résistance, l'énergie initialement stockée se dissipe sous forme de chaleur résistive plutôt que de disparaître lorsque la source est déconnectée.

Utiliser la convention de faisceau déclarée exp(iωt). Une résistance a une impédance R, une inductance iωL et un condensateur 1/(iωC)=−i/(ωC). Un circuit RLC en série a donc Z=R+iX avec X=ωL−1/(ωC). Diviser le faisceau de tension de la source par Z donne le courant. Son amplitude est V_rms/sqrt(R²+X²) lorsque des grandeurs efficaces sont utilisées. La phase de l'impédance φ satisfait tanφ=X/R ; le courant retarde sur la tension pour X>0 et l'avance pour X<0. Additionner les amplitudes scalaires R, ωL et 1/(ωC) fait perdre l'information de phase vectorielle.

La résonance série se produit à ω₀=1/sqrt(LC) lorsque X=0. Le courant est maximal pour une tension fixe dans ce modèle idéal série, et le déphasage tension/courant est nul. La puissance réelle moyenne est V_rms I_rms cosφ=I_rms²R ; L et C idéaux échangent de l'énergie mais ne dissipent aucune puissance moyenne. Cela diffère de la fréquence naturelle transitoire : un circuit série amorti peut osciller à sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) s'il est sous-amorti. Une grande résistance élimine ces oscillations libres sans modifier la condition X=0 de l'impédance série idéale pilotée. Indiquez si une question porte sur une réponse indicielle, une décroissance libre ou un régime sinusoïdal permanent.

Un circuit RC commute vers une tension de source fixe Vs. La conservation de la charge et la loi de Kirchhoff donnent

Pour R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V et tension initiale nulle, La constante de temps contrôle la différence restante par rapport à l'état final.

RC a τ = RC, tandis que RL a τ = L/R. Ne pas confondre l'amplitude du courant avec le courant efficace, ni la résonance d'une impédance pilotée avec la fréquence d'oscillation libre amortie.

constante de temps : L'échelle de réponse exponentielle, RC pour un circuit RC et L/R pour un circuit RL.

impédance : Le rapport complexe tension-courant en faisceaux dans le régime permanent sinusoïdal.